אינטגרל מסויים - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה: /* פונקצית דיריכלה */

2017-02-12T15:21:30Z

פונקצית דיריכלה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:21, 12 בפברואר 2017
שורה 19:		שורה 19:
	:<math>M_k=\sup\Big\{D(x)\|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=1</math>		:<math>M_k=\sup\Big\{D(x)\|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=1</math>

	ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה		ולכן '''כל''' [[סכום דרבו\|סכום דארבו]] תחתון שווה
	:<math>\sum_k0\cdot\Delta_k=0</math>		:<math>\sum_k0\cdot\Delta_k=0</math>

	וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו]] עליון שווה		וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו\|סכום דארבו]] עליון שווה
	:<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big\|[0,1]\Big\|=1-0=1</math>		:<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big\|[0,1]\Big\|=1-0=1</math>

יהודה שמחה: /* פונקצית דיריכלה */

2016-11-03T12:29:43Z

פונקצית דיריכלה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:29, 3 בנובמבר 2016
שורה 15:		שורה 15:
	כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:		כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

	:<math>m_k=\inf\{D(x)\|x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>		:<math>m_k=\inf\Big\{D(x)\|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=0</math>

	:<math>M_k=\sup\{D(x)\|x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math>		:<math>M_k=\sup\Big\{D(x)\|x_{k-1}\le x\le x_k\Big\}=1</math>

	ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה		ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה

יהודה שמחה ב־22:44, 1 בנובמבר 2016

2016-11-01T22:44:42Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:44, 1 בנובמבר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]
	==הגדרה==		==הגדרה==
	תהי <math>f</math> פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של <math>f</math> בקטע:		תהי <math>f</math> פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math> . אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של <math>f</math> בקטע:

	*הגדרה לפי '''~~דרבו~~''': אם גבול [[סכום דרבו\|סכומי ~~דרבו~~]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי ~~דרבו~~ העליונים אזי הפונקציה <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי ~~דרבו~~.		*הגדרה לפי '''דארבו''': אם גבול [[סכום דרבו\|סכומי דארבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דארבו העליונים אזי הפונקציה <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דארבו.
	*הגדרה לפי '''~~רימן~~''': אם גבול [[סכום רימן\|סכומי ~~רימן~~]] קיים אזי <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי ~~רימן~~.		*הגדרה לפי '''רימאן''': אם גבול [[סכום רימן\|סכומי רימאן]] קיים אזי <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימאן.

	==דוגמאות==		==דוגמאות==
	===פונקצית דיריכלה===		===פונקצית דיריכלה===
	הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>:		הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> :

	:<math>D(x)=\begin{cases} 1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>		:<math>D(x)=\begin{cases}1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>

	~~'''~~הוכחה.~~'''~~		;הוכחה.
	כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:		כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

שורה 20:		שורה 20:

	ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה		ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה
	:<math>\sum_k0\cdot\Delta_k =0</math>		:<math>\sum_k0\cdot\Delta_k=0</math>

	וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו]] עליון שווה		וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו]] עליון שווה
שורה 27:		שורה 27:
	שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.		שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

	אם כך, גבול סכומי ~~דרבו~~ התחתונים הנו <math>0</math> והוא שונה מגבול סכומי ~~דרבו~~ העליונים שהוא <math>1</math>, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.		אם כך, גבול סכומי דארבו התחתונים הנו <math>0</math> והוא שונה מגבול סכומי דארבו העליונים שהוא <math>1</math>, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.

	===פונקצית ~~רימן~~===		===פונקצית רימאן===
	הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>, וכי מתקיים <math>\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0</math>		הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> , וכי מתקיים <math>\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0</math>

	:<math>R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>		:<math>R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>
שורה 36:		שורה 36:
	כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של <math>x</math>.		כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של <math>x</math>.

	~~'''~~הוכחה.~~'''~~		;הוכחה.
	באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי ~~דרבו~~ התחתונים הוא <math>0</math>. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא <math>0</math>.		באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דארבו התחתונים הוא <math>0</math>. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא <math>0</math>.

	יהי <math>\epsilon>0</math>. צריך למצוא <math>\delta>0</math> כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה\|פרמטר חלוקה]] קטן מ <math>\delta</math>, מתקיים שמרחק סכום ~~הדרבו~~ העליון שלה מ- <math>0</math> קטן מ- <math>\epsilon</math>.		יהי <math>\epsilon>0</math> . צריך למצוא <math>\delta>0</math> כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה\|פרמטר חלוקה]] קטן מ- <math>\delta</math> , מתקיים שמרחק סכום הדארבו העליון שלה מ- <math>0</math> קטן מ- <math>\epsilon</math> .

	כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו <math>0</math>, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום ~~הדרבו~~ העליון קטן מ- <math>\epsilon</math>.		כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו <math>0</math> , צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדארבו העליון קטן מ- <math>\epsilon</math> .

	כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\ge\frac1{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-<math>n_q</math> .		כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\ge\frac1{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב- <math>n_q</math> .

	אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).		אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

	כעת, בהנתן חלוקה <math>P</math> כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\ge\frac1{q}</math>, ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר <math>1</math> כפול אורך הקטע.		כעת, בהנתן חלוקה <math>P</math> כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\ge\frac1{q}</math> , ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר <math>1</math> כפול אורך הקטע.

	בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי <math>\frac1{q}</math> .		בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי <math>\frac1{q}</math> .
שורה 53:		שורה 53:
	לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:		לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:

	::<math>\overline{S}(R,P)\le \frac1{q}\cdot \Big\|[0,1]\Big\| + n_q\cdot\lambda(P)</math>		:<math>\overline{S}(R,P)\le\frac1{q}\cdot\Big\|[0,1]\Big\|+n_q\cdot\lambda(P)</math>

	כאשר <math>\lambda(P)</math> הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.		כאשר <math>\lambda(P)</math> הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.

יהודה שמחה ב־00:32, 27 בינואר 2016

2016-01-27T00:32:00Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:32, 27 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]
	==הגדרה==		==הגדרה==
	תהי f פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל ~~המסויים~~ של f בקטע:		תהי <math>f</math> פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסוים של <math>f</math> בקטע:

	*הגדרה לפי '''דרבו''': אם גבול [[סכום דרבו\|סכומי דרבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה f '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל ~~המסויים~~ בקטע שווה לגבול סכומי ~~הדרבו~~		*הגדרה לפי '''דרבו''': אם גבול [[סכום דרבו\|סכומי דרבו]] התחתונים קיים ושווה לגבול סכומי דרבו העליונים אזי הפונקציה <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי דרבו.
	*הגדרה לפי '''רימן''': אם גבול [[סכום רימן\|סכומי רימן]] קיים אזי f '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל ~~המסויים~~ בקטע שווה לגבול סכומי ~~הרימן~~		*הגדרה לפי '''רימן''': אם גבול [[סכום רימן\|סכומי רימן]] קיים אזי <math>f</math> '''אינטגרבילית''' בקטע והאינטגרל המסוים בקטע שווה לגבול סכומי רימן.

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

	===פונקצית דיריכלה===		===פונקצית דיריכלה===
	הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>:		הוכח כי הפונקציה הבאה אינה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>:

	::<math>D(x)=\begin{cases} 1&x\in\~~mathbb{~~Q}\\0&x\notin\~~mathbb{~~Q}\end{cases}</math>		:<math>D(x)=\begin{cases} 1&x\in\Q\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>

	'''הוכחה.'''		'''הוכחה.'''
	~~כיוון~~ שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי רציונאלית, מתקיים לכל קטע:		כיון שבכל [[חלוקה]] ובכל קטע קיימות גם נקודה רציונאלית וגם נקודה אי-רציונאלית, מתקיים לכל קטע:

	~~::<math>m_k=\inf\{D(x)\|x_{k-1}\leq x\leq x_k\}=0</math>~~

	::<math>~~M_k~~=\~~sup~~\{D(x)\|x_{k-1}\~~leq~~ x\~~leq~~ x_k\}=1</math>		:<math>m_k=\inf\{D(x)\|x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math>

			:<math>M_k=\sup\{D(x)\|x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math>

	ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה		ולכן '''כל''' [[סכום דרבו]] תחתון שווה
	::<math>\sum_k0\cdot\Delta_k =0</math>		:<math>\sum_k0\cdot\Delta_k =0</math>

	וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו]] עליון שווה		וכמו כן '''כל''' [[סכום דרבו]] עליון שווה
	::<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\|[0,1]\|=1-0=1</math>		:<math>\sum_k1\cdot\Delta_k=\sum_k\Delta_k=\Big\|[0,1]\Big\|=1-0=1</math>

	שכן סכום אורכי כל תתי הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.		שכן סכום אורכי כל תתי-הקטעים של החלוקה, שווה לאורך הקטע כולו.

	אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים ~~הינו אפס~~ והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא 1, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.		אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הנו <math>0</math> והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא <math>1</math>, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.

	===פונקצית רימן===		===פונקצית רימן===
			הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>, וכי מתקיים <math>\displaystyle\int\limits_0^1 R(x)dx=0</math>

	~~הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>, וכי מתקיים <math>\int_0^1R(x)dx=0</math>~~		:<math>R(x)=\begin{cases} \frac1{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\Q\end{cases}</math>

	::<math>R(x)=\begin{cases} \~~frac{1}~~{q}&x=\frac{p}{q}\\0&x\notin\~~mathbb{~~Q}\end{cases}</math>

	כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של x.		כאשר <math>\frac{p}{q}</math> הוא '''השבר המצומצם''' של <math>x</math>.

	'''הוכחה.'''		'''הוכחה.'''
	באופן דומה לתרגיל על ~~פונקציה~~ דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי ~~הדרבו~~ התחתונים הוא ~~אפס~~. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים הוא ~~אפס גם כן~~.		באופן דומה לתרגיל על פונקציית דיריכלה, קל לראות כי גבול סכומי דרבו התחתונים הוא <math>0</math>. לכן ניתן להוכיח כי גבול סכומי דרבו העליונים גם הוא <math>0</math>.

	יהי ~~אפסילון גדול מאפס~~. צריך למצוא ~~דלתא גדול מאפס~~ כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה\|פרמטר חלוקה]] קטן ~~מדלתא~~, מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה ~~מאפס~~ קטן ~~מאפסילון~~.		יהי <math>\epsilon>0</math>. צריך למצוא <math>\delta>0</math> כך ש'''לכל''' [[חלוקה]] עם [[חלוקה\|פרמטר חלוקה]] קטן מ <math>\delta</math>, מתקיים שמרחק סכום הדרבו העליון שלה מ- <math>0</math> קטן מ- <math>\epsilon</math>.

	~~כיוון~~ שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול ~~הינו אפס~~, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן ~~מאפסילון~~.		כיון שמדובר בפונקציה חיובית, והגבול הנו <math>0</math>, צריך להוכיח שלכל חלוקה סכום הדרבו העליון קטן מ- <math>\epsilon</math>.

			כעת נראה כי לכל מספר טבעי <math>q</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)\ge\frac1{q}</math> הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-<math>n_q</math> .

	~~כעת נראה כי לכל מספר טבעי~~ <math>q~~</math> מספר הנקודות בקטע בהן <math>R(x)~~\~~geq~~\frac{1}{q}</math> ~~הוא סופי, ונסמן מספר זה ב-<math>n_q</math>~~		אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac12,\frac13,\frac23,\frac14,\frac24,\frac34,\ldots,\frac1{q},\ldots,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שיתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

			כעת, בהנתן חלוקה <math>P</math> כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\ge\frac1{q}</math>, ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר <math>1</math> כפול אורך הקטע.

	אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},...,\frac{1}{q},...,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שייתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).		בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על-ידי <math>\frac1{q}</math> .


	כעת, בהנתן חלוקה P כלשהי, לכל היותר <math>n_q</math> קטעים מכילים נקודות בהן <math>R\geq\frac{1}{q}</math>, ולכן שטח הפונקציה במלבנים המתאימים לחלקים אלה הוא לכל היותר 1 כפול אורך הקטע.

	בשאר הקטעים, גובה הפונקציה חסום על ידי <math>\~~frac{1}~~{q}</math>.

	לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:		לכן סכום הדרבו העליון הוא לכל היותר סכום הקטעים משני הסוגים האלו, ויתרה על כך:

	::<math>\overline{S}(R,P)\~~leq~~ \~~frac{1}~~{q}\cdot \|[0,1]\| + n_q\cdot\lambda(P)</math>		::<math>\overline{S}(R,P)\le \frac1{q}\cdot \Big\|[0,1]\Big\| + n_q\cdot\lambda(P)</math>

	כאשר <math>\lambda(P)</math> הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.		כאשר <math>\lambda(P)</math> הוא אורך הקטע הכי ארוך בחלוקה. בוודאי אורכי הקטעים המכילים את הנקודות הגבוהות קטנים או שווים לו.
שורה 65:		שורה 59:

	בסה"כ, נבחר q כך ש:		בסה"כ, נבחר q כך ש:
	::<math>\~~frac{1}~~{q}<\frac{\epsilon}{2}</math>		:<math>\frac1{q}<\frac{\epsilon}{2}</math>

	ולאחר מכן נבחר ~~דלתא~~ כך ש:		ולאחר מכן נבחר <math>\delta</math> כך ש:
	::<math>n_q\delta < \frac{\epsilon}{2}</math>		:<math>n_q\delta<\frac{\epsilon}{2}</math>

	וכך קיבלנו את ~~המשל~~.		וכך קיבלנו את שרצינו. <math>\blacksquare</math>

	==חישוב האינטגרל המסוים==		==חישוב האינטגרל המסוים==

	קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש ב[[המשפט היסודי של החדוא\|נוסחת ניוטון-לייבניץ]].		קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש ב[[המשפט היסודי של החדוא\|נוסחת ניוטון-לייבניץ]].

גיא ב־14:30, 14 במאי 2015

2015-05-14T14:30:53Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:30, 14 במאי 2015
שורה 71:		שורה 71:

	וכך קיבלנו את המשל.		וכך קיבלנו את המשל.

			==חישוב האינטגרל המסוים==

			קיימות מספר שיטות לחישוב האינטגרל המסוים, כשהנפוצה והשימושית ביותר היא שימוש ב[[המשפט היסודי של החדוא\|נוסחת ניוטון-לייבניץ]].

עמנואל: /* פונקצית רימן */

2012-04-28T18:37:18Z

פונקצית רימן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:37, 28 באפריל 2012
שורה 65:		שורה 65:

	בסה"כ, נבחר q כך ש:		בסה"כ, נבחר q כך ש:
	::<math>frac{1}{q}<\frac{\epsilon}{2}</math>		::<math>\frac{1}{q}<\frac{\epsilon}{2}</math>

	ולאחר מכן נבחר דלתא כך ש:		ולאחר מכן נבחר דלתא כך ש:

G: /* פונקצית רימן */

2012-04-03T13:28:15Z

פונקצית רימן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:28, 3 באפריל 2012
שורה 70:		שורה 70:
	::<math>n_q\delta < \frac{\epsilon}{2}</math>		::<math>n_q\delta < \frac{\epsilon}{2}</math>

	וכך קיבלנו את המשל.		וכך קיבלנו את המשל.

ארז שיינר: /* פונקציה רימן */

2012-03-20T15:56:22Z

פונקציה רימן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:56, 20 במרץ 2012
שורה 31:		שורה 31:
	אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הינו אפס והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא 1, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.		אם כך, גבול סכומי דרבו התחתונים הינו אפס והוא שונה מגבול סכומי דרבו העליונים שהוא 1, ולכן הפונקציה '''אינה אינטגרבילית''' בקטע.

	===~~פונקציה~~ רימן===		===פונקצית רימן===

	הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>, וכי מתקיים <math>\int_0^1R(x)dx=0</math>		הוכח כי הפונקציה הבאה אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math>, וכי מתקיים <math>\int_0^1R(x)dx=0</math>

ארז שיינר: /* פונקציה רימן */

2012-03-20T15:55:51Z

פונקציה רימן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:55, 20 במרץ 2012
שורה 50:		שורה 50:


	אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},...,\frac{1}{q},...,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שייתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).		אכן, הנקודות היחידות המקיימות תנאי זה הן <math>1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},...,\frac{1}{q},...,\frac{q-1}{q}</math> (שימו לב שייתכן שחלק מהשברים הללו אינם מצומצמים ולכן יש אפילו פחות נקודות מאשר ברשימה הזו).

ארז שיינר ב־21:52, 19 במרץ 2012

2012-03-19T21:52:57Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:52, 19 במרץ 2012
שורה 1:		שורה 1:
			[[קטגוריה:אינפי]]
	==הגדרה==		==הגדרה==
	תהי f פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסויים של f בקטע:		תהי f פונקציה ממשית המוגדרת וחסומה בקטע <math>(a,b)</math>. אזי ישנן שתי הגדרות שקולות לאינטגרל המסויים של f בקטע: