אנליזה מתקדמת למורים תרגול 3 - היסטוריית גרסאות

Relweiz: /* פתרון */

2019-12-03T10:07:43Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:07, 3 בדצמבר 2019
שורה 64:		שורה 64:
	כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>z_n=(-1)^n</math>.		כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>z_n=(-1)^n</math>.

	'''הערה:''' במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכלים על הזוית ~~ברדיאנים~~. ~~כל המספרים שונים~~ כי <math>~~n_1~~-~~n_2\neq 2\pi k~~</math> ~~כיון שההפרש שלם~~.		'''הערה:''' במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכלים על הזוית במעלות. הסדרה לא מתכנסת לאף מספר כי תמיד נעים על מעגל היחידה. לכל <math>n_0</math> אפשר למצוא <math>n>n_0</math> כך ש- <math>z_n</math> נמצא באיזה רביע שנרצה.

Relweiz: /* תרגיל */

2019-12-03T09:45:22Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:45, 3 בדצמבר 2019
שורה 56:		שורה 56:
	ג. <math>z_n=\frac{3n^3+2n^2+n}{4n^3+3n^2+2n+1}+\frac{\sin n}{n}i</math>.		ג. <math>z_n=\frac{3n^3+2n^2+n}{4n^3+3n^2+2n+1}+\frac{\sin n}{n}i</math>.

	ד. <math>z=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i</math>.		ד. <math>z=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i</math>, והסדרה היא <math>z_n=z^n</math>.

	====תרגיל====		====תרגיל====

Relweiz: /* דוגמא */

2019-12-03T09:43:14Z

דוגמא

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:43, 3 בדצמבר 2019
שורה 45:		שורה 45:
	נסמן <math>z=\frac{2}{5}\text{cis}30</math> ונתבונן בסדרה <math>z_n=z^n</math>. האם היא מתכנסת?		נסמן <math>z=\frac{2}{5}\text{cis}30</math> ונתבונן בסדרה <math>z_n=z^n</math>. האם היא מתכנסת?

	כן! <math>z_n=(\frac{2}{5}\text{cis}30)^n</math>~~, כין~~ שהסדרה <math>r_n=(\frac{2}{5})^n\to 0</math> נקבל שהסדרה כולה מתכנסת לאפס.		כן! <math>z_n=(\frac{2}{5}\text{cis}30)^n=(\frac{2}{5})^n\text{cis}30n</math>. כיון שהסדרה <math>r_n=(\frac{2}{5})^n\to 0</math> נקבל שהסדרה כולה מתכנסת לאפס.

	====תרגיל====		====תרגיל====

Relweiz: /* תרגילים */

2019-12-03T09:42:23Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:42, 3 בדצמבר 2019
שורה 34:		שורה 34:

	===תרגילים===		===תרגילים===
			====תרגיל====
			תהיינה <math>r_n,\theta_n</math> סדרות ממשיות, ותהי <math>z_n=r_n\text{cis}\theta_n</math> סדרה מרוכבת. הוכיחו שאם <math>r_n\to 0</math> אז <math>z_n\to 0</math>.

			=====פתרון=====
			נוכיח לפי הגדרה:

			<math>\|z_n-0\|=\|z_n\|=r_n\to 0</math>.

			=====דוגמא=====
			נסמן <math>z=\frac{2}{5}\text{cis}30</math> ונתבונן בסדרה <math>z_n=z^n</math>. האם היא מתכנסת?

			כן! <math>z_n=(\frac{2}{5}\text{cis}30)^n</math>, כין שהסדרה <math>r_n=(\frac{2}{5})^n\to 0</math> נקבל שהסדרה כולה מתכנסת לאפס.

	====תרגיל====		====תרגיל====
	~~ראיתם~~ את ~~המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות~~. ~~מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?~~		מצאו את הגבול של הסדרות הבאות:

			א. <math>z_n=(2-\frac{1}{n})\text{cis}\frac{\pi}{3}</math>.

			ב. <math>z_n=(1+\frac{2}{n})^n-\sqrt[n]{n}i</math>.

	~~=====פתרון=====~~		ג. <math>z_n=\frac{3n^3+2n^2+n}{4n^3+3n^2+2n+1}+\frac{\sin n}{n}i</math>.
	~~כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים~~. ~~קחו את הסדרה המתחלפת~~ <math>z_n=(-1)^n</math>.

	~~====הערה====~~		ד. <math>z=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}i</math>.
	~~במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת~~. ~~לדוגמא:~~ <math>~~z_n~~=\~~text~~{~~cis~~}~~n</math>, כאשר מסתכלים על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_1-n_2~~\~~neq~~ 2~~\pi k~~</math> ~~כיון שההפרש שלם~~.

	====תרגיל====		====תרגיל====
	~~הוכיחו~~ שאם ~~<math>z=r\text{cis}\theta~~,~~r<1</math> אז~~ הסדרה ~~<math>z_n=z^n\to 0</math>.~~		ראיתם את המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
	~~נבדוק לפי הגדרה:~~ <math>\|z_n-~~0\|=\|z~~^n\|=~~\|z\|^n=r^~~n~~\to 0~~</math>, כאשר ~~המעבר האחרון מאינפי 1~~.		כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>z_n=(-1)^n</math>.

			'''הערה:''' במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכלים על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_1-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם.

Relweiz: /* טענות */

2019-12-03T08:51:22Z

טענות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:51, 3 בדצמבר 2019
שורה 30:		שורה 30:

	כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.		כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.

			עוד ראיתם: בהינתן סדרה מרוכבת <math>z_n=a_n+b_ni</math> מתקיים שהסדרה <math>z_n</math> מתכנסת אם ורק אם הסדרות <math>a_n,b_n</math> מתכנסות.

	===תרגילים===		===תרגילים===

Relweiz: /* פתרון */

2019-12-03T08:46:46Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:46, 3 בדצמבר 2019
שורה 37:		שורה 37:

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
	~~כמומבן~~ שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>z_n=(-1)^n</math>.		כמובן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>z_n=(-1)^n</math>.

	====הערה====		====הערה====

Relweiz: /* הערה */

2019-12-03T08:42:26Z

הערה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:42, 3 בדצמבר 2019
שורה 40:		שורה 40:

	====הערה====		====הערה====
	במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר ~~מסתכליםפ~~ על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם.		במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכלים על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_1-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם.

	====תרגיל====		====תרגיל====

Relweiz: /* תרגיל */

2019-12-03T08:39:08Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:39, 3 בדצמבר 2019
שורה 37:		שורה 37:

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
	כמומבן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>~~זz_n~~=(-1)^n</math>.		כמומבן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>z_n=(-1)^n</math>.

	====הערה====		====הערה====

אריאל ב־12:37, 13 בנובמבר 2018

2018-11-13T12:37:23Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:37, 13 בנובמבר 2018
שורה 1:		שורה 1:
	חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים \| מערכי תרגול]].		חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים \| מערכי תרגול]].

	~~==הגדרות==~~

	הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו....		הגדרה של סדרה אינסופית - נסתפק בתרגול בהבנה אינטואיטיבית, פשוטו כמשמעו....
שורה 32:		שורה 30:

	כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.		כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.

			===תרגילים===

	====תרגיל====		====תרגיל====
שורה 41:		שורה 41:
	====הערה====		====הערה====
	במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכליםפ על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם.		במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכליםפ על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם.

			====תרגיל====
			הוכיחו שאם <math>z=r\text{cis}\theta,r<1</math> אז הסדרה <math>z_n=z^n\to 0</math>.

			=====פתרון=====
			נבדוק לפי הגדרה: <math>\|z_n-0\|=\|z^n\|=\|z\|^n=r^n\to 0</math>, כאשר המעבר האחרון מאינפי 1.

אריאל ב־12:29, 13 בנובמבר 2018

2018-11-13T12:29:23Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:29, 13 בנובמבר 2018
שורה 32:		שורה 32:

	כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.		כעת, מהמשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות מתכנסת נקבל שהכל שואף לאפס.

			====תרגיל====
			ראיתם את המשפט שאם סדרה מתכנסת אז גם סדרת הנורמות. מה קורה בכיוון ההפוך? נניח שסדרת הנורמות מתכנסת, האם גם הסדרה המקורית?

			=====פתרון=====
			כמומבן שלא, ולא צריך בשביל זה מרוכבים. קחו את הסדרה המתחלפת <math>זz_n=(-1)^n</math>.

			====הערה====
			במרוכבים יש לנו אפילו קצת יותר מזה. נוכל לקבע את הנורמה ולמצוא סדרה עם אינסוף מספרים שונים שלא מתכנסת. לדוגמא: <math>z_n=\text{cis}n</math>, כאשר מסתכליםפ על הזוית ברדיאנים. כל המספרים שונים כי <math>n_-n_2\neq 2\pi k</math> כיון שההפרש שלם.