אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1 - היסטוריית גרסאות

אריאל: /* תרגיל */

2020-10-18T12:17:34Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:17, 18 באוקטובר 2020
שורה 150:		שורה 150:
	לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>.		לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>.

	ב. נשים לב שאגף ~~ימין~~ הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה ~~לצד~~ ימין יש חלק מדומה <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון.		ב. נשים לב שאגף שמאל הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה באגף ימין יש חלק מדומה (שוונה מאפס) <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון.

	====תרגיל====		====תרגיל====

Relweiz: /* פתרון= */

2019-11-19T09:42:44Z

פתרון=

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:42, 19 בנובמבר 2019
שורה 140:		שורה 140:
	ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z+\overline{z}=Re(z)+2i</math> אין פתרון.		ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z+\overline{z}=Re(z)+2i</math> אין פתרון.

	====פתרון=====		=====פתרון=====

	נסמן <math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:		נסמן <math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:
שורה 152:		שורה 152:
	ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון.		ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון.

			====תרגיל====
			יהיו <math>z,w</math> מספרים מרוכיבם המקיימים: <math>\|z\|=\|w\|=1,z\cdot w\neq 1</math>. הוכיחו שהמספר <math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}</math> הינו מדומה טהור (כלומר, החלק הממשי שלו הוא 0).

			=====פתרון=====
			נכפול בצמוד למכנה:

			<math>\frac{z+w}{1-z\cdot w}=\frac{(z+w)(\overline{1-zw})}{(1-zw)(\overline{1-zw})}=\frac{(z+w)(1-\overline{z}\overline{w})}{\|1-zw\|^2}=\frac{z+w-z\overline{z}\overline{w}-\overline{z}w\overline{w}}{\|1-zw\|^2}</math>

			כעת נשים לב שמהנתון על הערכים המוחלטים נקבל: <math>z\overline{z}\overline{w}=\overline{w},\overline{z}w\overline{w}=\overline{z}</math>. לכן במונה כתוב בעצם: <math>z-\overline{z}+w-\overline{w}=-2\cdot Im(z)i-2\cdot Im(w)i</math> שזהו מספר מדומה טהור, והוא נשאר כזה גם אחרי חלוקתו במכנה שהוא ממשי. מש"ל.

	==שורשים ומשוואות ריבועיות==		==שורשים ומשוואות ריבועיות==

Relweiz: /* ראיתם בהרצאה: */

2019-10-29T12:57:18Z

ראיתם בהרצאה:

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:57, 29 באוקטובר 2019
שורה 73:		שורה 73:
	====ראיתם בהרצאה:====		====ראיתם בהרצאה:====

	הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> מתקיים:		הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math>, מתקיים:

	1. <math>z\cdot \overline{z}=\|z\|^2</math>.		1. <math>z\cdot \overline{z}=\|z\|^2</math>.
שורה 79:		שורה 79:
	2. <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>.		2. <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>.

	3. <math>z-\overline{z}=2Im(z)i</math>		3. <math>z-\overline{z}=2Im(z)i</math>.

	'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math> ונחשב:		'''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math>, ונחשב:

	<math>z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=\|z\|^2</math>.		<math>z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=\|z\|^2</math>.

אריאל ב־10:15, 21 באוקטובר 2018

2018-10-21T10:15:34Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:15, 21 באוקטובר 2018
שורה 1:		שורה 1:
			חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים \| מערכי תרגול]].

	==הגדרה==		==הגדרה==

אריאל ב־07:17, 16 באוקטובר 2018

2018-10-16T07:17:37Z

@@ שורה 133: / שורה 133: @@
 <math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>.
-==תרגילים==
+====תרגיל====
 ====תרגיל====
 מצא את <math>\sqrt{2i}</math>.
@@ שורה 174: / שורה 197: @@
 מתרגיל קודם נציב את השורש שמצאנו, ונקבל: <math>z_{1,2}=2+3i\pm 1+i</math>, ולכן בסה"כ: <math>z_1=3+4i,z_2=1+2i</math>.

אריאל: /* תרגילים */

2018-10-16T07:14:31Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:14, 16 באוקטובר 2018
שורה 149:		שורה 149:

	<math>a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow w=-1-i</math>.		<math>a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow w=-1-i</math>.

			====תרגיל====
			מצא את <math>\sqrt{-5+12i}</math>.

			=====פתרון=====
			נסמן <math>w=a+bi</math>, ונקבל <math>a^2+2abi-b^2=-5+12i</math>. לכן:

			<math>a^2-b^2=-5</math>

			<math>2ab=12\Rightarrow b=\frac{6}{a}</math>.

			נציב את המשוואה השנייה בראשונה ונקבל: <math>a^2-(\frac{6}{a})^2=-5\Rightarrow a^4+5a^2-36=0</math>. נפתור את המשוואה הדו ריבועית (אתם יכולים לסמן <math>x=a^2\Rightarrow x^2+5x-36=0</math> ולפתור. נקבל <math>a^2=-9\lor a^2=4</math>. כיון ש-<math>a</math> הוא מספר ממשי נקבל <math>a^2=4\Rightarrow a=\pm 2</math>. נחזור חזרה למשוואה השנייה: <math>a=2\Rightarrow b=3,a=-2\Rightarrow b=-3</math>. קיבלנו שני מספרים מרוכבים: <math>z_1=2+3i,z_2=-2-3i</math>.

	====תרגיל====		====תרגיל====

אריאל: /* תרגיל */

2018-10-16T06:20:58Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:20, 16 באוקטובר 2018
שורה 135:		שורה 135:
	==תרגילים==		==תרגילים==
	====תרגיל====		====תרגיל====
	מצא את <math>\sqrt{2}</math>.		מצא את <math>\sqrt{2i}</math>.

	=====פתרון=====		=====פתרון=====

אריאל: /* תרגילים */

2018-10-16T05:44:31Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:44, 16 באוקטובר 2018
שורה 135:		שורה 135:
	==תרגילים==		==תרגילים==
	====תרגיל====		====תרגיל====
	~~פתור~~ את ~~המשוואה הבאה:~~		מצא את <math>\sqrt{2}</math>.

	1. <math>z^2~~-(4+6i)z-5+10i=0~~</math>.

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
			איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו <math>w=a+bi</math>, כלומר, <math>(a+bi)^2=2i\Rightarrow a^2+2abi-b^2=2i</math>. נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם <math>i</math> ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:
	~~נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה:~~

	~~<math>z_{1,2}=\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}=\frac{4+6i}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2i}</math>. אבל~~ איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו <math>w=a+bi</math>, כלומר, <math>(a+bi)^2=2i\Rightarrow a^2+2abi-b^2=2i</math>. נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם <math>i</math> ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:

	<math>a^2-b^2=0</math>		<math>a^2-b^2=0</math>
שורה 155:		שורה 150:
	<math>a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow w=-1-i</math>.		<math>a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow w=-1-i</math>.

	~~בסה"כ נקבל~~ <math>z_{1,2}=2+3i\pm 1+i</math>, ולכן בסה"כ: <math>z_1=3+4i,z_2=1+2i</math>.		====תרגיל====
			פתור את המשוואה הבאה:

			<math>z^2-(4+6i)z-5+10i=0</math>.

			=====פתרון=====

			נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה:

			<math>z_{1,2}=\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}=\frac{4+6i}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2i}</math>.

			מתרגיל קודם נציב את השורש שמצאנו, ונקבל: <math>z_{1,2}=2+3i\pm 1+i</math>, ולכן בסה"כ: <math>z_1=3+4i,z_2=1+2i</math>.

	====תרגיל====		====תרגיל====

אריאל: /* פתרון= */

2018-10-16T05:34:42Z

פתרון=

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:34, 16 באוקטובר 2018
שורה 172:		שורה 172:
	לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>.		לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>.

	ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>.		ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. אפשר לעשות גם השוואת מקדמים ולראות שלמשוואה השנייה <math>0=2</math> אין פתרון.

אריאל: /* תרגיל */

2018-10-15T10:00:30Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:00, 15 באוקטובר 2018
שורה 162:		שורה 162:
	ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z+\overline{z}=Re(z)+2i</math> אין פתרון.		ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z+\overline{z}=Re(z)+2i</math> אין פתרון.

	~~'''~~פתרון~~:'''~~ נסמן<math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:		====פתרון=====

			נסמן <math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל:

	<math>2a=a</math>		<math>2a=a</math>