אלגברה לינארית 2 - ארז שיינר - היסטוריית גרסאות

Razigammal: /* פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי */

2026-01-01T17:46:14Z

פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:46, 1 בינואר 2026
שורה 178:		שורה 178:

	==פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי==		==פרק 5 - ההעתקה הצמודה, לכסון אוניטרי==
			bruh

	==פרק 6 - מיון משוואות ממעלה שנייה==		==פרק 6 - מיון משוואות ממעלה שנייה==

ארז שיינר: /* מכפלה סקלרית */

2024-12-16T16:47:19Z

מכפלה סקלרית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:47, 16 בדצמבר 2024
שורה 12:		שורה 12:
	===מכפלה סקלרית===		===מכפלה סקלרית===

	<math>v\cdot w = \|v\|\|u\|\cos(\theta)</math>		<math>v\cdot w = \|v\|\|w\|\cos(\theta)</math>

	<videoflash>MU45juH2U_c</videoflash>		<videoflash>MU45juH2U_c</videoflash>

ארז שיינר: /* חומרי עזר */

2024-11-06T13:27:25Z

חומרי עזר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:27, 6 בנובמבר 2024
שורה 2:		שורה 2:

	*[[88-113Exams\| מבחנים ובחנים עם פתרונות]]		*[[88-113Exams\| מבחנים ובחנים עם פתרונות]]
			* [http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/LA2ExtOutline.pdf תקציר מפורט של הקורס של פרופ' בועז צבאן]. ההרצאות בנושא צורת ג'ורדן מסוכמות בפירוט בחוברת [[מדיה:JordanAll.pdf\|הסיפור המלא]].
			*[[88-113 אלגברה לינארית 2]]

	=סרטונים ותקצירי הרצאות=		=סרטונים ותקצירי הרצאות=

ארז שיינר: /* הוכחה */

2022-06-27T13:58:23Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:58, 27 ביוני 2022
שורה 152:		שורה 152:
	כלומר		כלומר

	:\|\langle v,w \rangle\|^2 \leq \|\langle v,w \rangle\|\cdot \|\|v\|\|\cdot\|\|w\|\|		:<math>\|\langle v,w \rangle\|^2 \leq \|\langle v,w \rangle\|\cdot \|\|v\|\|\cdot\|\|w\|\|</math>

	כעת אם <math>\langle v,w \rangle=0</math> אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב<math>\|\langle v,w \rangle\|</math> ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.		כעת אם <math>\langle v,w \rangle=0</math> אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב<math>\|\langle v,w \rangle\|</math> ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.

ארז שיינר: /* אי שיוויון קושי-שוורץ */

2022-06-27T13:58:06Z

אי שיוויון קושי-שוורץ

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:58, 27 ביוני 2022
שורה 137:		שורה 137:

	===אי שיוויון קושי-שוורץ===		===אי שיוויון קושי-שוורץ===
			בהנתן מרחב מכפלה פנימית <math>V</math> יחד עם הנורמה המושרית, לכל <math>v,w\in V</math> מתקיים כי
			:<math>\|\langle v,w\rangle \| \leq \|\|v\|\|\cdot \|\|w\|\|</math>


			====הוכחה====
			נציב את הוקטורים <math>v, \langle v,w \rangle w</math> באי השיוויון שקיבלנו בהוכחת אי שיוויון המשולש ונקבל:

			:<math>Re\left(\langle v, \langle v,w \rangle w\rangle\right)\leq \|\|v\|\|\cdot \|\|\langle v,w \rangle w\|\|</math>

			ולכן

			:<math>Re\left(\overline{\langle v,w \rangle}\langle v, w\rangle\right)\leq \|\|v\|\|\cdot \|\langle v,w \rangle\|\cdot \|\|w\|\|</math>

			כלומר

			:\|\langle v,w \rangle\|^2 \leq \|\langle v,w \rangle\|\cdot \|\|v\|\|\cdot\|\|w\|\|

			כעת אם <math>\langle v,w \rangle=0</math> אי שיוויון קושי-שוורץ מתקיים באופן מיידי, ואחרת מותר לחלק ב<math>\|\langle v,w \rangle\|</math> ולקבל את אי שיוויון קושי-שוורץ.

	===מכפלה פנימית מושרית===		===מכפלה פנימית מושרית===

ארז שיינר: /* נורמה מושרית */

2022-06-27T13:41:42Z

נורמה מושרית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:41, 27 ביוני 2022
שורה 134:		שורה 134:

	:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \|\|v\|\|\cdot \|\|w\|\|</math>		:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \|\|v\|\|\cdot \|\|w\|\|</math>


			===אי שיוויון קושי-שוורץ===

	===מכפלה פנימית מושרית===		===מכפלה פנימית מושרית===

ארז שיינר: /* נורמה מושרית */

2022-06-27T13:40:24Z

נורמה מושרית

@@ שורה 72: / שורה 72: @@
 תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי <math>||v||=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0</math> ממש לפי הגדרת פונקצית השורש.
@@ שורה 115: / שורה 116: @@
 כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש
 ===מכפלה פנימית מושרית===

ארז שיינר: /* נורמה מושרית */

2022-06-27T12:44:23Z

נורמה מושרית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:44, 27 ביוני 2022
שורה 80:		שורה 80:

	לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.		לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

			צריך להוכיח כי:

			:<math>\|\|v+w\|\|\leq \|\|v\|\|+\|\|w\|\|</math>

			כיוון ששני הצדדים אי שליליים, אפשר להעלות בריבוע ולקבל אי שיוויון שקול:

			:<math>\|\|v+w\|\|^2 \leq \|\|v\|\|^2 +2\|\|v\|\|\cdot \|\|w\|\|+\|\|w\|\|^2</math>

			נפתח את צד שמאל לפי ההגדרה של הנורמה:

			:<math>\|\|v+w\|\|^2=\langle v+w,v+w \rangle = \langle v,v \rangle + \langle v, w\rangle + \langle w, v\rangle + \langle w,w \rangle =</math>
			:<math>=\|\|v\|\|^2 +\langle v, w\rangle + \overline{\langle v, w\rangle}+ \|\|w\|\|^2 = \|\|v\|\|^2 +2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +\|\|w\|\|^2</math>

			כעת נחזור לאי השיוויון שצריך להוכיח, נצמצם את <math>\|\|v\|\|^2+\|\|w\|\|^2</math> משני האגפים ונחלק ב2, ונקבל את אי השיוויון השקול הבא:

			:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \|\|v\|\|\cdot \|\|w\|\|</math>


			נעצור על מנת להוכיח אי שיוויון עזר:


			מתכונת האי שליליות, אנו יודעים כי

			:<math>\langle v-w, v-w\rangle\geq 0</math>

			ובעזרת פיתוח דומה לעיל נקבל כי

			:<math>0\leq \langle v-w,v-w \rangle = \|\|v\|\|^2 -2Re\left(\langle v, w\rangle\right) +\|\|w\|\|^2</math>

			מכאן נובע כי

			:<math>Re\left(\langle v, w\rangle\right)\leq \frac{\|\|v\|\|^2+\|\|w\|\|^2}{2} </math>


			כעת, נחזור להוכחת אי שיוויון המשולש

	===מכפלה פנימית מושרית===		===מכפלה פנימית מושרית===

ארז שיינר: /* פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה */

2022-06-27T12:18:30Z

פרק 1 - מכפלה פנימית ונורמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:18, 27 ביוני 2022
שורה 37:		שורה 37:
	<videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash>		<videoflash>25A8rn3_wGI</videoflash>

	===נורמה ~~ונורמה מושרית~~===		===נורמה===

	יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>		יהי <math>V</math> מרחב וקטורי מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>
שורה 54:		שורה 54:


	====נורמה מושרית====		===נורמה מושרית===
	יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>.		יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>.

שורה 67:		שורה 67:


	=====הנורמה המושרית היא אכן נורמה=====		====הנורמה המושרית היא אכן נורמה====

	נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.		נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

ארז שיינר: /* נורמה ונורמה מושרית */

2022-06-27T11:59:18Z

נורמה ונורמה מושרית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:59, 27 ביוני 2022
שורה 52:		שורה 52:

	<videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash>		<videoflash>jNCVpE8duhE</videoflash>


			====נורמה מושרית====
			יהי <math>V</math> מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{F}=\mathbb{R}</math> או <math>\mathbb{F}=\mathbb{C}</math>.

			הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית היא הפונקציה <math>\|\|\cdot\|\|:V\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הנוסחא:

			:<math>\|\|v\|\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} </math>

			שימו לב: הפונקציה מוגדרת היטב -

			מתכונת האי-שליליות של המכפלה הפנימית ידוע כי <math>0\leq \langle v,v\rangle\in\mathbb{R}</math> ולכן מותר להוציא שורש.



			=====הנורמה המושרית היא אכן נורמה=====

			נוכיח כי הנורמה המושרית היא אכן נורמה.

			תכונת האי-שליליות של הנורמה מתקבלת בחינם, כי <math>\|\|v\|\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} \geq 0</math> ממש לפי הגדרת פונקצית השורש.


			כעת, יהי סקלר <math>c\in\mathbb{C}</math> אזי

			:<math>\|\|cv\|\|=\sqrt{\langle cv,cv\rangle}=\sqrt{c\overline{c}\langle v,v\rangle}=\sqrt{\|c\|^2\langle v,v\rangle}=\|c\|\cdot \langle v,v\rangle=\|c\|\cdot \|\|v\|\|</math>


			לבסוף, עלינו להוכיח את אי שיוויון המשולש, אך זה ידרוש קצת הכנה מקדימה.

	===מכפלה פנימית מושרית===		===מכפלה פנימית מושרית===