אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר ב־10:49, 26 במרץ 2020

2020-03-26T10:49:24Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קטגוריה:אינפי]]
 =אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
 תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> .

רחל: /* אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} (כאשר המכנה אי-פריק) */

2019-07-25T13:20:10Z

אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} (כאשר המכנה אי-פריק)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:20, 25 ביולי 2019
שורה 53:		שורה 53:

	נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:		נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
	<math>G_1=\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>		<math>G_1=\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{A}{a^2}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>

	<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>		<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>

ארז שיינר: /* דוגמאות */

2018-03-21T10:03:51Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:03, 21 במרץ 2018
שורה 84:		שורה 84:

	:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>		:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>

			===דוגמא 3===
			[[מדיה:שברים חלקיים.pdf\|הסבר ודוגמא]]

ארז שיינר ב־09:46, 21 במרץ 2018

2018-03-21T09:46:28Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:46, 21 במרץ 2018
שורה 66:		שורה 66:


	=דוגמאות=		==דוגמאות==
	===דוגמא 1===		===דוגמא 1 - המנעות משימוש באלגוריתם===
	:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>		:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>

שורה 74:		שורה 74:
	:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>		:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>

	==דוגמא 2==		===דוגמא 2 - פירוק לשברים חלקיים===
	:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>		:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>

ארז שיינר: /* אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} (כאשר המכנה אי-פריק) */

2018-03-21T09:44:46Z

אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} (כאשר המכנה אי-פריק)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:44, 21 במרץ 2018
שורה 53:		שורה 53:

	נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:		נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
	<math>G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>		<math>G_1=\int\frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>

	<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>		<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>

ארז שיינר ב־09:34, 21 במרץ 2018

2018-03-21T09:34:31Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:34, 21 במרץ 2018
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]
	=אלגוריתם ~~'''מלא'''~~ לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=		=אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
	תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> .		תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> .

	'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]~~. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים)~~.		'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית].

	~~==מצב ראשון <math>\deg(p~~)~~=\deg(q)-1</math>==~~		איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים), האלגוריתם מניח שאנו יודעים את הפירוק של המכנה.
	~~ניתן למצוא קבוע <math>c</math> כך ש- <math>h=cp-q'</math> כך ש- <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math>~~ .

	~~אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}~~=~~\int\frac{q'+h}{c\cdot q}~~=~~\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}</math>~~		==סקירה כללית==
			האלגוריתם מורכב משלושה שלבים:
			*שלב ראשון - אם הפולינום במונה מדרגה גדולה או שווה לפולינום במכנה, נבצע חילוק פולינומים.
			*שלב שני - נניח שהפולינום במונה מדרגה קטנה ממש מהפולינום במכנה. נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים.
			*שלב שלוש - נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

	~~וממשיכים לשלב הבא:~~

	==~~מצב שני~~ <math>\~~deg~~(p)<\~~deg~~(q)-1</math>==		==שלב ראשון==
	*נפרק את <math>q</math> לגורמים אי-פריקים:		לאחר ביצוע חילוק פולינומים נקבל <math>p(x)=h(x)q(x)+r(x)</math> ולכן <math>\frac{p(x)}{q(x)}=h(x)+\frac{r(x)}{q(x)}</math>.

			האינטגרל על <math>h(x)</math> הוא אינטגרל מיידי על פולינום, ונותרנו עם האינטגרל על הפונקציה הרציונאלית <math>\frac{r(x)}{q(x)}</math> בה המונה מדרגה קטנה ממש מאשר המכנה.

			==שלב שני==
			כעת אנו מניחים שהמונה מדרגה קטנה ממש מהמכנה.

			נפרק את <math>q</math> לגורמים אי-פריקים:

	:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>		:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>

	*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:		כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

	:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+		:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+
שורה 25:		שורה 34:
	:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>		:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>

	*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>p</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math> .		נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>p</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math> .
	*נחשב כל ~~מחובר בנפרד:~~

			==שלב שלישי==
			נחשב את האינטגרל של כל שבר חלקי.

	===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===		===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
שורה 36:		שורה 48:

	===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===		===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
	*נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}</math>		נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}</math>

	*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>		כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>

	*נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:		נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
	**<math>G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>		<math>G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>

	**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>		<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>

	===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===		===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
	*דבר ראשון~~, בדומה למצב הראשון,~~ נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math>		דבר ראשון נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math>

	*את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל

	*לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>

	~~==מצב שלישי <math>\deg(p)=\deg(q)</math>==~~
	*קיים קבוע <math>c</math> כך שקיים פולינום <math>h</math> המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>\deg(h)<\deg(q)</math> .

	*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}</math>

	*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.

	~~==מצב רביעי~~ <math>\~~deg(p)>~~\~~deg(q)</math>==~~		את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל
	*נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x~~)=a(x)q(x)~~+~~r(x)</math> כאשר מתקיים <math>\deg(r)<\deg(q~~)</math>

	*מתקיים <math>~~\int\frac{p}{q}~~=~~\int\frac{aq~~+~~r}{q}~~=~~\int{a(x)}+~~\int\frac{r}{q}</math>		לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>

	*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.

	~~==מצב חמישי <math>p=f',q=f^m</math>==~~
	~~<math>\int\frac{f'}{f^m}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math>~~

	=דוגמאות=		=דוגמאות=

יהודה שמחה ב־11:30, 3 בנובמבר 2016

2016-11-03T11:30:47Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:30, 3 בנובמבר 2016
שורה 6:		שורה 6:

	==מצב ראשון <math>\deg(p)=\deg(q)-1</math>==		==מצב ראשון <math>\deg(p)=\deg(q)-1</math>==
	ניתן למצוא קבוע /math>c</math> כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש- <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> .		ניתן למצוא קבוע <math>c</math> כך ש- <math>h=cp-q'</math> כך ש- <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> .

	אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}</math>		אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}</math>
שורה 13:		שורה 13:

	==מצב שני <math>\deg(p)<\deg(q)-1</math>==		==מצב שני <math>\deg(p)<\deg(q)-1</math>==
	*נפרק את /math>q</math> לגורמים אי-פריקים:		*נפרק את <math>q</math> לגורמים אי-פריקים:

	:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>		:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>

	*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:		*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:

	:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+		:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+
	\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+		\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
	</math>		</math>

	:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>		:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>

שורה 26:		שורה 29:

	===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===		===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
	נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל:		נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על-מנת לקבל:
	:<math>I_1=~~Aln~~(x-a)+C</math>
			:<math>I_1=A\ln(x-a)+C</math>

	:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>		:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>

	===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===		===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
	*נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{(\~~Big~~[x+\frac{b}{2}\~~Big~~]^2+\~~Big~~[c-(\frac{b}{2})^2\~~Big~~])^m}</math>		*נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{\left(\left[x+\frac{b}{2}\right]^2+\left[c-\left(\frac{b}{2}\right)^2\right]\right)^m}</math>

	*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>		*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
שורה 47:		שורה 52:
	*לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>		*לחלק הנותר נבצע הצבה <math>t=x^2+bx+c</math> לקבל אינטגרל פתיר מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{t^m}</math>

	==מצב שלישי <math>deg(p)=deg(q)</math>==		==מצב שלישי <math>\deg(p)=\deg(q)</math>==
	*קיים קבוע /math>c</math> כך שקיים פולינום <math>h</math> המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>\deg(h)<\deg(q)</math> .		*קיים קבוע <math>c</math> כך שקיים פולינום <math>h</math> המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>\deg(h)<\deg(q)</math> .

	*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}</math>		*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}</math>
שורה 54:		שורה 59:
	*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.		*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.

	==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>==		==מצב רביעי <math>\deg(p)>\deg(q)</math>==
	*נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>\deg(r)<\deg(q)</math>		*נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>\deg(r)<\deg(q)</math>

שורה 67:		שורה 72:
	===דוגמא 1===		===דוגמא 1===
	:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>		:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>

	בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל		בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל

	:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>		:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>

	==דוגמא 2==		==דוגמא 2==
	:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>		:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>

	נפרק לשברים חלקיים		נפרק לשברים חלקיים

	:<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>		:<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
	לכן
			לכן

	:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>		:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>

יהודה שמחה ב־20:24, 20 בספטמבר 2016

2016-09-20T20:24:39Z

הצגת שינויים

עמנואל: /* אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} (כאשר המכנה אי פריק) */

2015-10-16T12:16:21Z

אינטגרל מהצורה I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} (כאשר המכנה אי פריק)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:16, 16 באוקטובר 2015
שורה 58:		שורה 58:


	**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{1}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>		**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>


	===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===		===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===

ארז שיינר: /* דוגמא 2 */

2013-03-13T09:32:50Z

דוגמא 2

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:32, 13 במרץ 2013
שורה 110:		שורה 110:

	::<math>\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}}dx</math>		::<math>\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}}dx</math>

			נפרק לשברים חלקיים

			::<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>

			לכן

			::<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>