אי-שוויון הממוצעים - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה: הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים

2021-10-31T17:28:58Z

הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים

ארז שיינר: /* המספר e */

2020-11-15T13:04:54Z

המספר e

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:04, 15 בנובמבר 2020
שורה 282:		שורה 282:
	נוכיח כי הסדרה <math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מונוטונית עולה ממש.		נוכיח כי הסדרה <math>a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> מונוטונית עולה ממש.

	:<math>~~\left~~(1+\frac{1}{n}~~\right~~)^n= ~~\left~~(1+\frac{1}{n}~~\right~~)~~\cdots \left~~(1+\frac{1}{n}~~\right~~)~~\cdot~~ 1</math>
			נחשב (סתם ככה בלי תירוצים נוספים) ממוצע הנדסי וחשבוני בין n+1 המספרים החיוביים הבאים (כי מותר, אז למה לא).

			:<math>x_1=(1+\frac{1}{n}),x_2=(1+\frac{1}{n}),...,x_n=(1+\frac{1}{n}),x_{n+1}=1</math>


			לפי אי שיוויון הממוצעים (שהוא נכון תמיד, גם למספרים שבחרנו ככה באופן חסר אחריות), כיוון שלא מדובר במספרים שווים, הממוצע ההנדסי קטן ממש מהממוצע החשבוני:


	:<math>\sqrt[n+1]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)+...+\left(1+\frac{1}{n}\right)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}</math>		:<math>\sqrt[n+1]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}<\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)+...+\left(1+\frac{1}{n}\right)+1}{n+1}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}</math>
שורה 293:		שורה 300:

	נוכיח כי הסדרה <math>b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> מונוטונית יורדת ממש.		נוכיח כי הסדרה <math>b_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}</math> מונוטונית יורדת ממש.


			באופן דומה, נשווה בין הממוצע ההרמוני לממוצע ההנדסי של n+2 המספרים הבאים:


			:<math>x_1=(1+\frac{1}{n}),x_2=(1+\frac{1}{n}),...,x_{n+1}=(1+\frac{1}{n}),x_{n+2}=1</math>


			ונקבל:


	:<math>\sqrt[n+2]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}> \frac{n+2}{\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} + ...+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+1 }</math>		:<math>\sqrt[n+2]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}}> \frac{n+2}{\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)} + ...+\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}+1 }</math>
שורה 312:		שורה 329:

	למשל עבור n=1 מקבלים כי <math>2<e<4</math>.		למשל עבור n=1 מקבלים כי <math>2<e<4</math>.


	==אי שיוויון ברנולי==		==אי שיוויון ברנולי==

ארז שיינר ב־19:47, 28 באוקטובר 2020

2020-10-28T19:47:48Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:47, 28 באוקטובר 2020
שורה 2:		שורה 2:

	(אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, פרופ' [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A0%D7%95_%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%9C בנו ארבל].)		(אסטרטגיות לפתרון בעיות מתמטיות, פרופ' [https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%91%D7%A0%D7%95_%D7%90%D7%A8%D7%91%D7%9C בנו ארבל].)


			<videoflash>v7tyKNPU-7I</videoflash>


	=אי-שוויון הממוצעים=		=אי-שוויון הממוצעים=
	יהיו מספרים חיוביים <math>0<a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> אזי:		יהיו מספרים חיוביים <math>0<a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> אזי:

ארז שיינר: /* הכללה למקרה הn מימדי */

2020-10-28T13:25:40Z

הכללה למקרה הn מימדי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:25, 28 באוקטובר 2020
שורה 113:		שורה 113:
	סכום הצלעות (פאות ממימד 1) של תיבה תלת מימדים הינה <math>4(a+b+c)</math> ומתקיים כי		סכום הצלעות (פאות ממימד 1) של תיבה תלת מימדים הינה <math>4(a+b+c)</math> ומתקיים כי
	:<math>4(a+b+c)=12\cdot\frac{a+b+c}{3}>12\sqrt[3]{abc}</math>		:<math>4(a+b+c)=12\cdot\frac{a+b+c}{3}>12\sqrt[3]{abc}</math>
	ואילו <math>12\sqrt[3]{abc}</math> הוא סכום הצלעות של הקוביה התלת ~~מימדים~~ בעלת אותו השטח כמו התיבה.		ואילו <math>12\sqrt[3]{abc}</math> הוא סכום הצלעות של הקוביה התלת מימדית בעלת אותו השטח כמו התיבה.


	כעת עבור תיבה n-מימדית, סכום הצלעות הינו <math>2^{n-1}(a_1+...+a_n)</math>,		כעת עבור תיבה n-מימדית, סכום הצלעות הינו <math>2^{n-1}(a_1+...+a_n)</math>,

ארז שיינר: /* משמעות הממוצעים */

2020-10-28T07:00:43Z

משמעות הממוצעים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:00, 28 באוקטובר 2020
שורה 75:		שורה 75:
	נתון מלבן עם צלעות באורכים a,b. אנחנו רוצים למצוא 'ממוצע' של אורכי הצלעות, כלומר מספר אחד שיכול 'להחליף' את שניהם.		נתון מלבן עם צלעות באורכים a,b. אנחנו רוצים למצוא 'ממוצע' של אורכי הצלעות, כלומר מספר אחד שיכול 'להחליף' את שניהם.

	אם חשוב לנו השטח, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע ששטחו יהיה שווה לשטח המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע ההנדסי''' <math>x=\sqrt{ab}</math>.		*אם חשוב לנו השטח, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע ששטחו יהיה שווה לשטח המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע ההנדסי''' <math>x=\sqrt{ab}</math>.

	אם חשוב לנו ההיקף, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע שהיקפו יהיה שווה להיקף המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע החשבוני''' <math>x=\frac{a+b}{2}</math>.		*אם חשוב לנו ההיקף, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע שהיקפו יהיה שווה להיקף המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע החשבוני''' <math>x=\frac{a+b}{2}</math>.

	ואם חשוב לנו השילוב בין השטח להיקף? בריבוע השטח חלקי ההיקף שווה לרבע הצלע. ~~כלומר~~ אפשר לומר שהצלע 'הממוצעת' של המלבן היא היחס בין ~~4 פעמים~~ השטח לבין ההיקף.		*ואם חשוב לנו השילוב בין השטח להיקף? בריבוע השטח חלקי ההיקף שווה לרבע הצלע. לכן אם רוצים לשמור על היחס בין השטח להיקף, אפשר לומר שהצלע 'הממוצעת' של המלבן היא 4 פעמים היחס בין השטח לבין ההיקף.

	נקבל במקרה זה <math>x=\frac{~~4ab~~}{2(a+b)}=\frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>, הוא '''הממוצע ההרמוני'''.		נקבל במקרה זה <math>x=4\cdot\frac{ab}{2(a+b)}=\frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>, הוא '''הממוצע ההרמוני'''.

ארז שיינר: /* הממוצע החשבוני */

2019-11-17T11:19:36Z

הממוצע החשבוני

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:19, 17 בנובמבר 2019
שורה 197:		שורה 197:
	נסמן <math>M=\|a_1-L\|+...+\|a_{n_1}-L\|</math>.		נסמן <math>M=\|a_1-L\|+...+\|a_{n_1}-L\|</math>.

	אזי <math>\left\|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right\| = \left\|\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}\right\|\leq \frac{M+(n-n1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\leq\frac{M+n\frac{\varepsilon}{2}}{n}</math>		אזי <math>\left\|\frac{a_1+...+a_n}{n}-L\right\| = \left\|\frac{(a_1-L)+...+(a_n-L)}{n}\right\|\leq \frac{M+(n-n_1)\frac{\varepsilon}{2}}{n}\leq\frac{M+n\frac{\varepsilon}{2}}{n}</math>

	נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}</math>.		נבחר <math>n_2>n_1</math> כך שלכל <math>n>n_2</math> מתקיים כי <math>\frac{M}{n}<\frac{\varepsilon}{2}</math>.
שורה 217:		שורה 217:

	וביחד נקבל כי לכל <math>n>n_2</math> מתקיים <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}>M</math>		וביחד נקבל כי לכל <math>n>n_2</math> מתקיים <math>\frac{a_1+...+a_n}{n}>M</math>


	===הממוצע ההרמוני===		===הממוצע ההרמוני===

ארז שיינר: /* עבור מכפלה פנימית ממשית */

2019-06-23T08:29:02Z

עבור מכפלה פנימית ממשית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:29, 23 ביוני 2019
שורה 384:		שורה 384:
	:<math>\langle \frac{v}{\|\|v\|\|},\frac{w}{\|\|w\|\|} \rangle \leq 1</math>		:<math>\langle \frac{v}{\|\|v\|\|},\frac{w}{\|\|w\|\|} \rangle \leq 1</math>

	~~וזהו אי שיוויון קושי-שוורץ.~~		ולכן <math>\langle v,w\rangle \leq \|\|v\|\|\cdot \|\|w\|\|</math>

			ע"י הצבה של <math>-v</math>, נקבל

			:<math>-\langle v,w\rangle \leq \|\|v\|\|\cdot \|\|w\|\|</math>

			וביחד סה"כ קיבלנו את אי שיוויון קושי-שוורץ:

			:<math>\|\langle v,w\rangle\| \leq \|\|v\|\|\cdot \|\|w\|\|</math>

	===עבור מכפלה פנימית מרוכבת===		===עבור מכפלה פנימית מרוכבת===

ארז שיינר: /* משמעות הממוצעים */

2018-12-10T19:17:55Z

משמעות הממוצעים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:17, 10 בדצמבר 2018
שורה 84:		שורה 84:


	~~דרך נוספת להדגים~~ את הממוצע ההרמוני.		נדגים את הממוצע ההרמוני בדרך נוספת:

	נניח שהיום נסעתי לעבודה במהירות a וחזרתי הבייתה במהירות b (היו פקקים), כיצד נגדיר את המהירות הממוצעת של הנסיעה?		נניח שהיום נסעתי לעבודה במהירות a וחזרתי הבייתה במהירות b (היו פקקים), כיצד נגדיר את המהירות הממוצעת של הנסיעה?

ארז שיינר: /* טענת עזר */

2018-12-10T19:15:21Z

טענת עזר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:15, 10 בדצמבר 2018
שורה 19:		שורה 19:
	יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1.		יהי n עבורו הטענה נכונה, ונוכיח אותה עבור n+1.

	יהיו <math>x_1<...<x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.		יהיו <math>x_1\leq...\leq x_{n+1}</math> ממשיים חיוביים המקיימים <math>x_1\cdots x_{n+1}=1</math>.

	כיוון ש<math>x_1</math> הינו המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הינו המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\leq 1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1</math>.		כיוון ש<math>x_1</math> הינו המספר הקטן ביותר, ואילו <math>x_{n+1}</math> הינו המספר הגדול ביותר נובע כי <math>x_1\leq 1</math> ואילו <math>x_{n+1}\geq 1</math>.
שורה 42:		שורה 42:
	כעת שיוויון <math>x_1+...+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי <math>x_1+...+x_{n+1}= x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1=n+1</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)= 0</math>.		כעת שיוויון <math>x_1+...+x_{n+1}=n+1</math> גורר כי <math>x_1+...+x_{n+1}= x_2+...+x_n+x_1\cdot x_{n+1}+1=n+1</math> ולכן <math>(x_1-1)(x_{n+1}-1)= 0</math>.

	לכן <math>x_1=x_{n+1}=1</math> ~~וביחד עם הנחת האינדוקציה נקבל כי~~ <math>~~x_2~~=...=x_n=1</math>.		לכן <math>x_{n+1}=1</math> או <math>x_1=1</math>.

			אם <math>x_{n+1}=1</math> כיוון שהוא הגדול מבין המספרים ומכפלתם היא 1, נובע ש<math>x_1=...=x_n=1</math>. באופן דומה אם <math>x_1=1</math> גם כל המספרים שווים 1.

	===הוכחת אי שיוויון הממוצעים===		===הוכחת אי שיוויון הממוצעים===

ארז שיינר: /* משמעות הממוצעים */

2018-12-10T09:24:56Z

משמעות הממוצעים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:24, 10 בדצמבר 2018
שורה 77:		שורה 77:
	אם חשוב לנו ההיקף, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע שהיקפו יהיה שווה להיקף המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע החשבוני''' <math>x=\frac{a+b}{2}</math>.		אם חשוב לנו ההיקף, אנחנו בעצם מחפשים אורך x של צלע ריבוע שהיקפו יהיה שווה להיקף המלבן. נקבל כמובן את '''הממוצע החשבוני''' <math>x=\frac{a+b}{2}</math>.

	~~כעת,~~ בריבוע ~~ידוע כי שטח~~ חלקי ~~היקף~~ שווה לרבע הצלע. כלומר אפשר לומר שהצלע 'הממוצעת' של המלבן היא היחס בין 4 פעמים השטח לבין ההיקף.		ואם חשוב לנו השילוב בין השטח להיקף? בריבוע השטח חלקי ההיקף שווה לרבע הצלע. כלומר אפשר לומר שהצלע 'הממוצעת' של המלבן היא היחס בין 4 פעמים השטח לבין ההיקף.

	נקבל במקרה זה <math>x=\frac{4ab}{2(a+b)}=\frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>, הוא '''הממוצע ההרמוני'''.		נקבל במקרה זה <math>x=\frac{4ab}{2(a+b)}=\frac{2ab}{a+b} = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}</math>, הוא '''הממוצע ההרמוני'''.