אלגברה מופשטת 1- מועד א' קיץ תשע"ג - היסטוריית גרסאות

Ofekgillon10: /* פתרון */

2014-03-24T12:36:13Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:36, 24 במרץ 2014
שורה 116:		שורה 116:
	נשתמש בלמה של ברנסייד...		נשתמש בלמה של ברנסייד...

	~~קיצר יוצא 6.~~		(יש להשלים חלק זה)

	==שאלת בונוס==		==שאלת בונוס==

Hanan: /* פתרון */

2013-09-14T11:02:08Z

פתרון

@@ שורה 25: / שורה 25: @@
 ====פתרון====
 נשתמש במשפט 8 מתוך המשפטים שצריך לדעת להוכיח ונגיע למבוקש במהירות. (מי שרוצה יכול להרחיב פה)
 ==שאלה 2==
 ===סעיף א'===

Kobi: /* שאלה 5 */

2013-09-13T13:42:27Z

שאלה 5

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:42, 13 בספטמבר 2013
שורה 103:		שורה 103:
	מצאו את מספר הריבועים השונים (כלומר, עד כדי סיבוב או שיקוף) אשר מתקבלים מריבוע נתון, אם מותר לצבוע קודקודים ב-2 צבעים נתונים.		מצאו את מספר הריבועים השונים (כלומר, עד כדי סיבוב או שיקוף) אשר מתקבלים מריבוע נתון, אם מותר לצבוע קודקודים ב-2 צבעים נתונים.
	====פתרון====		====פתרון====
	נשתמש בלמה של ברנסייד...		נשתמש בלמה של ברנסייד...

			קיצר יוצא 6.

	==שאלת בונוס==		==שאלת בונוס==

Ofekgillon10 ב־08:12, 6 בספטמבר 2013

2013-09-06T08:12:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:12, 6 בספטמבר 2013
שורה 40:		שורה 40:

	====אינטואיציה ראשונית לפתרון====		====אינטואיציה ראשונית לפתרון====
	נשים לב ש- <math>\|U_9\|=\varphi(9)=9\cdot(1-\frac13)=6</math>. לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: <math>U_9 \simeq \mathbb{Z}_6</math> או <math>U_9 \simeq D_3</math>. כיוון ש- <math>U_9</math> אבלית ו- <math>D_3</math> לא, נקבל כי <math>U_9</math> ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- <math>U_9</math> ל- <math>S_7</math>, אזי <math>\operatorname{im}f</math> ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון ~~שהיא~~ תהיה איזומורפית ~~ל- <math>U_9</math>~~). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- <math>S_7</math> ולשלוח את אחד מהיוצרים של <math>U_9</math> לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.		נשים לב ש- <math>\|U_9\|=\varphi(9)=9\cdot(1-\frac13)=6</math>. לכן, לפי משפט מהתרגול, יש 2 אפשרויות: <math>U_9 \simeq \mathbb{Z}_6</math> או <math>U_9 \simeq D_3</math>. כיוון ש- <math>U_9</math> אבלית ו- <math>D_3</math> לא, נקבל כי <math>U_9</math> ציקלית. לכן, צריך להתקיים שאם יש מונו' מ- <math>U_9</math> ל- <math>S_7</math>, אזי <math>\operatorname{im}f</math> ציקלית והסדר שלה הוא 6 (כיוון ש- f היא חח"ע, התמונה תהיה איזומורפית למקור). לכן, מטרתנו היא למצוא איבר מסדר 6 ב- <math>S_7</math> ולשלוח את אחד מהיוצרים של <math>U_9</math> לאותו איבר וזה יתן לנו את הפתרון.

	====פתרון====		====פתרון====

Ofekgillon10 ב־22:15, 5 בספטמבר 2013

2013-09-05T22:15:06Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:15, 5 בספטמבר 2013
שורה 7:		שורה 7:
	חומרי עזר: רק מחשבון רגיל		חומרי עזר: רק מחשבון רגיל

	כולם מוזמנים לתרום ולכתוב את הפתרון של ~~1ב,~~5ג		כולם מוזמנים לתרום ולכתוב את הפתרון של 5ג

	==שאלה 1==		==שאלה 1==

Ofekgillon10: /* פתרון */

2013-09-05T22:14:47Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:14, 5 בספטמבר 2013
שורה 17:		שורה 17:
	תהיינה 2 חבורות <math>G_1,G_2</math> כך ש- <math>(\|G_1\|,\|G_2\|)=1</math>. כמה הומומורפיזמים שונים <math>G_1\to G_2</math> קיימים?		תהיינה 2 חבורות <math>G_1,G_2</math> כך ש- <math>(\|G_1\|,\|G_2\|)=1</math>. כמה הומומורפיזמים שונים <math>G_1\to G_2</math> קיימים?
	====פתרון====		====פתרון====
			יהי f הומומורפיזם מתאים. אזי לפי משפט איזו' 1 מתקיים ש- <math>G_1/\operatorname{ker}f \simeq \operatorname{im}f</math> ולכן <math>\frac{\|G_1\|}{\|\operatorname{ker}f\|}=\|\operatorname{im}f\|</math>. מכאן נובע ש- <math>\|\operatorname{im}f\|</math> מחלק את <math>\|G_1\|</math>. אך <math>\operatorname{im}f</math> תת חבורה של <math>G_2</math> ולפי לגרנז', <math>\|\operatorname{im}f\|</math> מחלק את <math>\|G_2\|</math>. קיבלנו שב- <math>\|\operatorname{im}f\|</math> מחלק את <math>\|G_1\|</math> ואת <math>\|G_2\|</math>, ומתוך הנתון בהכרח מתקיים <math>\|\operatorname{im}f\|=1</math>. ידוע ש- <math>e_{G_2} \in \operatorname{im}f</math> ולכן f מקיימת <math>f(g)=e_{G_2}</math> לכל g ב- <math>G_1</math>. מכאן שקיים רק הומומורפיזם יחיד, הטריוויאלי.

	===סעיף ג'===		===סעיף ג'===

Ofekgillon10 ב־22:05, 5 בספטמבר 2013

2013-09-05T22:05:56Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:05, 5 בספטמבר 2013
שורה 7:		שורה 7:
	חומרי עזר: רק מחשבון רגיל		חומרי עזר: רק מחשבון רגיל

	~~אתם~~ מוזמנים לתרום ולכתוב את הפתרון של 1ב,5ג		כולם מוזמנים לתרום ולכתוב את הפתרון של 1ב,5ג

	==שאלה 1==		==שאלה 1==

Ofekgillon10 ב־22:05, 5 בספטמבר 2013

2013-09-05T22:05:30Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:05, 5 בספטמבר 2013
שורה 1:		שורה 1:
			המרצים:מיכאל מגרל, רוני ביתן

			המתרגלים: תומר באואר, לואי פולב, עופר בוסאני

			משך המבחן: שעתיים וחצי

			חומרי עזר: רק מחשבון רגיל

	אתם מוזמנים לתרום ולכתוב את הפתרון של 1ב,5ג		אתם מוזמנים לתרום ולכתוב את הפתרון של 1ב,5ג

Ofekgillon10 ב־22:00, 5 בספטמבר 2013

2013-09-05T22:00:04Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:00, 5 בספטמבר 2013
שורה 1:		שורה 1:
			אתם מוזמנים לתרום ולכתוב את הפתרון של 1ב,5ג

	==שאלה 1==		==שאלה 1==
	===סעיף א'===		===סעיף א'===
שורה 6:		שורה 8:
	===סעיף ב'===		===סעיף ב'===
	תהיינה 2 חבורות <math>G_1,G_2</math> כך ש- <math>(\|G_1\|,\|G_2\|)=1</math>. כמה הומומורפיזמים שונים <math>G_1\to G_2</math> קיימים?		תהיינה 2 חבורות <math>G_1,G_2</math> כך ש- <math>(\|G_1\|,\|G_2\|)=1</math>. כמה הומומורפיזמים שונים <math>G_1\to G_2</math> קיימים?
			====פתרון====

	===סעיף ג'===		===סעיף ג'===
שורה 11:		שורה 14:

	<math>\mathbb{Z}_{40},\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_8,\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_{10},\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4,\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_5,U_{10}\times\mathbb{Z}_{10}</math>		<math>\mathbb{Z}_{40},\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_8,\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_{10},\mathbb{Z}_5\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4,\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_5,U_{10}\times\mathbb{Z}_{10}</math>
			====פתרון====
			נשתמש במשפט 8 מתוך המשפטים שצריך לדעת להוכיח ונגיע למבוקש במהירות. (מי שרוצה יכול להרחיב פה)
	==שאלה 2==		==שאלה 2==
	===סעיף א'===		===סעיף א'===
שורה 88:		שורה 93:
	===סעיף ג'===		===סעיף ג'===
	מצאו את מספר הריבועים השונים (כלומר, עד כדי סיבוב או שיקוף) אשר מתקבלים מריבוע נתון, אם מותר לצבוע קודקודים ב-2 צבעים נתונים.		מצאו את מספר הריבועים השונים (כלומר, עד כדי סיבוב או שיקוף) אשר מתקבלים מריבוע נתון, אם מותר לצבוע קודקודים ב-2 צבעים נתונים.
			====פתרון====
			נשתמש בלמה של ברנסייד...

	==שאלת בונוס==		==שאלת בונוס==

Ofekgillon10 ב־21:56, 5 בספטמבר 2013

2013-09-05T21:56:42Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־21:56, 5 בספטמבר 2013
שורה 76:		שורה 76:
	====פתרון====		====פתרון====
	נניח בשלילה ש-H כן תח"נ. אזי H איחוד של מסלולים זרים (תחת פעולת ההצמדה), בפרט של <math>(1 2 3... n)</math>. ידוע ששתי תמורות צמודות אם ורק אם הן מאותו "טיפוס" בסדר מחזורים שלהן. לכן גודל מחלקת הצמידות של <math>(1 2 3... n)</math> הוא מספר המחזורים מאורך n שזה <math>(n-1)!</math>, אבל <math>(n-1)! > n</math> לכל n>3. כיוון שהסדר של H הוא n (הסדר של היוצר), נקבל ש-H מכילה קבוצה עם עוצמה יותר גדולה משל H עצמה. סתירה.		נניח בשלילה ש-H כן תח"נ. אזי H איחוד של מסלולים זרים (תחת פעולת ההצמדה), בפרט של <math>(1 2 3... n)</math>. ידוע ששתי תמורות צמודות אם ורק אם הן מאותו "טיפוס" בסדר מחזורים שלהן. לכן גודל מחלקת הצמידות של <math>(1 2 3... n)</math> הוא מספר המחזורים מאורך n שזה <math>(n-1)!</math>, אבל <math>(n-1)! > n</math> לכל n>3. כיוון שהסדר של H הוא n (הסדר של היוצר), נקבל ש-H מכילה קבוצה עם עוצמה יותר גדולה משל H עצמה. סתירה.

			==שאלה 5==
			===סעיף א'===
			תהא G חבורה מסדר <math>p^2q</math> עבור p,q ראשוניים. הוכיחו ש-G אינה פשוטה.
			====פתרון====
			ראה שאלה 5 בתרגיל הבית האחרון.
			===סעיף ב'===
			הוכיחו שהמרכז של החבורה הסימטרית <math>S_n</math> עבור <math>n\geq 3</math> הוא טריוויאלי.
			====פתרון====
			ראה תרגול 9
			===סעיף ג'===
			מצאו את מספר הריבועים השונים (כלומר, עד כדי סיבוב או שיקוף) אשר מתקבלים מריבוע נתון, אם מותר לצבוע קודקודים ב-2 צבעים נתונים.

			==שאלת בונוס==
			תנו דוגמה של חבורה G בעלת 125 איברים כך שקיימים עבור G בדיוק 25 אוטומורפיזמיים פנימיים (לנמק).
			===פתרון===
			ראינו בתרגול 8 (וקל מאוד להוכיח לפי משפט איזו' 1) ש- <math>G/Z(G) \simeq Inn(G)</math> וכיוון ש- <math>\|Inn(G)\|=25</math>, נקבל לפי לגרנז' שצריך להתקיים <math>\|Z(G)\|=5</math>. לפי שאלה 4ב, אם ניקח חבורה מסדר <math>5^3</math> לא אבלית, סיימנו. ניקח את הייזנברג מעל <math>\mathbb{Z}_5</math>