אנליזת פורייה - ארז שיינר - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה */

2026-04-03T12:42:00Z

הרצאה 11 - התמרת פורייה הבדידה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:42, 3 באפריל 2026
שורה 1,248:		שורה 1,248:
	*לדוגמא עבור <math>N=4</math> נקבל במקום הגלים <math>u_0,u_1,u_2,u_3</math> את <math>u_{-1},u_0,u_1,u_2</math>		*לדוגמא עבור <math>N=4</math> נקבל במקום הגלים <math>u_0,u_1,u_2,u_3</math> את <math>u_{-1},u_0,u_1,u_2</math>
	*נשים לב כי במקרה זה <math>v_{\frac{N}{2}}</math> הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה.		*נשים לב כי במקרה זה <math>v_{\frac{N}{2}}</math> הוא וקטור ממשי (ולכן גם המקדם שלו ממשי) כיוון שהsin מתאפס בכל נקודות הדגימה.


			===עיבוד תמונה===

			[https://fft.math-wiki.com/ דוגמא לשימוש בעיבוד תמונה]

ארז שיינר: /* טורי פורייה ומקדמי פוריה */

2026-03-17T18:13:48Z

טורי פורייה ומקדמי פוריה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:13, 17 במרץ 2026
שורה 65:		שורה 65:


	====חישובים להקדמה ~~- בגרסא המרוכבת~~====		====חישובים להקדמה====
	נגדיר את המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f\cdot \overline{g}dx</math> על הפונקציה המרוכבות האינטגרביליות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>		נגדיר את המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f\cdot \overline{g}dx</math> על הפונקציה המרוכבות האינטגרביליות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>

שורה 77:		שורה 77:

	ולבסוף לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(e^{inx}- e^{-inx})\perp (e^{inx}+ e^{-inx})</math> וכן <math>\|\|e^{inx}\pm e^{-inx}\|\|=2</math>		ולבסוף לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(e^{inx}- e^{-inx})\perp (e^{inx}+ e^{-inx})</math> וכן <math>\|\|e^{inx}\pm e^{-inx}\|\|=2</math>

	~~====חישובים להקדמה====~~
	*ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
	**<math>\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]</math>
	**<math>\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]</math>
	*כעת, לכל <math>0\neq n\in\mathbb{N}</math> נקבל:
	**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1 </math>
	*עבור <math>n\neq k \in \mathbb{N}</math> נקבל:
	**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0</math>
	**שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש<math>n-k,n+k\neq 0</math>.
	*באופן דומה, לכל <math>0\neq n\in\mathbb{N}</math> נקבל:
	**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1 </math>
	*עבור <math>n\neq k \in \mathbb{N}</math> נקבל:
	**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0</math>
	**שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש<math>n-k,n+k\neq 0</math>.
	*עבור <math>n,k\in \mathbb{N}</math> נקבל:
	**<math>\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0</math> כיוון שמדובר ב'''אינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית'''.
	*ולבסוף, עבור <math>n=0</math> נקבל
	**<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2</math>
	*שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.
	*כמו כן קל לחשב <math>\int_{-\pi}^{\pi} \sin(x)dx = \int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)dx=0</math>


	*הערה חשובה:		*הערה חשובה:
	**למעשה ~~כלל~~ החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית ~~לפי המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx</math>~~		**למעשה החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{\sqrt{2}},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית

	====מקדמי הטור====		====מקדמי הטור====
שורה 159:		שורה 138:
	*ונקבל את הסכום המפורסם		*ונקבל את הסכום המפורסם
	::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>		::<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}</math>


	==הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה==		==הרצאה 2 - למת רימן לבג, גרעין דיריכלה==

ארז שיינר: /* חישובים להקדמה - בגרסא המרוכבת */

2026-03-17T18:12:54Z

חישובים להקדמה - בגרסא המרוכבת

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:12, 17 במרץ 2026
שורה 76:		שורה 76:


	ולבסוף לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(e^{inx}- e^{-inx})\perp (e^{inx}+ e^{-inx})</math> וכן <math>\|\|e^{inx}\pm e^{-inx}\|\|=4</math>		ולבסוף לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(e^{inx}- e^{-inx})\perp (e^{inx}+ e^{-inx})</math> וכן <math>\|\|e^{inx}\pm e^{-inx}\|\|=2</math>

	====חישובים להקדמה====		====חישובים להקדמה====

ארז שיינר: /* חישובים להקדמה - בגרסא המרוכבת */

2026-03-17T18:10:50Z

חישובים להקדמה - בגרסא המרוכבת

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:10, 17 במרץ 2026
שורה 70:		שורה 70:
	הערה: מסתכלים על מחלקות שקילות של פונקציות שוות כמעט בכל מקום (כב"מ)		הערה: מסתכלים על מחלקות שקילות של פונקציות שוות כמעט בכל מקום (כב"מ)

	קל לוודא כי לכל <math>m\neq n\in\mathbb{Z}</math> מתקיים כי <math>e^{i\cdot mx}\perp e^{i\cdot nx} </math> וכן <math>\|\|e^{i\cdot nx}\|\|=1</math>		קל לוודא כי לכל <math>m\neq n\in\mathbb{Z}</math> מתקיים כי <math>e^{i\cdot mx}\perp e^{i\cdot nx} </math> וכן <math>\|\|e^{i\cdot nx}\|\|^2=2</math>


			לכן לכל <math>n\neq m\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(e^{imx}\pm e^{-imx})\perp (e^{inx}\pm e^{-inx})</math>


			ולבסוף לכל <math>n\in\mathbb{N}</math> מתקיים כי <math>(e^{inx}- e^{-inx})\perp (e^{inx}+ e^{-inx})</math> וכן <math>\|\|e^{inx}\pm e^{-inx}\|\|=4</math>

	====חישובים להקדמה====		====חישובים להקדמה====

ארז שיינר: /* חישובים להקדמה - בגרסא המרוכבת */

2026-03-17T17:57:10Z

חישובים להקדמה - בגרסא המרוכבת

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:57, 17 במרץ 2026
שורה 66:		שורה 66:

	====חישובים להקדמה - בגרסא המרוכבת====		====חישובים להקדמה - בגרסא המרוכבת====
			נגדיר את המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f\cdot \overline{g}dx</math> על הפונקציה המרוכבות האינטגרביליות בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>

			הערה: מסתכלים על מחלקות שקילות של פונקציות שוות כמעט בכל מקום (כב"מ)

			קל לוודא כי לכל <math>m\neq n\in\mathbb{Z}</math> מתקיים כי <math>e^{i\cdot mx}\perp e^{i\cdot nx} </math> וכן <math>\|\|e^{i\cdot nx}\|\|=1</math>

	====חישובים להקדמה====		====חישובים להקדמה====
	*ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:		*ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:

ארז שיינר: /* חישובים להקדמה */

2026-03-17T17:50:23Z

חישובים להקדמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:50, 17 במרץ 2026
שורה 65:		שורה 65:


			====חישובים להקדמה - בגרסא המרוכבת====
	====חישובים להקדמה====		====חישובים להקדמה====
	*ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:		*ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:

ארז שיינר: /* תקציר ההרצאות */

2022-05-16T08:15:35Z

תקציר ההרצאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:15, 16 במאי 2022
שורה 12:		שורה 12:

	=תקציר ההרצאות=		=תקציר ההרצאות=
	*ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [~~http~~://~~www2.math~~.technion~~.ac.il~~/~~~yoramy~~/~~heb-ps~~.~~html~~ 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס].		*ההרצאות מבוססות בחלקן על הספר המצויין [https://samyzaf.com/technion/fourier/fourier.pdf 'טורי פוריה' של זעפרני ופינקוס].

			עוד ספרים מתמטיים בסגנון ניתן למצוא [https://samyzaf.com/ באתר של סמי זערפני].

	==הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה==		==הרצאה 1 - הקדמה ומקדמי פוריה==
	===הקדמה - גלים===		===הקדמה - גלים===

ארז שיינר: ארז שיינר העביר את הדף אנליזת פורייה/שיינר/תקציר הרצאות ל־אנליזת פורייה - ארז שיינר

2022-04-09T07:52:50Z

ארז שיינר העביר את הדף אנליזת פורייה/שיינר/תקציר הרצאות ל־אנליזת פורייה - ארז שיינר

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־07:52, 9 באפריל 2022
(אין הבדלים)

ארז שיינר: /* מבחנים לדוגמא */

2020-10-13T19:41:33Z

מבחנים לדוגמא

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:41, 13 באוקטובר 2020
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:מערכי לימוד]]		[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
	=מבחנים לדוגמא=		=מבחנים לדוגמא=
	*[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf\|מבחן לדוגמא ~~סמסטר ב'~~ תשע"ט]]		*[[מדיה:20ForierTestA.pdf\|מועד א' תש"ף]]
	**[[מדיה:19ForierExmplTestSol.pdf\|פתרון מבחן לדוגמא ~~סמסטר ב'~~ תשע"ט]]		**[[מדיה:20ForierTestASol.pdf\|פתרונות סופיים למועד א' תש"ף]]
	*[[מדיה:19ForierTestA.pdf\|מועד א~~' סמסטר ב~~' תשע"ט]]		*[[מדיה:20ForierTestB.pdf\|מועד ב' תש"ף]]
	**[[מדיה:19ForierTestASol.pdf\|פתרון חלקי מאד מועד א~~' סמסטר ב~~' תשע"ט]]		*[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf\|מבחן לדוגמא תשע"ט]]
	*[[מדיה:19ForierTestB.pdf\|מועד ~~ב' סמסטר~~ ב' תשע"ט]]		**[[מדיה:19ForierExmplTestSol.pdf\|פתרון מבחן לדוגמא תשע"ט]]
	**[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf\|פתרון מועד ~~ב' סמסטר~~ ב' תשע"ט]]		*[[מדיה:19ForierTestA.pdf\|מועד א' תשע"ט]]
			**[[מדיה:19ForierTestASol.pdf\|פתרון חלקי מאד מועד א' תשע"ט]]
			*[[מדיה:19ForierTestB.pdf\|מועד ב' תשע"ט]]
			**[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf\|פתרון מועד ב' תשע"ט]]

	=תקציר ההרצאות=		=תקציר ההרצאות=

ארז שיינר: /* מבחנים לדוגמא */

2020-10-13T19:38:51Z

מבחנים לדוגמא

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:38, 13 באוקטובר 2020
שורה 6:		שורה 6:
	**[[מדיה:19ForierTestASol.pdf\|פתרון חלקי מאד מועד א' סמסטר ב' תשע"ט]]		**[[מדיה:19ForierTestASol.pdf\|פתרון חלקי מאד מועד א' סמסטר ב' תשע"ט]]
	*[[מדיה:19ForierTestB.pdf\|מועד ב' סמסטר ב' תשע"ט]]		*[[מדיה:19ForierTestB.pdf\|מועד ב' סמסטר ב' תשע"ט]]
	***[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf\|פתרון מועד ב' סמסטר ב' תשע"ט]]		**[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf\|פתרון מועד ב' סמסטר ב' תשע"ט]]

	=תקציר ההרצאות=		=תקציר ההרצאות=

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:41, 13 באוקטובר 2020
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:מערכי לימוד]]		[[קטגוריה:מערכי לימוד]]
	=מבחנים לדוגמא=		=מבחנים לדוגמא=
	*[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf\|מבחן לדוגמא ~~סמסטר ב'~~ תשע"ט]]		*[[מדיה:20ForierTestA.pdf\|מועד א' תש"ף]]
	**[[מדיה:19ForierExmplTestSol.pdf\|פתרון מבחן לדוגמא ~~סמסטר ב'~~ תשע"ט]]		**[[מדיה:20ForierTestASol.pdf\|פתרונות סופיים למועד א' תש"ף]]
	*[[מדיה:19ForierTestA.pdf\|מועד א~~' סמסטר ב~~' תשע"ט]]		*[[מדיה:20ForierTestB.pdf\|מועד ב' תש"ף]]
	**[[מדיה:19ForierTestASol.pdf\|פתרון חלקי מאד מועד א~~' סמסטר ב~~' תשע"ט]]		*[[מדיה:19ForierExmplTest.pdf\|מבחן לדוגמא תשע"ט]]
	*[[מדיה:19ForierTestB.pdf\|מועד ~~ב' סמסטר~~ ב' תשע"ט]]		**[[מדיה:19ForierExmplTestSol.pdf\|פתרון מבחן לדוגמא תשע"ט]]
	**[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf\|פתרון מועד ~~ב' סמסטר~~ ב' תשע"ט]]		*[[מדיה:19ForierTestA.pdf\|מועד א' תשע"ט]]
			**[[מדיה:19ForierTestASol.pdf\|פתרון חלקי מאד מועד א' תשע"ט]]
			*[[מדיה:19ForierTestB.pdf\|מועד ב' תשע"ט]]
			**[[מדיה:19ForierTestBSol.pdf\|פתרון מועד ב' תשע"ט]]

	=תקציר ההרצאות=		=תקציר ההרצאות=