אנליזה מתקדמת למורים תרגול 4 - היסטוריית גרסאות

Relweiz: /* תרגיל */

2019-12-10T11:50:46Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:50, 10 בדצמבר 2019
שורה 44:		שורה 44:
	===תרגיל===		===תרגיל===
	הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: <math>f(z)=\begin{cases}		הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: <math>f(z)=\begin{cases}
	\frac{z}{\overline{z}}\\		\frac{z}{\overline{z}} & z\neq0\\
	1		1 & z=0
	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>

Relweiz: /* רציפות של פונקציות בשני משתנים */

2019-12-10T11:49:33Z

רציפות של פונקציות בשני משתנים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:49, 10 בדצמבר 2019
שורה 42:		שורה 42:
	6. <math>f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{\|y\|+5}-x\text{cis}y</math>		6. <math>f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{\|y\|+5}-x\text{cis}y</math>

	===~~==פתרון=~~====		===תרגיל===
			הוכיחו שהפונקציה הבאה לא רציפה: <math>f(z)=\begin{cases}
			\frac{z}{\overline{z}}\\
			1
			\end{cases}</math>

Relweiz: /* תרגיל */

2019-12-10T11:41:48Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:41, 10 בדצמבר 2019
שורה 40:		שורה 40:
	5. <math>f(x+yi)=e^x(\sin y+i\tan y)</math>		5. <math>f(x+yi)=e^x(\sin y+i\tan y)</math>

	6. <math>f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{\|y\|=5}-x\text{cis}y</math>		6. <math>f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{\|y\|+5}-x\text{cis}y</math>

	=====פתרון=====		=====פתרון=====

Relweiz ב־11:40, 10 בדצמבר 2019

2019-12-10T11:40:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:40, 10 בדצמבר 2019
שורה 1:		שורה 1:
	חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים \| מערכי תרגול]].		חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים \| מערכי תרגול]].

	==~~הגדרה~~==		==פונקציות==
	כדי להבין פנקציות מהצורה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> צריך להבין מה עושה פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math>. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.		ראיתם כמה דוגמאות לפונקציות <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math>, כמו למשל <math>f(z)=Re(z)</math> וכדו'.

			הרבה פעמים, כדי להבין פנקציות מהצורה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> צריך להבין מה עושה פונקציה <math>f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}</math>. פנקציה כזו מקבלת שני ממשיים ומוציאה ממשי אחד.

	לדוג': <math>f(x,y)=\sin(x+y)-x</math> ועוד כהנה וכהנה.		לדוג': <math>f(x,y)=\sin(x+y)-x</math> ועוד כהנה וכהנה.
שורה 10:		שורה 12:
	==רציפות==		==רציפות==
	הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> רציפה ב<math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to z_0</math> מתקיים: <math>\|f(z_n)-f(z_0)\|\to 0</math>. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.		הגדרת רציפות של פונקציה מרוכבת: הפונקציה <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> רציפה ב<math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>z_n\to z_0</math> מתקיים: <math>\|f(z_n)-f(z_0)\|\to 0</math>. פונקציה נקראת רציפה אם היא רציפה בכל נקודה.

			====תרגיל====
			הוכיחו שהפונקציה <math>f(z)=\overline{z}</math> היא רציפה.

			=====פתרון=====
			לפי הגדרה: תהי <math>z_n\to z</math>, צריך להראות ש- <math>\|f(z_n)-f(z)\|\to 0</math>. ואכן: <math>\|f(z_n)-f(z)\|=\|\overline{z_n}-\overline{z}\|=\|\overline{z_n-z}\|=\|z_n-z\|\to 0</math>, כאשר השאיפה בסוף נובעת מהנתון על הסדרה.

	===משפטים===		===משפטים===
	כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר של רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.		כרגיל, לא תמיד משתמשים בהגדרה, אלא במשפטים. המשפטים הרגילים: חיבור, כפל, הרכבה וחילוק כשמותר (כלומר, כשהמכנה לא אפס) של פונקציות רציפות זו פונקציה רציפה. לכן כל הפולינומים רציפים, וכנ"ל מנת פולינומים (מה שנקרא פונקציה רציונאלית) כשהמכנה לא 0.

	משפט חשוב: <math>f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)</math> רציפה אם ורק אם <math>U,V</math> רציפות.		משפט חשוב: <math>f(a+bi)=U(a,b)+iV(a,b)</math> רציפה אם ורק אם <math>U,V</math> רציפות.

	~~לכן, חשוב להבין רציפות של פונקציות בשתי משתנים.~~

	===רציפות של פונקציות בשני משתנים===		===רציפות של פונקציות בשני משתנים===
שורה 22:		שורה 28:

	====תרגיל====		====תרגיל====
			האם הפונקציות הבאות רציפות:

	~~האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: <math>f(x,y)=\begin{cases}~~		1. <math>f(z)=\frac{z+2\overline{z}}{z\overline{z}+2}</math>
	~~\frac{\sin x}{y} & y\neq0\\~~
	1 ~~& y=0~~
	~~\end{cases}</math>~~

	~~אם לא, האם ניתן להגדיר אחרת ב<math>(0,0)</math> כדי שכן תהיה רציפה שם?~~
	~~=====פתרון=====~~
	לא ולא! על מנת להראות שהפונקציה לא רציפה מספיק למצוא זוג אחד של סדרות <math>x_{n}\to 0,y_{n}\to 0</math> עבורן לא מתקיים: <math>\|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)\|\to 0</math>. ~~וזה מה שנעשה כאן:~~

	אם נקבע את סדרת האיקסים להיות תמיד אפס, כלומר, <math>x_{n}=0</math>, וניקח למשל <math>y_{n}=\frac{1}{n}</math>, אז נקבל סדרת אפסים (כי המונה תמיד אפס), ולכן הגבול גם הוא אפס (הסדרה היא <math>f(~~x_{n},y_{n}~~)=\frac{\~~sin0}~~{~~\frac{1}{n~~}}~~=0</math>). כיון שהגבול שונה מערך הפונקציה ב<math>(0,0)</math> נובע שהפונקציה לא רציפה.~~

	הערה חשובה: לא ניתן "לתקן" ע"י לקבוע <math>f(0,0)=0</math> כי אם ניקח את הסדרות <math>x_{n}=y_{n}=\frac{1}{n}</math> נקבל <math>f(x_{n},y_{n})=\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\to 1</math> לפי הידוע משנה שעברה, וכיון שיש שני גבולות שונים נובע שאין דרך "לתקן".

	~~====תרגיל====~~

	~~האם הפונקציה הבאה רציפה בראשית הצירים: <math>f(x,y)=\begin~~{~~cases}~~
	\~~frac~~{~~\sin(x\cdot y)~~}~~{x} & x\neq0\\~~
	~~0 & x=0~~
	~~\end{cases~~}</math>

	~~=====פתרון=====~~

	~~אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות <math>x_{n},y_{n}</math> מתקיים: <math>\|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)\|\to 0</math>. נראה זאת:~~

	<math>~~\|f(x_{n},y_{n})-~~f(~~0,0~~)\|=~~\|\frac{\sin~~(~~x_{n}y_{n}~~)~~}{x_{n}}\|=\frac{\|\sin(x_{n}y_{n})\|}{\|x_{n}\|}</math>. עכשיו נשתמש ברמז שכתוב: תמיד מתקיים <math>\|\sin x\|\leq\|x\|</math>, ולכן אצלנו נקבל <math>\|\sin~~(xy)~~\|\leq\|xy\|~~</math> ~~ונוכל להמשיך:~~		2. <math>f(z)=Im(z)-Re(z)i</math>

	<math>~~\frac{\|\sin~~(~~x_{n}y_{n}~~)~~\|}{\|x_{n}\|}\leq\frac{\|x_{n}y_{n}\|}{\|x_{n}\|}~~=\frac{~~\|x_{n}\|\cdot\|y_{n}\|~~}{~~\|x_{n~~}~~\|}=\|y_{n}\|\to 0~~</math>		3. <math>f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1}</math>

	=~~==רציפות של פונקציות מרוכבות===~~		4. <math>f(x+yi)=\frac{\sin x}{x}-\frac{\cos x}{x}i</math>
	~~====תרגיל====~~
	~~האם הפונקציות הבאות רציפות בנקודות הנדרשות:~~

	1.<math>f(z)=\~~frac{z^2-2z+1}{z^2~~+~~1}</math> בכל <math>\mathbb{C}\smallsetminus \{i,-~~i\}</math>.		5. <math>f(x+yi)=e^x(\sin y+i\tan y)</math>

	2. <math>f(z)=~~\begin{cases}~~ \frac{~~3z+~~\~~overline~~{z}~~}{2z~~-\~~overline{z}} & z\neq 0 \\ \frac~~{~~2}{10} & z=0 \end{cases~~}</math> ~~ב<math>z=0</math>.~~		6. <math>f(x+yi)=\frac{\sin(xy)}{\|y\|=5}-x\text{cis}y</math>

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
	~~1. כן, פונקציה רציונאלית רציפה כאשר המכנה לא מתאפס.~~

	~~2. לא! נקבל:~~

	~~<math>f(a+bi)=\frac{3a+3bi+a-bi}{2a+2bi-a+bi}=\dots =\frac{4a^2+6b^2}{9b^2+a^2}-\frac{6ab}{9b^2+a^2}i</math>.~~

	~~כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות <math>a_n=b_n,a_n=-b_n</math>.~~

אריאל: /* גזירות */

2018-11-26T14:16:20Z

גזירות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:16, 26 בנובמבר 2018
שורה 67:		שורה 67:

	כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות <math>a_n=b_n,a_n=-b_n</math>.		כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות <math>a_n=b_n,a_n=-b_n</math>.

	~~==גזירות==~~
	נאמר שפונקציה גזירה בנקד' <math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>\triangle z\to 0</math> קיים הגבול <math>\underset{\lim}{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z}</math>, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

	~~פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.~~

	~~====תרגיל====~~
	~~האם הפונקציה <math>f(a+bi)=2a-3bi</math> גזירה באפס?~~

	~~=====פתרון=====~~
	~~לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.~~

	~~====תרגיל====~~
	~~האם הפונקציה <math>f(z)=z^2</math> גזירה?~~

	~~=====פתרון=====~~
	~~כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!~~

	~~===משפטים===~~
	~~סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!~~

אריאל: /* תרגיל */

2018-11-20T13:05:22Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:05, 20 בנובמבר 2018
שורה 74:		שורה 74:

	====תרגיל====		====תרגיל====
	האם הפונקציה <math>f(a+bi)=2a-3bi</math> ~~רציפה~~ באפס?		האם הפונקציה <math>f(a+bi)=2a-3bi</math> גזירה באפס?

	=====פתרון=====		=====פתרון=====

אריאל: /* פתרון */

2018-11-20T12:42:08Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:42, 20 בנובמבר 2018
שורה 64:		שורה 64:
	2. לא! נקבל:		2. לא! נקבל:

	<math>f(a+bi)=\frac{3a+3bi+a-bi}{2a+2bi-a+bi}=\dots =\frac{4a^2+6a^2}{9b^2+a^2}-\frac{6ab}{9b^2+a^2}i</math>.		<math>f(a+bi)=\frac{3a+3bi+a-bi}{2a+2bi-a+bi}=\dots =\frac{4a^2+6b^2}{9b^2+a^2}-\frac{6ab}{9b^2+a^2}i</math>.

	כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות <math>a_n=b_n,a_n=-b_n</math>.		כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות <math>a_n=b_n,a_n=-b_n</math>.

אריאל: /* רציפות של פונקציות מרוכבות */

2018-11-20T12:40:42Z

רציפות של פונקציות מרוכבות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:40, 20 בנובמבר 2018
שורה 57:		שורה 57:
	1.<math>f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1}</math> בכל <math>\mathbb{C}\smallsetminus \{i,-i\}</math>.		1.<math>f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1}</math> בכל <math>\mathbb{C}\smallsetminus \{i,-i\}</math>.

	2. <math>f(z)=\begin{cases} \frac{\overline{z}}{z} & z\neq 0 \\ -1 & z=0 \end{cases}</math> ב<math>z=0</math>.		2. <math>f(z)=\begin{cases} \frac{3z+\overline{z}}{2z-\overline{z}} & z\neq 0 \\ \frac{2}{10} & z=0 \end{cases}</math> ב<math>z=0</math>.

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
שורה 64:		שורה 64:
	2. לא! נקבל:		2. לא! נקבל:

	<math>f(a+bi)=\frac{a-bi}{a+bi}=\~~frac{(a-bi)^2}{a^2+b^2}~~=\frac{a^2+b^2~~-2abi~~}{a^2+b^2}=1-\frac {~~2ab~~}{a^2+b^2}i</math>.		<math>f(a+bi)=\frac{3a+3bi+a-bi}{2a+2bi-a+bi}=\dots =\frac{4a^2+6a^2}{9b^2+a^2}-\frac{6ab}{9b^2+a^2}i</math>.

	כעת, ~~אמנם הפונקציה של החלק הממשי רציפה, אך של~~ החלק המדומה לא. ~~הסבר: אם נקבע את~~ <math>a=0</math> ~~נקבל ששואפת לאפס, (לא יעזור להגדיר שם אפס, כי אם ניקח סדרות שוות אז תשאף ל1-)~~.		כעת, "קל לראות" שהפונקציה שתמונתה החלק המדומה לא רציפה. ניקח סדרות <math>a_n=b_n,a_n=-b_n</math>.

	==גזירות==		==גזירות==

אריאל: /* רציפות */

2018-11-20T11:39:55Z

רציפות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:39, 20 בנובמבר 2018
שורה 50:		שורה 50:

	<math>\frac{\|\sin(x_{n}y_{n})\|}{\|x_{n}\|}\leq\frac{\|x_{n}y_{n}\|}{\|x_{n}\|}=\frac{\|x_{n}\|\cdot\|y_{n}\|}{\|x_{n}\|}=\|y_{n}\|\to 0</math>		<math>\frac{\|\sin(x_{n}y_{n})\|}{\|x_{n}\|}\leq\frac{\|x_{n}y_{n}\|}{\|x_{n}\|}=\frac{\|x_{n}\|\cdot\|y_{n}\|}{\|x_{n}\|}=\|y_{n}\|\to 0</math>

			===רציפות של פונקציות מרוכבות===
			====תרגיל====
			האם הפונקציות הבאות רציפות בנקודות הנדרשות:

			1.<math>f(z)=\frac{z^2-2z+1}{z^2+1}</math> בכל <math>\mathbb{C}\smallsetminus \{i,-i\}</math>.

			2. <math>f(z)=\begin{cases} \frac{\overline{z}}{z} & z\neq 0 \\ -1 & z=0 \end{cases}</math> ב<math>z=0</math>.

			=====פתרון=====
			1. כן, פונקציה רציונאלית רציפה כאשר המכנה לא מתאפס.

			2. לא! נקבל:

			<math>f(a+bi)=\frac{a-bi}{a+bi}=\frac{(a-bi)^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2-2abi}{a^2+b^2}=1-\frac {2ab}{a^2+b^2}i</math>.

			כעת, אמנם הפונקציה של החלק הממשי רציפה, אך של החלק המדומה לא. הסבר: אם נקבע את <math>a=0</math> נקבל ששואפת לאפס, (לא יעזור להגדיר שם אפס, כי אם ניקח סדרות שוות אז תשאף ל1-).

			==גזירות==
			נאמר שפונקציה גזירה בנקד' <math>z_0</math> אם לכל סדרה <math>\triangle z\to 0</math> קיים הגבול <math>\underset{\lim}{\triangle z\to 0}\frac{f(\triangle z+z_0)-f(z_0)}{\triangle z}</math>, ואז ערך הנגזרת זה הגבול הנ"ל.

			פונקציה היא גזירה אם היא גזירה בכל נקודה.

			====תרגיל====
			האם הפונקציה <math>f(a+bi)=2a-3bi</math> רציפה באפס?

			=====פתרון=====
			לא! לוקחים סדרה ממשית וסדרה מדומה טהורה.

			====תרגיל====
			האם הפונקציה <math>f(z)=z^2</math> גזירה?

			=====פתרון=====
			כן. לפי הגדרה, מקבלים בדיוק כמו בממשיים!

			===משפטים===
			סכום ומכפלה של גזירות גזירה. כלל השרשת גם מתקיים!

אריאל: /* פתרוןו */

2018-11-20T10:47:50Z

פתרוןו

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:47, 20 בנובמבר 2018
שורה 43:		שורה 43:
	\end{cases}</math>		\end{cases}</math>

	=====~~פתרוןו~~=====		=====פתרון=====

	אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות <math>x_{n},y_{n}</math> מתקיים: <math>\|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)\|\to 0</math>. נראה זאת:		אכן כן. נלך לפי הגדרה: צריך להראות שלכל שתי סדרות <math>x_{n},y_{n}</math> מתקיים: <math>\|f(x_{n},y_{n})-f(0,0)\|\to 0</math>. נראה זאת: