אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן - היסטוריית גרסאות

איתמר שטיין: /* סעיף ג */

2013-08-16T06:49:06Z

סעיף ג

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:49, 16 באוגוסט 2013
שורה 159:		שורה 159:
	לא רק שהטענה לא נכונה. אלא שלכל מערכת לא הומוגנית זה לא נכון.		לא רק שהטענה לא נכונה. אלא שלכל מערכת לא הומוגנית זה לא נכון.

	דוגמא פשוטה היא המערכת <math>x+y=1</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>.		דוגמא נגדית פשוטה היא המערכת <math>x+y=1</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>.

	ניקח פתרונות <math>v_1=\begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix}</math>		ניקח פתרונות <math>v_1=\begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix}</math>

איתמר שטיין: /* סעיף א */

2013-08-16T06:48:36Z

סעיף א

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:48, 16 באוגוסט 2013
שורה 144:		שורה 144:

	ומכאן ברור גם <math>\alpha_2=\alpha_3=0</math>.		ומכאן ברור גם <math>\alpha_2=\alpha_3=0</math>.

			====סעיף ב====
			לא נכון. נבחר <math>V=\mathbb{R}^2</math> ו <math>U=span\{(1,0)\}</math> ו <math>W=span\{(0,1)\}</math>

			ברור ש <math>(1,0),(0,1)\in U\cup W</math>

			אם האיחוד היה מרחב וקטורי הוא היה סגור לחיבור ולכן גם <math>(1,1)\in U\cup W</math>

			אבל זה לא נכון. סתירה.


			====סעיף ג====

			לא רק שהטענה לא נכונה. אלא שלכל מערכת לא הומוגנית זה לא נכון.

			דוגמא פשוטה היא המערכת <math>x+y=1</math> מעל <math>\mathbb{R}</math>.

			ניקח פתרונות <math>v_1=\begin{bmatrix} 1 \\0 \end{bmatrix}</math>

			<math>v_2=\begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix}</math>

			סכומם

			<math>v_1+v_2=\begin{bmatrix} 1 \\1 \end{bmatrix}</math>

			הוא לא פתרון.

איתמר שטיין: /* שאלה 2 */

2013-08-16T06:42:58Z

שאלה 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:42, 16 באוגוסט 2013
שורה 111:		שורה 111:

	(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את <math>A^{-1}</math> לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)		(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את <math>A^{-1}</math> לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)


			===שאלה 3===

			====סעיף א====

			הוכחה: יהי <math>\alpha_1 (v_1+v_2) + \alpha_2(v_2+v_3) +\alpha_3 (v_1+v_3) = 0</math> צירוף לינארי מתאפס כלשהוא של הוקטורים שבשאלה.

			צריך להוכיח ש <math>\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0</math>.

			קל לראות שהצירוף הלינארי שווה ל

			<math>(\alpha_1+\alpha_3) v_1 +(\alpha_1+\alpha_2)v_2+(\alpha_2+\alpha_3)v_3 = 0</math>

			היות ו <math>v_1,v_2,v_3</math> בת"ל. נקבל ש

			<math>\alpha_1+\alpha_3=\alpha_1+\alpha_2=\alpha_2+\alpha_3=0</math>

			זה נותן לנו מערכת משוואות פשוטה.

			קל להסיק ממנה ש

			<math>\alpha_1=-\alpha_2,\quad \alpha_1=-\alpha_3</math>

			אבל בגלל ש <math>\alpha_2+\alpha_3=0</math>

			נקבל ש <math>-2\alpha_1=0</math>

			בגלל שהמאפיין שונה מ <math>2</math> אפשר לחלק ב <math>2</math> ולקבל

			<math>-\alpha_1=0</math> כלומר <math>\alpha_1=0</math>

			ומכאן ברור גם <math>\alpha_2=\alpha_3=0</math>.

איתמר שטיין: /* שאלה 2 */

2013-08-16T06:35:22Z

שאלה 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:35, 16 באוגוסט 2013
שורה 75:		שורה 75:
	<math>A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I</math>		<math>A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I</math>

	כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על <math>I</math> כדי להגיע ל <math>A^-1</math>		כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על <math>I</math> כדי להגיע ל <math>A^{-1}</math>

	לכן קל לחשב ש		לכן קל לחשב ש

	<math>A^-1=\begin{bmatrix}		<math>A^{-1}=\begin{bmatrix}

	0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\		0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
שורה 94:		שורה 94:


	היות ו <math>A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I</math> נקבל ש		היות ו <math>A^{-1}=E_5E_4E_3E_2E_1I</math> נקבל ש

	<math>(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}A^-1=I</math>		<math>(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}A^-1=I</math>

	כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את <math>A^-1</math> הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:		כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את <math>A^{-1}</math> הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:

	<math>R_1 \leftrightarrow R_5</math>		<math>R_1 \leftrightarrow R_5</math>
שורה 110:		שורה 110:
	<math>R_1 = \frac{1}{2} R_1</math>		<math>R_1 = \frac{1}{2} R_1</math>

	(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את <math>A^-1</math> לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)		(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את <math>A^{-1}</math> לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)

איתמר שטיין: /* שאלה 2 */

2013-08-16T06:34:24Z

שאלה 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:34, 16 באוגוסט 2013
שורה 30:		שורה 30:
	<math>A</math> היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.		<math>A</math> היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.

	אם נסמן ב E_1,\~~ldtos~~,E_5 את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם		אם נסמן ב <math>E_1, \ldots ,E_5</math> את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם

	<math>E_5E_4E_3E_2E_1A=I</math>		<math>E_5E_4E_3E_2E_1A=I</math>

איתמר שטיין: /* שאלה 1 */

2013-08-16T06:33:11Z

שאלה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:33, 16 באוגוסט 2013
שורה 24:		שורה 24:

	<math>7^3</math> פתרונות.		<math>7^3</math> פתרונות.


			===שאלה 2===

			<math>A</math> היא מטריצה הפיכה, ולכן הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>.

			אם נסמן ב E_1,\ldtos,E_5 את המטריצות האלמנטריות המתאימות לפעולות הנתונות. אז בעצם

			<math>E_5E_4E_3E_2E_1A=I</math>

			ולכן <math>A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I</math>

			כלומר, אם נבצע את הפעולות ההפוכות בסדר הפוך על <math>I</math>, נגיע ל <math>A</math>.

			הפעולות ההפוכות בסדר הפוך הן:

			<math>R_1 \leftrightarrow R_5</math>

			<math>R_1 = R_1+2R_2</math>

			<math>R_1 \leftrightarrow R_3</math>

			<math>R_1 = R_1 -R_2</math>

			<math>R_1 = \frac{1}{2} R_1</math>

			ולכן קל לחשב ש

			<math>A=\begin{bmatrix}

			0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\

			0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

			0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\

			0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

			1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

			\end{bmatrix}</math>


			היות ו

			<math>A=(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}I</math>

			נקבל ש

			<math>A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I</math>

			כלומר צריך לבצע את הפעולות האלה על <math>I</math> כדי להגיע ל <math>A^-1</math>

			לכן קל לחשב ש

			<math>A^-1=\begin{bmatrix}

			0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\

			0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

			2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

			0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\

			0 & 0 & 1 & -2 & 0 \\

			\end{bmatrix}</math>


			היות ו <math>A^-1=E_5E_4E_3E_2E_1I</math> נקבל ש

			<math>(E_1)^{-1}(E_2)^{-1}(E_3)^{-1}(E_4)^{-1}(E_5)^{-1}A^-1=I</math>

			כלומר הפעולות שצריך לעשות כדי לדרג את <math>A^-1</math> הן הפעולות שהפוכות לפעולת הכתובות בסדר הפוך כלומר:

			<math>R_1 \leftrightarrow R_5</math>

			<math>R_1 = R_1+2R_2</math>

			<math>R_1 \leftrightarrow R_3</math>

			<math>R_1 = R_1 -R_2</math>

			<math>R_1 = \frac{1}{2} R_1</math>

			(זאת כמובן לא הדרך היחידה להביא את <math>A^-1</math> לצורה מדורגת קנונית, אבל זאת הדרך הכי פשוטה.)

איתמר שטיין: יצירת דף עם התוכן "===שאלה 1=== לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות $C_1(A),C_2(A),C_3(A)$ שמקיימות $\begi..."$

2013-08-16T06:01:59Z

יצירת דף עם התוכן "===שאלה 1=== לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות <math>C_1(A),C_2(A),C_3(A)</math> שמקיימות <math>\begi..."

דף חדש

===שאלה 1===

לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות <math>C_1(A),C_2(A),C_3(A)</math>

שמקיימות

<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_1(A) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} </math>

<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_2(A) = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} </math>

<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} C_3(A) = \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} </math>

כך שקיבלנו 3 משוואות, כל אחת בשני נעלמים.

אם נפתור את המשוואה הראשונה

<math>\begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 2 & 4 & \mid & 4 \end{bmatrix} \overset{R_2=R_2-2R_1}{\rightarrow}
\begin{bmatrix} 1 & 2 & \mid & 2 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix}
</math>

נראה שיש משתנה חופשי אחד (ואין שורות סתירה) ולכן יש <math>7</math> פתרונות.

אותה הדבר קורה בשביל שאר המשוואות ולכן בסך הכל יש

<math>7^3</math> פתרונות.

אלגברה לינארית 1 תיכוניסטים קיץ תשעג/פתרון הבוחן - היסטוריית גרסאות

איתמר שטיין: /* סעיף ג */

איתמר שטיין: /* סעיף א */

איתמר שטיין: /* שאלה 2 */

איתמר שטיין: /* שאלה 2 */

איתמר שטיין: /* שאלה 2 */

איתמר שטיין: /* שאלה 1 */

איתמר שטיין: יצירת דף עם התוכן "===שאלה 1=== לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות C_1(A),C_2(A),C_3(A) שמקיימות \begi..."

איתמר שטיין: יצירת דף עם התוכן "===שאלה 1=== לפי כפל עמודה עמודה קל לראות שמחפשים 3 עמודות $C_1(A),C_2(A),C_3(A)$ שמקיימות $\begi..."$