אינטגרציה בחלקים - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־11:11, 3 בנובמבר 2016

2016-11-03T11:11:34Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:11, 3 בנובמבר 2016
שורה 8:		שורה 8:
	:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>		:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>

	הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f וg בעלות נגזרות רציפות.		הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור <math>f,g</math> בעלות נגזרות רציפות.

	(אחרת, אמנם יש קדומה ל<math>f'\cdot g+g'\cdot f</math>, אבל לא בהכרח ל<math>f'\cdot g</math> ו <math>g'\cdot f</math> בנפרד.)		(אחרת, אמנם יש קדומה ל- <math>f'\cdot g+g'\cdot f</math> , אבל לא בהכרח ל- <math>f'\cdot g</math> ו- <math>g'\cdot f</math> בנפרד.)

	==דוגמאות==		==דוגמאות==
	א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.		א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

	<math>\int{x~~\cdot~~\cos(x)}=?</math>		<math>\int x\cos(x)dx=?</math>

	נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math>		נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math>
שורה 23:		שורה 23:
	לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים		לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

	:<math>\int{x~~\cdot~~\cos(x)}=x~~\cdot~~\sin(x)-\int{\sin(x)}=x~~\cdot~~\sin(x)+\cos(x)+C</math> .		:<math>\int x\cos(x)dx=x\sin(x)-\int\sin(x)dx=x\sin(x)+\cos(x)+C</math>


	ב. '''חזרה למקורות''' - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את ~~הבעייה~~.		ב. '''חזרה למקורות''' - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעיה.

	<math>\int{e^x~~\cdot~~\cos(x)}=?</math>		<math>\int e^x\cos(x)dx=?</math>

	נסמן <math>I=\int{e^x~~\cdot~~\cos(x)}</math>		נסמן <math>I=\int e^x\cos(x)dx</math>

	לכן		לכן

	:<math>I=e^x~~\cdot~~\cos(x)+\int{e^x~~\cdot~~\sin(x)}=e^x~~\cdot~~\cos(x)+e^x~~\cdot~~\sin(x)-\int{e^x~~\cdot~~\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math>		:<math>I=e^x\cos(x)+\int e^x\sin(x)dx=e^x\cos(x)+e^x\sin(x)-\int e^x\cos(x)dx=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math>

	ולכן		ולכן

	:<math>2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big)</math>		:<math>2I=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)</math>

	ומכאן יוצא		ומכאן יוצא

	:<math>\int{e^x~~\cdot~~\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math> .		:<math>\int e^x\cos(x)dx=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math>

	ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.		ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

	<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math>		<math>\int\sqrt{a^2-x^2}dx=?</math>

	נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math>		נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math>

	ולכן <math>f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>		ולכן <math>f=x\ ,\ g'=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>

	נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:		נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

	:<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>		:<math>\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=</math>

	:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>		:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=</math>

	:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{~~\frac1~~{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>		:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=</math>


	ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת		ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

	:<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{~~\frac1~~{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>		:<math>2\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>

	כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]].		כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]].

ארז שיינר: /* דוגמאות */

2016-07-20T18:59:23Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:59, 20 ביולי 2016
שורה 26:		שורה 26:


	ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם ~~עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה~~.		ב. '''חזרה למקורות''' - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעייה.

	<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=?</math>		<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=?</math>

ארז שיינר: /* הגדרה */

2016-07-20T18:58:00Z

הגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:58, 20 ביולי 2016
שורה 7:		שורה 7:
	הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:		הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
	:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>		:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>

			הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור f וg בעלות נגזרות רציפות.

			(אחרת, אמנם יש קדומה ל<math>f'\cdot g+g'\cdot f</math>, אבל לא בהכרח ל<math>f'\cdot g</math> ו <math>g'\cdot f</math> בנפרד.)

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

יהודה שמחה ב־00:41, 27 בינואר 2016

2016-01-27T00:41:38Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:41, 27 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]
	==הגדרה==		==הגדרה==
	'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי ~~לנוסחאת~~ האינטגרציה הבאה:		'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:

	::<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math>		:<math>\int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'}</math>

	הנוסחא נובעת מיידית ~~מנוסחאת~~ גזירת כפל:		הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
	::<math>(fg)'=f'g+g'f</math>		:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>

	==דוגמאות==		==דוגמאות==
	א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על ידי גזירתו. ~~ייתכן~~ ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.		א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

	<math>\int{~~xcos~~(x)}=?</math>		<math>\int{x\cdot\cos(x)}=?</math>

	נסמן <math>f'=cos(x),g=x</math>		נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math>

	ולכן <math>f=sin(x),g'=1</math>		ולכן <math>f=\sin(x)\ ,\ g'=1</math>

	~~ולפי נוסחאת~~ אינטגרציה בחלקים מתקיים		לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

	::<math>\int{~~xcos~~(x)}=~~xsin~~(x)-\int{sin(x)}=~~xsin~~(x)+cos(x)+C</math>		:<math>\int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C</math> .


			ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.

			<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=?</math>

	~~ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעייה.~~		נסמן <math>I=\int{e^x\cdot\cos(x)}</math>

	~~<math>\int{e^xcos(x)}=?</math>~~

	נסמן

	::<math>I=\int{e^~~xcos~~(x)}</math>

	לכן		לכן

	::<math>I=e^~~xcos~~(x)+\int{e^~~xsin~~(x)}=e^~~xcos~~(x)+e^~~xsin~~(x)-\int{e^~~xcos~~(x)}=e^x\~~Big~~(sin(x)+cos(x)\~~Big~~)-I</math>		:<math>I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math>

	ולכן		ולכן

	::<math>2I=e^x\~~Big~~(sin(x)+cos(x)\~~Big~~)</math>		:<math>2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big)</math>

	ומכאן יוצא		ומכאן יוצא

	::<math>\int{e^~~xcos~~(x)}=I=\frac{e^x\~~Big~~(sin(x)+cos(x)\~~Big~~)}{2}+C</math>		:<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math> .


			ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
	ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע 1 כנגזרת של הפונקציה x ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון ~~הבעייה~~ באמצעות אינטגרציה בחלקים.

	<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math>		<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math>

	נסמן <math>f'=1,g=\sqrt{a^2-x^2}</math>		נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math>

	ולכן <math>f=x,g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>		ולכן <math>f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>

	נפעיל ~~את נוסחאת~~ אינטגרציה בחלקים:		נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

	::<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>		:<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>

	::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>		:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>

	::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\~~frac{1}~~{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>		:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>


	ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת		ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

	::<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\~~frac{1}~~{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>		:<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>


	כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]]		כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]].

ארז שיינר ב־09:35, 18 במרץ 2012

2012-03-18T09:35:55Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:35, 18 במרץ 2012
שורה 1:		שורה 1:
			[[קטגוריה:אינפי]]
	==הגדרה==		==הגדרה==
	'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחאת האינטגרציה הבאה:		'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחאת האינטגרציה הבאה:

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== '''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחאת האינטגרציה הבאה: :: $\int{f'g}=fg-\int{fg'}$ הנו..."

2012-03-18T09:09:26Z

יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== '''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחאת האינטגרציה הבאה: ::<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math> הנו..."

דף חדש

==הגדרה==
'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחאת האינטגרציה הבאה:

::<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math>

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחאת גזירת כפל:
::<math>(fg)'=f'g+g'f</math>

==דוגמאות==
א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על ידי גזירתו. ייתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

<math>\int{xcos(x)}=?</math>

נסמן <math>f'=cos(x),g=x</math>

ולכן <math>f=sin(x),g'=1</math>

ולפי נוסחאת אינטגרציה בחלקים מתקיים

::<math>\int{xcos(x)}=xsin(x)-\int{sin(x)}=xsin(x)+cos(x)+C</math>

ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעייה.

<math>\int{e^xcos(x)}=?</math>

נסמן

::<math>I=\int{e^xcos(x)}</math>

לכן

::<math>I=e^xcos(x)+\int{e^xsin(x)}=e^xcos(x)+e^xsin(x)-\int{e^xcos(x)}=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)-I</math>

ולכן

::<math>2I=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)</math>

ומכאן יוצא

::<math>\int{e^xcos(x)}=I=\frac{e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)}{2}+C</math>

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע 1 כנגזרת של הפונקציה x ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעייה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math>

נסמן <math>f'=1,g=\sqrt{a^2-x^2}</math>

ולכן <math>f=x,g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>

נפעיל את נוסחאת אינטגרציה בחלקים:

::<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>

::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>

::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>

ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

::<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]]