אינטגרל לא אמיתי - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־22:39, 1 בנובמבר 2016

2016-11-01T22:39:53Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:39, 1 בנובמבר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי ~~רימן ודרבו~~. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופיים בלבד.		עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי רימאן ודארבו. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופיים בלבד.

	==אינטגרל לא-אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון==		==אינטגרל לא-אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון==
שורה 11:		שורה 11:

	==אינטגרל לא-אמיתי (מוכלל) מסוג שני==		==אינטגרל לא-אמיתי (מוכלל) מסוג שני==
	תהי <math>f</math> פונקציה אינטגרבילית על כל קטע מהצורה <math>[a,b-\epsilon]</math> כאשר <math>\epsilon >0</math>, ואינה חסומה על הקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר		תהי <math>f</math> פונקציה אינטגרבילית על כל קטע מהצורה <math>[a,b-\epsilon]</math> כאשר <math>\epsilon >0</math> , ואינה חסומה על הקטע <math>[a,b]</math> . נגדיר

	:<math>\int\limits_a^b f(x)dx:=\lim_{t\to b^-}\int\limits_a^t f(x)dx</math>		:<math>\int\limits_a^b f(x)dx:=\lim_{t\to b^-}\int\limits_a^t f(x)dx</math>
שורה 20:		שורה 20:

	==אינטגרל כללי==		==אינטגרל כללי==
	תהי <math>f</math> פונקציה. אזי האינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx</math> כאשר <math>-\infty\le a\le b\le \infty</math> '''מתכנס''' אם ורק אם ניתן לחלק את הקטע למספר סופי של קטעים עליהם <math>f</math> אינטגרבילית ~~רימן~~/~~דרבו~~, האינטגרל על <math>f</math> הוא מתכנס מסוג ראשון או מתכנס מסוג שני.		תהי <math>f</math> פונקציה. אזי האינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx</math> כאשר <math>-\infty\le a\le b\le \infty</math> '''מתכנס''' אם ורק אם ניתן לחלק את הקטע למספר סופי של קטעים עליהם <math>f</math> אינטגרבילית רימאן/דארבו, האינטגרל על <math>f</math> הוא מתכנס מסוג ראשון או מתכנס מסוג שני.

	כלומר, בהנתן אינטגרל, מחלקים אותו לקטעים בהם יש צד אחד "בעייתי" לכל היותר (כלומר צד אחד אינסופי, או צד אחד בו הפונקציה אינה חסומה).		כלומר, בהנתן אינטגרל, מחלקים אותו לקטעים בהם יש צד אחד "בעייתי" לכל היותר (כלומר צד אחד אינסופי, או צד אחד בו הפונקציה אינה חסומה).

	~~'''~~דוגמא.~~'''~~		;דוגמא.

	האם האינטגרל הבא מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty\~~frac1~~{x(x-1)}</math>?		האם האינטגרל הבא מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x(x-1)}</math> ?

	~~'''~~פתרון.~~'''~~		;פתרון.

	נחלק את הקטע לתתי-קטעים עליהם האינטגרל הוא מסוג ראשון או שני. הפונקציה אינה חסומה באזור הנקודות ~~אפס ואחד~~. לכן נחלק לחלקים שהם סופיים ובהם הפונקציה אינה חסומה בצד אחד, או קטעים אינסופיים בהם הפונקציה אינטגרבילית על כל תת-קטע סופי.		נחלק את הקטע לתתי-קטעים עליהם האינטגרל הוא מסוג ראשון או שני. הפונקציה אינה חסומה באזור הנקודות 0 ו-1. לכן נחלק לחלקים שהם סופיים ובהם הפונקציה אינה חסומה בצד אחד, או קטעים אינסופיים בהם הפונקציה אינטגרבילית על כל תת-קטע סופי.

	<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\~~frac1~~{x(x-1)}=\int\limits_{-\infty}^{-1}\~~frac1~~{x(x-1)}+\int\limits_{-1}^0\~~frac1~~{x(x-1)}+\int\limits_0^\frac12\~~frac1~~{x(x-1)}+\int\limits_{\frac12}^1\~~frac1~~{x(x-1)}+\int\limits_1^2\~~frac1~~{x(x-1)}+\int\limits_2^\infty\~~frac1~~{x(x-1)}</math>		<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x(x-1)}=\int\limits_{-\infty}^{-1}\frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_{-1}^0\frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_0^\frac12\frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_{\frac12}^1\frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_1^2\frac{dx}{x(x-1)}+\int\limits_2^\infty\frac{dx}{x(x-1)}</math>

יהודה שמחה ב־21:34, 27 בינואר 2016

2016-01-27T21:34:06Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:34, 27 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי רימן ודרבו. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופיים בלבד.		עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי רימן ודרבו. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופיים בלבד.

	==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון==		==אינטגרל לא-אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון==
	תהי f פונקציה ~~האינטגרבילית~~ על כל קטע מהצורה <math>[a,a+M]</math> כאשר <math>M>0</math> נגדיר		תהי <math>f</math> פונקציה אינטגרבילית על כל קטע מהצורה <math>[a,a+M]</math> כאשר <math>M>0</math> נגדיר

	::<math>\~~int_a~~^\infty f(x)dx:=\lim_{t\~~rightarrow~~\infty}\~~int_a~~^tf(x)dx</math>		:<math>\int\limits_a^\infty f(x)dx:=\lim_{t\to\infty}\int\limits_a^t f(x)dx</math>

	אומרים כי האינטגרל '''מתכנס''' אם הגבול קיים.		אומרים כי האינטגרל '''מתכנס''' אם הגבול קיים.
שורה 10:		שורה 10:
	ההגדרה דומה עבור קטע מהצורה <math>(-\infty,a]</math>		ההגדרה דומה עבור קטע מהצורה <math>(-\infty,a]</math>

	==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני==		==אינטגרל לא-אמיתי (מוכלל) מסוג שני==
	תהי f פונקציה אינטגרבילית על כל קטע מהצורה <math>[a,b-\epsilon]</math> כאשר <math>\epsilon >0</math>, ואינה חסומה על הקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר		תהי <math>f</math> פונקציה אינטגרבילית על כל קטע מהצורה <math>[a,b-\epsilon]</math> כאשר <math>\epsilon >0</math>, ואינה חסומה על הקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר

	::<math>\~~int_a~~^bf(x)dx:=\lim_{t\~~rightarrow~~ b^-}\~~int_a~~^tf(x)dx</math>		:<math>\int\limits_a^b f(x)dx:=\lim_{t\to b^-}\int\limits_a^t f(x)dx</math>

	אומרים כי האינטגרל '''מתכנס''' אם הגבול קיים		אומרים כי האינטגרל '''מתכנס''' אם הגבול קיים.

	ההגדרה דומה אם הפונקציה אינה חסומה בצד השמאלי.		ההגדרה דומה אם הפונקציה אינה חסומה בצד השמאלי.

	==אינטגרל כללי==		==אינטגרל כללי==
			תהי <math>f</math> פונקציה. אזי האינטגרל <math>\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx</math> כאשר <math>-\infty\le a\le b\le \infty</math> '''מתכנס''' אם ורק אם ניתן לחלק את הקטע למספר סופי של קטעים עליהם <math>f</math> אינטגרבילית רימן/דרבו, האינטגרל על <math>f</math> הוא מתכנס מסוג ראשון או מתכנס מסוג שני.
	תהי f פונקציה. אזי האינטגרל <math>\~~int_a~~^bf(x)dx</math> כאשר <math>-\infty\~~leq~~ a \~~leq~~ b \~~leq~~ \infty</math> '''מתכנס''' אם ורק אם ניתן לחלק את הקטע למספר סופי של קטעים עליהם f אינטגרבילית רימן/דרבו, האינטגרל על f הוא מתכנס מסוג ראשון או מתכנס מסוג שני.

	כלומר, בהנתן אינטגרל, מחלקים אותו לקטעים בהם יש צד אחד "בעייתי" לכל היותר (כלומר צד אחד אינסופי, או צד אחד בו הפונקציה אינה חסומה).		כלומר, בהנתן אינטגרל, מחלקים אותו לקטעים בהם יש צד אחד "בעייתי" לכל היותר (כלומר צד אחד אינסופי, או צד אחד בו הפונקציה אינה חסומה).
שורה 27:		שורה 26:
	'''דוגמא.'''		'''דוגמא.'''

	האם האינטגרל הבא מתכנס <math>\~~int_~~{-\infty}^\infty\~~frac{1}~~{x(x-1)}</math>?		האם האינטגרל הבא מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_{-\infty}^\infty\frac1{x(x-1)}</math>?

	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''

	נחלק את הקטע לתתי קטעים עליהם האינטגרל הוא מסוג ראשון או שני. הפונקציה אינה חסומה ~~באיזור~~ הנקודות אפס ואחד. לכן נחלק לחלקים שהם סופיים ובהם הפונקציה אינה חסומה בצד אחד, או קטעים אינסופיים בהם הפונקציה אינטגרבילית על כל תת קטע סופי.		נחלק את הקטע לתתי-קטעים עליהם האינטגרל הוא מסוג ראשון או שני. הפונקציה אינה חסומה באזור הנקודות אפס ואחד. לכן נחלק לחלקים שהם סופיים ובהם הפונקציה אינה חסומה בצד אחד, או קטעים אינסופיים בהם הפונקציה אינטגרבילית על כל תת-קטע סופי.

	::<math>\~~int_~~{-\infty}^\infty\~~frac{1}~~{x(x-1)}=\~~int_~~{-\infty}^{-1}\~~frac{1}~~{x(x-1)}+\~~int_~~{-1}^{0}\~~frac{1}~~{x(x-1)}+\~~int_{0}~~^{\~~frac{1}{2}}~~\~~frac{1}~~{x(x-1)}+\~~int_~~{\~~frac{1}{2}~~}^{1}\~~frac{1}~~{x(x-1)}+		<math>\int\limits_{-\infty}^\infty\frac1{x(x-1)}=\int\limits_{-\infty}^{-1}\frac1{x(x-1)}+\int\limits_{-1}^0\frac1{x(x-1)}+\int\limits_0^\frac12\frac1{x(x-1)}+\int\limits_{\frac12}^1\frac1{x(x-1)}+\int\limits_1^2\frac1{x(x-1)}+\int\limits_2^\infty\frac1{x(x-1)}</math>
	\~~int_{1}~~^{2}\~~frac{1}~~{x(x-1)}+\~~int_{2}~~^{\infty}\~~frac{1}~~{x(x-1)}</math>

ארז שיינר: /* אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון */

2012-05-07T07:20:48Z

אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:20, 7 במאי 2012
שורה 7:		שורה 7:

	אומרים כי האינטגרל '''מתכנס''' אם הגבול קיים.		אומרים כי האינטגרל '''מתכנס''' אם הגבול קיים.

			ההגדרה דומה עבור קטע מהצורה <math>(-\infty,a]</math>

	==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני==		==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני==

ארז שיינר: /* אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני */

2012-05-07T07:20:04Z

אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:20, 7 במאי 2012
שורה 9:		שורה 9:

	==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני==		==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני==
			תהי f פונקציה אינטגרבילית על כל קטע מהצורה <math>[a,b-\epsilon]</math> כאשר <math>\epsilon >0</math>, ואינה חסומה על הקטע <math>[a,b]</math>. נגדיר

			::<math>\int_a^bf(x)dx:=\lim_{t\rightarrow b^-}\int_a^tf(x)dx</math>

			אומרים כי האינטגרל '''מתכנס''' אם הגבול קיים

			ההגדרה דומה אם הפונקציה אינה חסומה בצד השמאלי.

	==אינטגרל כללי==		==אינטגרל כללי==

ארז שיינר: /* אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון */

2012-05-07T07:15:51Z

אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:15, 7 במאי 2012
שורה 2:		שורה 2:

	==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון==		==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון==
			תהי f פונקציה האינטגרבילית על כל קטע מהצורה <math>[a,a+M]</math> כאשר <math>M>0</math> נגדיר

			::<math>\int_a^\infty f(x)dx:=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_a^tf(x)dx</math>

			אומרים כי האינטגרל '''מתכנס''' אם הגבול קיים.

	==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני==		==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני==

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי רימן ודרבו. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופי..."

2012-05-07T07:08:55Z

יצירת דף עם התוכן "עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי רימן ודרבו. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופי..."

דף חדש

עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי רימן ודרבו. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופיים בלבד.

==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון==

==אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג שני==

==אינטגרל כללי==

תהי f פונקציה. אזי האינטגרל <math>\int_a^bf(x)dx</math> כאשר <math>-\infty\leq a \leq b \leq \infty</math> '''מתכנס''' אם ורק אם ניתן לחלק את הקטע למספר סופי של קטעים עליהם f אינטגרבילית רימן/דרבו, האינטגרל על f הוא מתכנס מסוג ראשון או מתכנס מסוג שני.

כלומר, בהנתן אינטגרל, מחלקים אותו לקטעים בהם יש צד אחד "בעייתי" לכל היותר (כלומר צד אחד אינסופי, או צד אחד בו הפונקציה אינה חסומה).

'''דוגמא.'''

האם האינטגרל הבא מתכנס <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x(x-1)}</math>?

'''פתרון.'''

נחלק את הקטע לתתי קטעים עליהם האינטגרל הוא מסוג ראשון או שני. הפונקציה אינה חסומה באיזור הנקודות אפס ואחד. לכן נחלק לחלקים שהם סופיים ובהם הפונקציה אינה חסומה בצד אחד, או קטעים אינסופיים בהם הפונקציה אינטגרבילית על כל תת קטע סופי.

::<math>\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x(x-1)}=\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{x(x-1)}+\int_{-1}^{0}\frac{1}{x(x-1)}+\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{x(x-1)}+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{x(x-1)}+
\int_{1}^{2}\frac{1}{x(x-1)}+\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(x-1)}</math>