דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* פתרון */

2010-11-21T22:37:32Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:37, 21 בנובמבר 2010
שורה 34:		שורה 34:

	אם <math>-4<x<0</math> אזי צריך לפתור את אי השיוויון <math>-\frac{2x}{x+4} > 1</math>, שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל <math>3x+4<0</math> ולכן <math>x<-\frac{4}{3}</math>, ולכן עבור <math>-4<x<\frac{4}{3}</math> הטור מתבדר. עבור <math>\frac{4}{3}<x<0</math> הטור מתכנס בהחלט.		אם <math>-4<x<0</math> אזי צריך לפתור את אי השיוויון <math>-\frac{2x}{x+4} > 1</math>, שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל <math>3x+4<0</math> ולכן <math>x<-\frac{4}{3}</math>, ולכן עבור <math>-4<x<\frac{4}{3}</math> הטור מתבדר. עבור <math>\frac{4}{3}<x<0</math> הטור מתכנס בהחלט.



			סיכום ביניים:

			עבור <math>x<-4</math> מתבדר

			עבור <math>-4<x<-\frac{4}{3}</math> מתבדר

			עבור <math>-\frac{4}{3}<x<0</math> מתכנס בהחלט

			עבור <math>0<x<4</math> מתכנס בהחלט

			עבור <math>x>4</math> מתבדר


			כל שנותר לעשות הוא לבדוק את מקרי הקצה <math>x=-4,-\frac{4}{3},0,4</math>

			עבור <math>x=-4</math> הטור כלל אינו מוגדר.

			עבור <math>x=-\frac{4}{3}</math> מקבלים את הטור <math>\sum \frac{(-1)^n}{n}</math> שהוא מתכנס בתנאי כידוע

			עבור <math>x=0</math> מקבלים את הטור של הסדרה הקבועה אפס שהוא בוודאי מתכנס בהחלט

			עבור <math>x=4</math> מקבלים את הטור ההרמוני <math>\sum\frac{1}{n}</math> שהוא מתבדר.



			===סיכום===

			עבור <math>x<-4</math> מתבדר

			עבור <math>x=-4</math> לא מוגדר

			עבור <math>-4<x<-\frac{4}{3}</math> מתבדר

			עבור <math>x=-\frac{4}{3}</math> מתכנס בתנאי

			עבור <math>-\frac{4}{3}<x<4</math> מתכנס בהחלט

			עבור <math>x\geq 4</math> מתבדר

ארז שיינר: /* פתרון */

2010-11-21T22:12:25Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:12, 21 בנובמבר 2010
שורה 5:		שורה 5:

	==פתרון==		==פתרון==
			דבר ראשון, נוכיח את הטענות הבאות:


			*<math>\sum\frac{q^n}{n}</math> מתכנס בהחלט אם <math>\|q\|<1</math>.

			הוכחה:
			<math>\sum\|\frac{q^n}{n}\|\leq \sum\|q^n\| < \infty</math>



			*<math>\sum\frac{q^n}{n}</math> מתבדר אם <math>\|q\|>1</math>

			הוכחה:
			נסמן <math>\|q\|=1+\alpha</math>, כאשר <math>\alpha>0</math>. לכן לפי אי שיוויון ברנולי <math>\|q\|^n = (1+\alpha)^n \geq 1+n\alpha</math>

			לכן <math>\frac{\|q\|^n}{n}\geq \frac{1+n\alpha}{n} \geq \alpha </math> ולכן <math>\lim \frac{\|q\|^n}{n} \neq 0</math> ולכן <math>\lim\frac{q^n}{n}\neq 0</math> ולכן הטור וודאי מתבדר.



			כעת, נסמן <math>q=\frac{2x}{x+4}</math> נותר לבדוק מתי \|q\| גדול מאחד, קטן מאחד או שווה ממש לאחד.


			נפתור את אי השיוויון <math>\|\frac{2x}{x+4}\| <1</math>. קל לראות ש <math>\frac{2x}{x+4}\geq 0</math> כאשר <math>x>0</math> או <math>x<-4</math>. במקרים אלה ניתן להוריד את הערך המוחלט ולפתור את אי השיוויון.

			אם <math>x>0</math> אזי <math>x+4 >0 </math>, ורוצים לפתור את אי השיוויון <math>\frac{2x}{x+4} > 1</math> מותר לכפול ב(x+4) ולכן נקבל x>4. לכן סה"כ הטור מתבדר עבור x>4. עבור x<4 יוצא ש <math>\frac{2x}{x+4} < 1</math> ולכן הטור מתכנס בהחלט עבור <math>0<x<4</math>

			אם <math>x<-4</math> אזי <math>x+4 <0 </math> ולכן נכפול ב(x+4) ונחליף את כיוון אי השיוויון לקבל x<4. ביחד עם x<-4 נקבל שהטור מתבדר עבור x<-4. המקרה x>4 לא רלוונטי לנו במקרה זה.

			אם <math>-4<x<0</math> אזי צריך לפתור את אי השיוויון <math>-\frac{2x}{x+4} > 1</math>, שוב x+4 >0 ולכן מותר לכפול בו על מנת לקבל <math>3x+4<0</math> ולכן <math>x<-\frac{4}{3}</math>, ולכן עבור <math>-4<x<\frac{4}{3}</math> הטור מתבדר. עבור <math>\frac{4}{3}<x<0</math> הטור מתכנס בהחלט.

ארז שיינר: דף חדש: ==תרגיל== קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר: $\sum\frac{1}{n}(\frac{2x}{x+4})^n$ ==פתרון==

2010-11-21T21:28:05Z

דף חדש: ==תרגיל== קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר: <math>\sum\frac{1}{n}(\frac{2x}{x+4})^n</math> ==פתרון==

דף חדש

==תרגיל==
קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר:

<math>\sum\frac{1}{n}(\frac{2x}{x+4})^n</math>

==פתרון==

דוגמא לחקר התכנסות טור עם פרמטר - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* פתרון */

ארז שיינר: /* פתרון */

ארז שיינר: דף חדש: ==תרגיל== קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר: \sum\frac{1}{n}(\frac{2x}{x+4})^n ==פתרון==

ארז שיינר: דף חדש: ==תרגיל== קבע עבור אילו ערכי x הטור הבא מתכנס בהחלט/בתנאי/מתבדר: $\sum\frac{1}{n}(\frac{2x}{x+4})^n$ ==פתרון==