דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־18:30, 25 בינואר 2021

2021-01-25T18:30:15Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:30, 25 בינואר 2021
שורה 1:		שורה 1:
	===תרגיל 1===		===תרגיל 1===
	'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> ~~כך ש~~ <math>\|a_n-a_{n-1}\|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.		'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> עבורה <math>\|a_n-a_{n-1}\|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

	'''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.		'''פתרון''': נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.
			:<math>\begin{align}\|a_m-a_n\|&=\|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\|\\&\le\|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_{m-2}\|+\cdots+\|a_{n+1}-a_n\|\\&< \dfrac{1}{2^m}+\dfrac{1}{2^{m-1}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\dfrac{1}{2^{m-n-1}}+\cdots+1\right]\\&=\dfrac{1}{2^{n+1}}\left[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac12}\right]=\frac{1}{2^n}\left[1-\frac{1}{2^{m-n}}\right]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\le\frac{1}{2^n}\to0\end{align}</math>

	<math>\|a_m-a_n\|=\|a_m-a_{m-1}+a_{m-1~~}-a_{m-2~~}+~~...~~-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\|\~~leq </math>~~

	~~<math>~~\~~leq~~ \|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_{m-2}\|+~~...~~+\|a_{n+1}-a_n\|~~<</math>~~

	~~<math>~~< \~~frac~~{1}{2^m}+\~~frac~~{1}{2^{m-1}}+~~...~~+\~~frac~~{1}{2^{n+1}}=\~~frac~~{1}{2^{n+1}}[\~~frac~~{1}{2^{m-n-1}}+~~...~~+1]~~</math> (לפי הנתון)~~

	~~<math>~~=\~~frac~~{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\~~frac{1}{2}~~}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\~~leq~~ \frac{1}{2^n} \~~rightarrow 0~~</math>


	===תרגיל 2===		===תרגיל 2===
	'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> ~~כך ש~~ <math>\|a_{n+1}-a_n\|\~~leq~~ p\|a_n-a_{n-1}\|</math>~~, עבור <math>0<p<1</math>~~ הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.		'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> עבורה <math>\|a_{n+1}-a_n\|\le p\|a_n-a_{n-1}\|</math>. הוכח כי <math>\{a_n\}</math> מתכנסת עבור <math>0<p<1</math>.

	~~'''פתרון''': נוכיח ש~~ <math>~~\{a_n\}~~<~~/math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.~~

	~~דבר ראשון, נשים לב ש-~~ <~~math>\|a_{n+1}-a_n\|\leq p\|a_n-a_{n-1}\|\leq p^2\|a_{n-~~1~~}-a_{n-2}\|\leq ...\leq p^{n-1}\|a_2-a_1\|~~</math>. ~~נסמן <math>d=\|a_2-a_1\|</math> ולכן סה"כ <math>\|a_{n+1}-a_n\|\leq p^{n-1}d</math>~~



	~~כעת,~~

	<math>~~\|a_m-a_n\|=\|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_~~{~~n+1}-~~a_n\|\~~leq~~ </math>		'''פתרון''': נוכיח כי <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

	<math>\~~leq~~ \|~~a_m~~-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_{m-2}\|~~+...+~~\|a_{n+1}-a_n\|\~~leq~~</math>		ראשית, נשים לב כי
			:<math>\|a_{n+1}-a_n\|\le p\|a_n-a_{n-1}\|\le p^2\|a_{n-1}-a_{n-2}\|\le\cdots\le p^{n-1}\|a_2-a_1\|</math>
			נסמן <math>d=\|a_2-a_1\|</math> ולכן סה"כ <math>\|a_{n+1}-a_n\|\le p^{n-1}d</math>.

	<math>\~~leq~~ p^{m-2}d+~~...~~+p^{n-1}d = p^{n-1}d(p^{m-n-1}+~~...~~+1)=p^{n-1}d(\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}) \~~leq~~ p^{n-1}\frac{d}{1-p} \~~rightarrow 0~~ </math> ~~(לפי מה שהראנו)~~		כעת
			:<math>\begin{align}\|a_m-a_n\|&=\|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}+\cdots-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n\|\\&\le\|a_m-a_{m-1}\|+\|a_{m-1}-a_{m-2}\|+\cdots+\|a_{n+1}-a_n\|\\&\le p^{m-2}d+\cdots+p^{n-1}d\\&=p^{n-1}d(p^{m-n-1}+\cdots+1)\\&=p^{n-1}d\left[\frac{1-p^{m-n-1}}{1-p}\right]\\&\le p^{n-1}\frac{d}{1-p}\to0\end{align}</math>

	מכיוון ש<math>p^n\~~rightarrow 0~~</math> עבור p<1.		מכיוון ש־<math>p^n\to0</math> עבור <math>p<1</math>.

ארז שיינר: פתרונות לקורס אינפי 1 תש"ע הועבר לדוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי

2010-11-08T12:35:19Z

פתרונות לקורס אינפי 1 תש"ע הועבר לדוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־12:35, 8 בנובמבר 2010
(אין הבדלים)

ארז שיינר: /* תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון */

2010-11-08T12:34:39Z

תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-==תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון==
+===תרגיל 1===
 '''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.
@@ שורה 12: / שורה 12: @@
 <math>=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0</math>

ארז שיינר: דף חדש: ==תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון== '''תרגיל''': תהי סדרה $\{a_n\}$ כך ש $|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}$ . הוכח ש $\…$

2009-11-16T12:14:20Z

דף חדש: ==תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון== '''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\…

דף חדש

==תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון==
'''תרגיל''': תהי סדרה <math>\{a_n\}</math> כך ש <math>|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}</math>. הוכח ש<math>\{a_n\}</math> מתכנסת.

'''פתרון''': נוכיח ש <math>\{a_n\}</math> סדרת קושי, ולכן מתכנסת.

<math>|a_m-a_n|=|a_m-a_{m-1}+a_{m-1}-a_{m-2}+...-a_{n+1}+a_{n+1}-a_n|\leq </math>

<math>\leq |a_m-a_{m-1}|+|a_{m-1}-a_{m-2}|+...+|a_{n+1}-a_n|<</math>

<math>< \frac{1}{2^m}+\frac{1}{2^{m-1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1}{2^{m-n-1}}+...+1]</math> (לפי הנתון)

<math>=\frac{1}{2^{n+1}}[\frac{1-\frac{1}{2^{m-n}}}{1-\frac{1}{2}}]=\frac{1}{2^n}[1-\frac{1}{2^{m-n}}]=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^m}\leq \frac{1}{2^n} \rightarrow 0</math>

דוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־18:30, 25 בינואר 2021

ארז שיינר: פתרונות לקורס אינפי 1 תש"ע הועבר לדוגמאות להוכחת התכנסות באמצעות קריטריון קושי

ארז שיינר: /* תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון */

ארז שיינר: דף חדש: ==תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון== '''תרגיל''': תהי סדרה \{a_n\} כך ש |a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}. הוכח ש\…

ארז שיינר: דף חדש: ==תיקון טעות מהתרגיל של יום ראשון== '''תרגיל''': תהי סדרה $\{a_n\}$ כך ש $|a_n-a_{n-1}|<\frac{1}{2^n}$ . הוכח ש $\…$