אנליזה מתקדמת למורים תרגול 7 - היסטוריית גרסאות

Relweiz: /* פתרון */

2020-01-14T13:05:20Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:05, 14 בינואר 2020
שורה 58:		שורה 58:

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
	הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=30</math>, ולכן <math>a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:		הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולכן <math>a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:
	<math>T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>.		<math>T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>.

Relweiz: /* לא הומוגנית */

2020-01-14T12:58:35Z

לא הומוגנית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:58, 14 בינואר 2020
שורה 32:		שורה 32:

	===לא הומוגנית===		===לא הומוגנית===
	האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)}</math>. כעת נשים לה להפתעה הבאה:		האמת היא שזה אותו רעיון בדיוק. כאן המד"ר היא <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=b(x)e^{A(x)}</math>. כעת נשים לב להפתעה הבאה:

	<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=b(x)e^{A(x)}</math>.		<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=b(x)e^{A(x)}</math>.

	כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, ולכן שווה לאגף ימין. לכן <math>ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c</math>.		כלומר, קיבלנו שאגף שמאל הוא הנגזרת <math>(ye^{A(x)})'</math>, ולכן הנגזרת הזו שווה לאגף ימין. לכן <math>ye^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+c</math>.

	ומכאן לנוסחא: <math>y=e^{-A(x)}(\int b(x)e^{A(x)}dx+c)</math>.		ומכאן לנוסחא: <math>y=e^{-A(x)}(\int b(x)e^{A(x)}dx+c)</math>.
שורה 44:		שורה 44:

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
	בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=1(\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x</math>, ולכן נקבל: <math>y=e^{-x}(\int xe^xdx+c)</math>. נפתור את האינטגרל בחלקים: <math>\int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)</math>. ולכן: <math>y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x}</math>.		בסימונים מלמעלה נקבל <math>a(x)=1\Rightarrow A(x)=x),b(x)=x</math>, ולכן נקבל: <math>y=e^{-x}(\int xe^xdx+c)</math>. נפתור את האינטגרל בחלקים: <math>\int xe^xdx=\{f=x,g'=e^x,f'=1,g=e^x\}=fg-\int f'g=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x=e^x(x-1)</math>. ולכן: <math>y=e^{-x}(e^x(x-1)+c)=x-1+ce^{-x}</math>.

	===פתרון פרטי ותנאי התחלה===		===פתרון פרטי ותנאי התחלה===

Relweiz: /* הומוגנית */

2020-01-14T12:57:41Z

הומוגנית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:57, 14 בינואר 2020
שורה 17:		שורה 17:
	נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:		נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:

	המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נשים לה להפתעה הבאה:		המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נשים לב להפתעה הבאה:

	<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0</math>.		<math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0</math>.

Relweiz: /* תרגיל */

2020-01-14T12:53:18Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:53, 14 בינואר 2020
שורה 26:		שורה 26:

	====תרגיל====		====תרגיל====
	פתרו את המד"ר: <math>y'+\ln(x)y=0</math>/		פתרו את המד"ר: <math>y'+\ln(x)y=0</math>.

	=====פתרון=====		=====פתרון=====

אריאל: /* פתרון פרטי ותנאי התחלה */

2019-01-01T11:24:13Z

פתרון פרטי ותנאי התחלה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:24, 1 בינואר 2019
שורה 50:		שורה 50:

	<math>1=y(0)=0-1+ce^{-0}=-1+c\Rightarrow c=2</math>. כלומר <math>y=x-1+2e^{-x}</math>.		<math>1=y(0)=0-1+ce^{-0}=-1+c\Rightarrow c=2</math>. כלומר <math>y=x-1+2e^{-x}</math>.

			====תרגיל====
			פתרו את המד"ר <math>y'+\sin xy=5e^{\cos x}</math>, עם תנאי התחלה: <math>y(0)=1</math>.

	====תרגיל====		====תרגיל====

אריאל: /* תרגיל */

2019-01-01T11:12:56Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:12, 1 בינואר 2019
שורה 52:		שורה 52:

	====תרגיל====		====תרגיל====
	לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף~~. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100~~, ~~וידוע שקבוע~~ הקירור של הגוף ~~הוא~~ <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?		לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף, ע"י קבוע הקירור של הגוף שהוא <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?

	=====פתרון=====		=====פתרון=====

אריאל: /* תרגיל */

2019-01-01T11:09:59Z

תרגיל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:09, 1 בינואר 2019
שורה 52:		שורה 52:

	====תרגיל====		====תרגיל====
	לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, וידוע ~~שהגוף מתקרר מ100 ל70 במשך 15 דקות.~~ מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?		לפי חוק הקירור של ניוטון, קצב ההתקררות של גוף הנמצא באוויר פרופורצינאלי להפרש בין טמפרטורת החדר לטמפרטורת הגוף. אם טמפרטורת החדר היא 30 וטמפרטורת הגוף 100, וידוע שקבוע הקירור של הגוף הוא <math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>, מתי תהיה טמפרטורת הגוף 40?

	=====פתרון=====		=====פתרון=====
	הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-k(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+kT=30</math>, ולכן <math>a(x)=k(\Rightarrow A(x)=kx),b(x)=~~30k~~</math>, ולפי הנוסחא נקבל:		הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-\frac{1}{\sqrt{3}}(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+\frac{1}{\sqrt{3}}T=30</math>, ולכן <math>a(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\Rightarrow A(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x),b(x)=\frac{30}{\sqrt{3}}</math>, ולפי הנוסחא נקבל:
	<math>T=e^{-kx}(\int ~~30ke~~^{kx}dx+c)=e^{-kx}(~~30k~~^2e^{kx}+c)=~~30k^2~~+ce^{-kx}</math>. כעת נציב את נתוני ההתחלה: <math>T(0)=100,T(15)=70</math>~~, ונקבל~~:		<math>T=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(\int 30\frac{1}{\sqrt{3}}e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}dx+c)=e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}(30\frac{1}{\sqrt{3}}^2e^{\frac{1}{\sqrt{3}}x}+c)=10+ce^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>.

			כעת נציב את נתוני ההתחלה: <math>T(0)=100</math>, ונקבל: <math>100=10+ce^0\Rightarrow c=90</math>. כלומר <math>T(x)=10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}</math>

			עכשיו אנחנו מחפשים את הזמן בו הטמפרטורה 40. כלומר פתרון למשוואה: <math>10+90e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=40</math> קצת אלגברה:

			<math>e^{-\frac{1}{\sqrt{3}}x}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{3}}x=\ln(\frac{1}{3})\Rightarrow x=-\sqrt{3}\cdot \ln(\frac{1}{3})</math>.

אריאל: /* מד"ר ליhttps://www.rimon.net.il/heנארית מסדר ראשון */

2019-01-01T10:50:24Z

מד"ר ליhttps://www.rimon.net.il/heנארית מסדר ראשון

@@ שורה 6: / שורה 6: @@
 אנחנו נלמד על שיטות לפתור משוואות כאלה, כלומר למצוא את הפונקציה <math>y</math> המתאימה (לפעמים זה יהיה עד כדי תוספת של קבוע, דבר שלא משפיע על הנגזרות).
-===מד"ר לינארית מסדר ראשון===
+==מד"ר לינארית מסדר ראשון==
-מד"ר נקראת לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות <math>a(x),b(x)</math> ולהביא את המשוואה לצורה: <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. היא תקרא הומוגנית אם<math>b(x)=0</math>.
+מד"ר לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות <math>a(x),b(x)</math> ולהביא את המשוואה לצורה: <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. היא תקרא הומוגנית אם<math>b(x)=0</math>.
 דוגמאות נחמדות.
 איך פותרים משוואות כאלה?
 נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:
-המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נקבל שאגף שמאל הוא בעצם: <math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0</math>, קיבלנו שהגאף שמאל הוא הנגזרת של מה שרשום בתחילת המשוואה האחרונה, ולכן זה שווה לאפס. איך זה עוזר לנו? ניזכר שנגזרת של משהו שווה לאפס אם ורק אם הוא קבוע, ולכן קיבלנו <math>ye^{A(x)}=c</math>
+המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נשים לה להפתעה הבאה:
-מכאן למסקנה החשובה: <math>y=ce^{-A(x)}</math>. זה מה שצריך לעשות בפועל!!
+=====פתרון=====
-<math>y=e^{c-A(x)}=c'e^{-A(x)}</math>.
+הפונקציה הבסיסית בסיפור היא הטמפרטורה כפונקצייה של הזמן: <math>T(x)</math> זו הטמפ' בזמן <math>x</math>. כעת קצב התקררות זה בדיוק השיפוע של פונקציית הטמפ', כלומר, הנגזרת. נתון שהוא פרופורציונאלי להפרש, לכן נקבל <math>T'=-k(T-30)</math>. נביא את המד"ר לצורה שאנחנו אוהבים: <math>T'+kT=30</math>, ולכן <math>a(x)=k(\Rightarrow A(x)=kx),b(x)=30k</math>, ולפי הנוסחא נקבל:

אריאל: יצירת דף עם התוכן "חזרה ל מערכי תרגול. ==מהי מד"ר?== מד"ר = משוואה דיפרנצי..."

2018-12-31T13:34:29Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה ל מערכי תרגול. ==מהי מד"ר?== מד"ר = משוואה דיפרנצי..."

דף חדש

חזרה ל[[מערכי תרגול באנליזה מתקדמת למורים | מערכי תרגול]].

==מהי מד"ר?==
מד"ר = משוואה דיפרנציאלית רגילה. כלומר, זוהי משוואה שמערבת פונקציה ונגזרות שלה (עם משתנה אחד). למשל: <math>y+y'-x^2+2=2y''</math>. המטרה היא למצוא פונקציה <math>y</math> שפותרת את המשוואה.

אנחנו נלמד על שיטות לפתור משוואות כאלה, כלומר למצוא את הפונקציה <math>y</math> המתאימה (לפעמים זה יהיה עד כדי תוספת של קבוע, דבר שלא משפיע על הנגזרות).

===מד"ר לינארית מסדר ראשון===
מד"ר נקראת לינארית מסדר ראשון היא כזו שניתן למצוא פונקציות <math>a(x),b(x)</math> ולהביא את המשוואה לצורה: <math>y'+a(x)y=b(x)</math>. היא תקרא הומוגנית אם<math>b(x)=0</math>.

דוגמאות נחמדות.

איך פותרים משוואות כאלה?

נתחיל משיטת פתרון להומוגנית:

המשוואה הנתונה היא כזו: <math>y'+a(x)y=0</math>. נסמן <math>A(x)=\int a(x)dx</math>, נכפיל בגורם שונה מאפס <math>e^{A(x)}</math> ונקבל <math>y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=0</math>. כעת נקבל שאגף שמאל הוא בעצם: <math>(ye^{A(x)})'=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}A'(x)=y'e^{A(x)}+ye^{A(x)}a(x)=0</math>, קיבלנו שהגאף שמאל הוא הנגזרת של מה שרשום בתחילת המשוואה האחרונה, ולכן זה שווה לאפס. איך זה עוזר לנו? ניזכר שנגזרת של משהו שווה לאפס אם ורק אם הוא קבוע, ולכן קיבלנו <math>ye^{A(x)}=c</math>

מכאן למסקנה החשובה: <math>y=ce^{-A(x)}</math>. זה מה שצריך לעשות בפועל!!
<math>y=e^{c-A(x)}=c'e^{-A(x)}</math>.