הלמה של צורן - היסטוריית גרסאות

עוזי ו.: /* הגרסה החזקה של הלמה של צורן */

2020-08-13T12:13:49Z

הגרסה החזקה של הלמה של צורן

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:13, 13 באוגוסט 2020
שורה 184:		שורה 184:
	=== הגרסה החזקה של הלמה של צורן ===		=== הגרסה החזקה של הלמה של צורן ===

	'''הלמה של צורן''' (גרסה חזקה). תהי X קבוצה סדורה ~~היטב~~ לא ריקה, עם התכונה שלכל תת-קבוצה סדורה היטב (ולא ריקה) ב-X יש חסם מלעיל. אז יש ב-X איבר מקסימלי.		'''הלמה של צורן''' (גרסה חזקה). תהי X קבוצה סדורה לא ריקה, עם התכונה שלכל תת-קבוצה סדורה היטב (ולא ריקה) ב-X יש חסם מלעיל. אז יש ב-X איבר מקסימלי.

	גרסה זו חזקה מן הקודמת, משום שהפעם אנו מסתפקים בהנחה שיש חסם מלעיל לשרשראות שהן סדורות היטב, ולא דורשים את התנאי הזה לכל השרשראות.		גרסה זו חזקה מן הקודמת, משום שהפעם אנו מסתפקים בהנחה שיש חסם מלעיל לשרשראות שהן סדורות היטב, ולא דורשים את התנאי הזה לכל השרשראות.

Boaz633: /* סכום ומכפלה של עוצמות */

2016-12-19T16:25:20Z

סכום ומכפלה של עוצמות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:25, 19 בדצמבר 2016
שורה 58:		שורה 58:
	'''מסקנה'''. אם <math>\max\{\|A\|,\|B\|\}</math> עוצמה אינסופית, אז <math>\ \|A\|\cdot \|B\| = \max\{\|A\|,\|B\|\}</math>.		'''מסקנה'''. אם <math>\max\{\|A\|,\|B\|\}</math> עוצמה אינסופית, אז <math>\ \|A\|\cdot \|B\| = \max\{\|A\|,\|B\|\}</math>.

	'''הוכחה'''. נניח ש-<math>\ \|A\|\leq \|B\|</math>; לפי ההנחה \|B\| אינסופית, ולכן <math>\ \|B\| = 1\cdot \|B\| \leq \|A\|\cdot \|B\| \leq \|B\| \cdot \|B\| = \|B\|</math>.		'''הוכחה'''. נניח ש-<math>\|A\|\leq \|B\|</math>. לפי ההנחה <math>\|B\|</math> אינסופית, ולכן <math>\ \|B\| = 1\cdot \|B\| \leq \|A\|\cdot \|B\| \leq \|B\| \cdot \|B\| = \|B\|</math>.

	'''מסקנה'''. לכל שתי קבוצות אינסופיות A,B מתקיים <math>\ \|A\| + \|B\| = \max\{\|A\|,\|B\|\}</math>.		'''מסקנה'''. לכל שתי קבוצות אינסופיות A,B מתקיים <math>\ \|A\| + \|B\| = \max\{\|A\|,\|B\|\}</math>.

	'''הוכחה'''. <math>\ ~~\max\{~~\|A\|,\|B\|\} \leq \|A\| + \|B\| \leq = 2 \max\{~~\|A\|~~,\|B\|\} = ~~\max\{\|A\|,~~\|B\|\}</math>.		'''הוכחה'''.
			נניח ש-<math>\|A\|\leq \|B\|</math>.
			אז <math>\|B\|</math> אינסופית, ולכן
			<math>\|B\|\leq \|A\| + \|B\| \leq = 2 \|B\| = \max\{2,\|B\|\}=\|B\|</math>.

	=== לכל מרחב וקטורי יש בסיס ===		=== לכל מרחב וקטורי יש בסיס ===

עוזי ו.: /* ניסוח */

2016-03-23T22:12:02Z

ניסוח

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:12, 23 במרץ 2016
שורה 14:		שורה 14:

	# הטענה כמובן אינה נכונה אם <math>X</math> ריקה. זו אינה נקודה שולית: הלמה של צורן מספקת הוכחת קיום, וכדי להפעיל אותה יש לוודא שקיים איזשהו איבר בקבוצה <math>X</math>; רק אחר-כך מספקת הלמה איבר מקסימלי בקבוצה.		# הטענה כמובן אינה נכונה אם <math>X</math> ריקה. זו אינה נקודה שולית: הלמה של צורן מספקת הוכחת קיום, וכדי להפעיל אותה יש לוודא שקיים איזשהו איבר בקבוצה <math>X</math>; רק אחר-כך מספקת הלמה איבר מקסימלי בקבוצה.
	~~# הכיוון ההפוך ללמה הוא טריוויאלי: איבר מקסימלי של <math>X</math> הוא חסם מלעיל לכל תת-קבוצה.~~
	# אם <math>X</math> קבוצה סדורה לינארית, טענת הלמה נכונה באופן טריוויאלי (משום ש-<math>X</math> עצמה היא שרשרת, ולפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, שהוא איבר מקסימלי). הלמה נועדה, איפוא, לטפל במקרים שבהם הסדר של <math>X</math> אינו לינארי.		# אם <math>X</math> קבוצה סדורה לינארית, טענת הלמה נכונה באופן טריוויאלי (משום ש-<math>X</math> עצמה היא שרשרת, ולפי ההנחה יש לה חסם מלעיל, שהוא איבר מקסימלי). הלמה נועדה, איפוא, לטפל במקרים שבהם הסדר של <math>X</math> אינו לינארי.
	# במקרה שהקבוצה הסדורה <math>X</math> סופית, אין צורך בלמה: ניקח איבר כלשהו של <math>X</math>. אם הוא מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו. אם האיבר החדש מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו, וכו'. כל עוד איננו נעצרים באיבר מקסימלי, אנו מקבלים איברים חדשים של <math>X</math>. כיון שהקבוצה <math>X</math> סופית, התהליך חייב להפסק לאחר מספר סופי של צעדים, כלומר ניעצר באיבר מקסימלי.		# במקרה שהקבוצה הסדורה <math>X</math> סופית, אין צורך בלמה: ניקח איבר כלשהו של <math>X</math>. אם הוא מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו. אם האיבר החדש מקסימלי, סיימנו. אחרת, ניקח איבר שגדול ממנו, וכו'. כל עוד איננו נעצרים באיבר מקסימלי, אנו מקבלים איברים חדשים של <math>X</math>. כיון שהקבוצה <math>X</math> סופית, התהליך חייב להפסק לאחר מספר סופי של צעדים, כלומר ניעצר באיבר מקסימלי.

Boaz633: /* יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי */

2015-08-09T13:29:42Z

יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:29, 9 באוגוסט 2015
שורה 38:		שורה 38:
	<math>\ \|A\| \leq \|B\|</math> או <math>\ \|B\| \leq \|A\|</math>.		<math>\ \|A\| \leq \|B\|</math> או <math>\ \|B\| \leq \|A\|</math>.

	הוכחה: ~~פונקציה~~ <math>f</math> ~~שתחומה הוא תת-קבוצה של הקבוצה~~ <math>~~A</math> והתמונה שלה היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>B</math> תיקרא '''פונקציה חלקית''' מ <math>A~~</math> ~~ל <math>B</math>. תהי <math>X</math> משפחת כל הפונקציות החלקיות '''החד-חד ערכיות''' מ~~ <math>A</math> ל <math>B</math>.		הוכחה: תהי <math>X</math> משפחת כל הפונקציות <math>f</math> שתחומן מוכל בקבוצה <math>A</math> ותמונתן מוכלת בקבוצה <math>B</math>.

	תרגיל: המשפחה <math>X</math> מקיימת את תנאי הלמה של צורן עבור קבוצות.		תרגיל: המשפחה <math>X</math> מקיימת את תנאי הלמה של צורן עבור קבוצות.

	לכן, יש במשפחה <math>X</math> איבר מקסימלי <math>f</math>. ~~זוהי פונקציה חלקית חד-חד ערכית מקסימלית~~ (מבחינת הכלה) מ <math>A</math> ל <math>B</math>. נבחן את האפשרויות השונות:		לכן, יש במשפחה <math>X</math> איבר מקסימלי <math>f</math>. (מבחינת הכלה) מ <math>A</math> ל <math>B</math>. נבחן את האפשרויות השונות:

	א. תחום הפונקציה <math>f</math> הוא הקבוצה <math>A</math> כולה. אז <math>f\colon A\to B</math> פונקציה חד-חד ערכית, ולכן <math>\|A\|\le \|B\|</math>.		א. תחום הפונקציה <math>f</math> הוא הקבוצה <math>A</math> כולה. אז <math>f\colon A\to B</math> פונקציה חד-חד ערכית, ולכן <math>\|A\|\le \|B\|</math>.
שורה 49:		שורה 49:

	ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.		ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.
	במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f':=f\cup\{(a,b)\}</math>, או במלים אחרות, על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\operatorname{dom}(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה ~~חלקית חד-חד ערכית (בדוק!) מ~~ <math>A</math> ל <math>~~B</math> המרחיבה ממש את הפונקציה <math>f~~</math>, בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>.		במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f':=f\cup\{(a,b)\}</math>, או במלים אחרות, על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\operatorname{dom}(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה המרחיבה ממש את הפונקציה <math>f</math> ושייכת ל <math>X</math> (בדוק!), בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>.

	לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>\|A\|\le \|B\|</math>) או (ב) (ואז <math>\|B\|\le \|A\|</math>). מ.ש.ל		לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>\|A\|\le \|B\|</math>) או (ב) (ואז <math>\|B\|\le \|A\|</math>). מ.ש.ל

Boaz633: /* שימושים */

2015-08-09T13:17:37Z

שימושים

@@ שורה 32: / שורה 32: @@
 ללמה של צורן שימושים רבים בכל תחומי המתמטיקה. נדגים כמה מהם. הקורא מוזמן להתמקד באלו העוסקות בתחומים המוכרים לו, ויכול לדלג ללא חשש.
 === יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי ===
@@ שורה 94: / שורה 74: @@
 לפי הלמה של צורן, יש ב-X קבוצה מקסימלית, שנסמן ב-B. היא בלתי-תלויה לינארית (משום שכל הקבוצות ב-X כאלה). נשאר להראות שהיא פורשת את המרחב V. יהי <math>\ v\in V</math>. אם הוקטור v אינו נפרש על-ידי B, אז הקבוצה <math>\ B \cup \{v\}</math> בלתי-תלויה לינארית, וזו סתירה למקסימליות של B. לכן כל וקטור נפרש על-ידי B, ומכאן ש-B בסיס.
 === יש על-מסנן לא ראשי ===

Boaz633 ב־13:16, 9 באוגוסט 2015

2015-08-09T13:16:11Z

הצגת שינויים

Boaz633: /* יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי */

2015-08-09T13:13:29Z

יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:13, 9 באוגוסט 2015
שורה 128:		שורה 128:

	ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.		ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.
	במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f':=f\cup\{(a,b)}</math>, או במלים אחרות, על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\operatorname{dom}(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה חלקית חד-חד ערכית (בדוק!) מ <math>A</math> ל <math>B</math> המרחיבה ממש את הפונקציה <math>f</math>, בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>.		במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f':=f\cup\{(a,b)\}</math>, או במלים אחרות, על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\operatorname{dom}(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה חלקית חד-חד ערכית (בדוק!) מ <math>A</math> ל <math>B</math> המרחיבה ממש את הפונקציה <math>f</math>, בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>.

	לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>\|A\|\le \|B\|</math>) או (ב) (ואז <math>\|B\|\le \|A\|</math>). מ.ש.ל		לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>\|A\|\le \|B\|</math>) או (ב) (ואז <math>\|B\|\le \|A\|</math>). מ.ש.ל

Boaz633: /* יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי */

2015-08-09T13:12:28Z

יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:12, 9 באוגוסט 2015
שורה 128:		שורה 128:

	ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.		ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.
	במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f'</math> על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\dom(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה חלקית חד-חד ערכית (בדוק!) מ <math>A</math> ל <math>B</math> המרחיבה ממש את הפונקציה <math>f</math>, בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>.		במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f':=f\cup\{(a,b)}</math>, או במלים אחרות, על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\operatorname{dom}(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה חלקית חד-חד ערכית (בדוק!) מ <math>A</math> ל <math>B</math> המרחיבה ממש את הפונקציה <math>f</math>, בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>.

	לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>\|A\|\le \|B\|</math>) או (ב) (ואז <math>\|B\|\le \|A\|</math>). מ.ש.ל		לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>\|A\|\le \|B\|</math>) או (ב) (ואז <math>\|B\|\le \|A\|</math>). מ.ש.ל

Boaz633: /* יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי */

2015-08-09T13:11:04Z

יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:11, 9 באוגוסט 2015
שורה 117:		שורה 117:
	<math>\ \|A\| \leq \|B\|</math> או <math>\ \|B\| \leq \|A\|</math>.		<math>\ \|A\| \leq \|B\|</math> או <math>\ \|B\| \leq \|A\|</math>.

	הוכחה: פונקציה <math>f</math> שתחומה הוא תת-קבוצה של הקבוצה <math>A</math> והתמונה שלה היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>B</math> תיקרא '''פונקציה חלקית''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>. תהי <math>~~\mathcal{F}~~</math> משפחת כל הפונקציות החלקיות '''החד-חד ערכיות''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>.		הוכחה: פונקציה <math>f</math> שתחומה הוא תת-קבוצה של הקבוצה <math>A</math> והתמונה שלה היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>B</math> תיקרא '''פונקציה חלקית''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>. תהי <math>X</math> משפחת כל הפונקציות החלקיות '''החד-חד ערכיות''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>.

	תרגיל: המשפחה <math>\~~mathcal~~{F}</math> ~~מקיימת~~ את ~~התנאי הנדרש מהלמה של צורן~~.		תרגיל: המשפחה <math>X</math> מקיימת את תנאי הלמה של צורן עבור קבוצות.

			לכן, יש במשפחה <math>X</math> איבר מקסימלי <math>f</math>. זוהי פונקציה חלקית חד-חד ערכית מקסימלית (מבחינת הכלה) מ <math>A</math> ל <math>B</math>. נבחן את האפשרויות השונות:

			א. תחום הפונקציה <math>f</math> הוא הקבוצה <math>A</math> כולה. אז <math>f\colon A\to B</math> פונקציה חד-חד ערכית, ולכן <math>\|A\|\le \|B\|</math>.

			ב. תמונת הפונקציה <math>f</math> היא הקבוצה <math>B</math> כולה. אז <math>f^{-1}\colon B\to A</math> היא פונקציה (במובן הרגיל) חד-חד ערכית, ולכן <math>\|B\|\le \|A\|</math>.

			ג. נניח בשלילה שאף אחד מבין (א) או (ב) אינו מתקיים. אז יש איברים <math>a\in A,b\in B</math> כך ש <math>a</math> אינו בתחום הפונקציה <math>b</math> ו <math>f</math> אינו בתמונת הפונקציה <math>f</math>.
			במקרה זה, אפשר להרחיב את הפונקציה <math>f</math> לפונקציה <math>f'</math> על ידי הגדרת <math>f'(a)=b</math> (ועבור <math>x\in\dom(f)</math> נגדיר <math>f'(x)=f(x)</math>). נקבל פונקציה חלקית חד-חד ערכית (בדוק!) מ <math>A</math> ל <math>B</math> המרחיבה ממש את הפונקציה <math>f</math>, בסתירה למקסימליות <math>f</math> במשפחה <math>X</math>.

			לסיכום, בהכרח מתקיים (א) (ואז <math>\|A\|\le \|B\|</math>) או (ב) (ואז <math>\|B\|\le \|A\|</math>). מ.ש.ל

	=== סכום ומכפלה של עוצמות ===		=== סכום ומכפלה של עוצמות ===

Boaz633: /* יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי */

2015-08-09T13:01:27Z

יחס הסדר בין עוצמות הוא לינארי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:01, 9 באוגוסט 2015
שורה 118:		שורה 118:

	הוכחה: פונקציה <math>f</math> שתחומה הוא תת-קבוצה של הקבוצה <math>A</math> והתמונה שלה היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>B</math> תיקרא '''פונקציה חלקית''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>. תהי <math>\mathcal{F}</math> משפחת כל הפונקציות החלקיות '''החד-חד ערכיות''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>.		הוכחה: פונקציה <math>f</math> שתחומה הוא תת-קבוצה של הקבוצה <math>A</math> והתמונה שלה היא תת-קבוצה של הקבוצה <math>B</math> תיקרא '''פונקציה חלקית''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>. תהי <math>\mathcal{F}</math> משפחת כל הפונקציות החלקיות '''החד-חד ערכיות''' מ <math>A</math> ל <math>B</math>.

			תרגיל: המשפחה <math>\mathcal{F}</math> מקיימת את התנאי הנדרש מהלמה של צורן.

	=== סכום ומכפלה של עוצמות ===		=== סכום ומכפלה של עוצמות ===

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:25, 19 בדצמבר 2016
שורה 58:		שורה 58:
	'''מסקנה'''. אם <math>\max\{\|A\|,\|B\|\}</math> עוצמה אינסופית, אז <math>\ \|A\|\cdot \|B\| = \max\{\|A\|,\|B\|\}</math>.		'''מסקנה'''. אם <math>\max\{\|A\|,\|B\|\}</math> עוצמה אינסופית, אז <math>\ \|A\|\cdot \|B\| = \max\{\|A\|,\|B\|\}</math>.

	'''הוכחה'''. נניח ש-<math>\ \|A\|\leq \|B\|</math>; לפי ההנחה \|B\| אינסופית, ולכן <math>\ \|B\| = 1\cdot \|B\| \leq \|A\|\cdot \|B\| \leq \|B\| \cdot \|B\| = \|B\|</math>.		'''הוכחה'''. נניח ש-<math>\|A\|\leq \|B\|</math>. לפי ההנחה <math>\|B\|</math> אינסופית, ולכן <math>\ \|B\| = 1\cdot \|B\| \leq \|A\|\cdot \|B\| \leq \|B\| \cdot \|B\| = \|B\|</math>.

	'''מסקנה'''. לכל שתי קבוצות אינסופיות A,B מתקיים <math>\ \|A\| + \|B\| = \max\{\|A\|,\|B\|\}</math>.		'''מסקנה'''. לכל שתי קבוצות אינסופיות A,B מתקיים <math>\ \|A\| + \|B\| = \max\{\|A\|,\|B\|\}</math>.

	'''הוכחה'''. <math>\ ~~\max\{~~\|A\|,\|B\|\} \leq \|A\| + \|B\| \leq = 2 \max\{~~\|A\|~~,\|B\|\} = ~~\max\{\|A\|,~~\|B\|\}</math>.		'''הוכחה'''.
			נניח ש-<math>\|A\|\leq \|B\|</math>.
			אז <math>\|B\|</math> אינסופית, ולכן
			<math>\|B\|\leq \|A\| + \|B\| \leq = 2 \|B\| = \max\{2,\|B\|\}=\|B\|</math>.

	=== לכל מרחב וקטורי יש בסיס ===		=== לכל מרחב וקטורי יש בסיס ===