התכנסות במ"ש - היסטוריית גרסאות

G: /* תנאי שקול */

2012-07-10T17:58:24Z

תנאי שקול

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:58, 10 ביולי 2012
שורה 21:		שורה 21:


	::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in A}\|f_n(x)-f(x)\Big]=0</math>		::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in A}\|f_n(x)-f(x)\|\Big]=0</math>


	==דוגמאות==		==דוגמאות==

ארז שיינר: /* 2. */

2012-06-02T11:55:23Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:55, 2 ביוני 2012
שורה 35:		שורה 35:

	===2.===		===2.===
			קל לוודא כי <math>x^n-x^{n+1}\rightarrow 0</math> בתחום <math>A=(0,1)</math>. האם זו התכנסות במ"ש?

			::<math>\sup_{x\in A}\|x^n-x^{n+1}\|=\Big[\frac{n}{n+1}\Big]^n(1-\frac{n}{n+1})\rightarrow 0</math>

			ולכן זו התכנסות במ"ש. שימו לב שאת הסופרמום מצאנו באמצעות [[חקירת פונקציות]]

ארז שיינר: /* הגדרה */

2012-06-02T11:51:02Z

הגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:51, 2 ביוני 2012
שורה 14:		שורה 14:
	ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון.		ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון.


			מסמנים התכנסות במ"ש: <math>f_n(x)\rightrightarrows f(x)</math>

	==תנאי שקול==		==תנאי שקול==

ארז שיינר: /* תנאי שקול */

2012-06-02T11:49:27Z

תנאי שקול

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:49, 2 ביוני 2012
שורה 20:		שורה 20:

	::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in A}\|f_n(x)-f(x)\Big]=0</math>		::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in A}\|f_n(x)-f(x)\Big]=0</math>


			==דוגמאות==

			===1.===
			ראינו כי <math>x^n\rightarrow 0</math> בתחום <math>(-1,1)</math>. האם התכנסות בתחום זה במ"ש?

			::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in (-1,1)}\|x^n-0\|\Big]=1\neq 0</math>

			ולכן ההתכנסות בתחום זה אינה במ"ש


			===2.===

ארז שיינר: /* תנאי שקול */

2012-06-02T11:47:04Z

תנאי שקול

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:47, 2 ביוני 2012
שורה 16:		שורה 16:

	==תנאי שקול==		==תנאי שקול==
			סדרת פונקציות <math>f_n(x)</math> מתכנסת במ"ש לפונקציה הגבול <math>f(x)</math> בתחום A אם"ם


			::<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\Big[\sup_{x\in A}\|f_n(x)-f(x)\Big]=0</math>

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== עד כה הגדרנו התכנסות נקודתית של סדרת וטור פונקציות לפונקצית הגבו..."

2012-06-02T11:44:53Z

יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== עד כה הגדרנו התכנסות נקודתית של סדרת וטור פונקציות לפונקצית הגבו..."

דף חדש

==הגדרה==
עד כה הגדרנו [[סדרת פונקציות|התכנסות נקודתית]] של סדרת וטור פונקציות לפונקצית הגבול. ניתן לנסח התכנסות סדרת פונקציות נקודתית בכלל הלוגי הבא:

::<math>\forall x_0\in D\forall \epsilon >0 \exists N_{x_0,\epsilon}\forall n>N_{x_0,\epsilon}:|f_n(x_0)-f(x_0)|<\epsilon</math>

כאשר D הוא תחום ההגדרה של פונקצית הגבול.

אנו אומרים כי סדרת הפונקציות מתכנסת '''במידה שווה (במ"ש)''' בתחום <math>A\subseteq D</math> אם קיים <math>N_\epsilon</math> המתאים לכל <math>x\in A</math>. כלומר מתקיים התנאי הלוגי הבא:

::<math>\forall \epsilon >0\exists N_\epsilon\forall n>N_\epsilon \forall x\in A:|f_n(x)-f(x)|<\epsilon</math>

ניתן גם לומר שסדרת פונקציות מתכנסת במידה שווה אם לכל אפסילון קיים מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה כל הפונקציות נמצאות בין פונקצית הגבול פחות אפסילון לפונקצית הגבול ועוד אפסילון.

==תנאי שקול==