וקטור עצמי - היסטוריית גרסאות

M.b: /* חישוב ע"ע וו"ע */

2025-04-17T08:18:18Z

חישוב ע"ע וו"ע

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:18, 17 באפריל 2025
שורה 10:		שורה 10:

	==חישוב ע"ע וו"ע==		==חישוב ע"ע וו"ע==
	נביט ב- <math>~~f_A~~</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>~~f_A~~(\lambda)=0</math> .		נביט ב- <math>p_A</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>p_A(\lambda)=0</math> .

	כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.		כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.

M.b: /* ב */

2025-04-17T08:16:49Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:16, 17 באפריל 2025
שורה 47:		שורה 47:

	===ב===		===ב===
	מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים.		מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים.


	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''

	קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>~~f_\lambda~~ = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.		קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>p_A = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.

	לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הנם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math>		לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הנם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math>

יהודה שמחה ב־17:48, 27 בפברואר 2016

2016-02-27T17:48:57Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:48, 27 בפברואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]		[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
	==הגדרה==		==הגדרה==
	יהי שדה F, ותהי <math>A\in F^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית מעל השדה		יהי שדה <math>\mathbb F</math> , ותהי <math>A\in{\mathbb F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית מעל השדה

	יהיו <math>0\~~neq~~ v\in F^n</math> ו-<math>\lambda\in F</math> כך ש:		יהיו <math>0\ne v\in{\mathbb F}^n</math> ו- <math>\lambda\in\mathbb F</math> כך ש:

	:<math>Av=\lambda v</math>		:<math>Av=\lambda v</math>

	אזי v נקרא '''וקטור עצמי (ו"ע)''' של המטריצה A ו<math>\lambda</math> הוא ה'''ערך העצמי (ע"ע)''' המתאים לו.		אזי v נקרא '''וקטור עצמי (ו"ע)''' של המטריצה A ו- <math>\lambda</math> הוא ה'''ערך העצמי (ע"ע)''' המתאים לו.

	==חישוב ע"ע וו"ע==		==חישוב ע"ע וו"ע==
	נביט ב<math>f_A</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math>.		נביט ב- <math>f_A</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math> .

	כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.		כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.
שורה 17:		שורה 17:
	לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי\|המרחב העצמי]]:		לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי\|המרחב העצמי]]:

	:<math>V_\lambda=\{v\in F^n\|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>		:<math>V_\lambda=\{v\in{\mathbb F}^n\|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>

	(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה\|מרחב האפס]])		(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה\|מרחב האפס]])
שורה 31:		שורה 31:


	קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>:		קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math> :

	<math>f_A=\|A-\lambda I\|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>		<math>f_A=\|A-\lambda I\|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>


	לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, ~~הינם~~ '''2''' ו'''6'''.		לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הנם '''2''' ו'''6'''.


	כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math>.		כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math> .


	המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math>.		המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math> .

	בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> ~~הינו~~ <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> ~~הינו~~ <math>\{(1,2,1)\}</math>.		בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הנו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הנו <math>\{(1,2,1)\}</math> .

	===ב===		===ב===

	מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים.		מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים.

שורה 53:		שורה 52:
	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''

	קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים ~~כיוון~~ שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.		קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.

	לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע ~~הינם~~ <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math>		לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הנם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math>

ארז שיינר: /* חישוב ע"ע וו"ע */

2012-10-22T17:10:40Z

חישוב ע"ע וו"ע

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:10, 22 באוקטובר 2012
שורה 20:		שורה 20:

	(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה\|מרחב האפס]])		(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה\|מרחב האפס]])


	~~'''הוכחה:'''~~

	~~כל התנאים הבאים שקולים:~~


	*x הינו ע"ע של המטריצה A
	~~לפי ההגדרה:~~

	*קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>Av=xv</math>
	~~מעבר אגפים:~~

	*קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>Av-xv=0</math>
	~~(דיסטריביוטיביות של כפל מטריצות:)~~

	*קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math>
	~~לפי ההגדרה:~~

	*קיים פתרון לא טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math>
	~~משפט מלינארית 1:~~

	*המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה
	~~משפט מלינארית 1:~~

	*<math>\|A-xI\|=0</math>
	~~לפי הגדרה:~~

	*<math>f_A(x)=0</math>

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

ארז שיינר: /* חישוב ע"ע וו"ע */

2012-10-22T17:09:38Z

חישוב ע"ע וו"ע

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:09, 22 באוקטובר 2012
שורה 48:		שורה 48:
	לפי הגדרה:		לפי הגדרה:

	*<math>f(x)=0</math>		*<math>f_A(x)=0</math>

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

ארז שיינר: /* חישוב ע"ע וו"ע */

2012-10-22T17:09:19Z

חישוב ע"ע וו"ע

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:09, 22 באוקטובר 2012
שורה 21:		שורה 21:
	(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה\|מרחב האפס]])		(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה\|מרחב האפס]])


			'''הוכחה:'''

			כל התנאים הבאים שקולים:


			*x הינו ע"ע של המטריצה A
			לפי ההגדרה:

			*קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>Av=xv</math>
			מעבר אגפים:

			*קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>Av-xv=0</math>
			(דיסטריביוטיביות של כפל מטריצות:)

			*קיים <math>v\neq 0</math> וגם <math>(A-xI)v=0</math>
			לפי ההגדרה:

			*קיים פתרון לא טריוויאלי במרחב האפס <math>N(A-xI)</math>
			משפט מלינארית 1:

			*המטריצה <math>A-xI</math> '''אינה''' הפיכה
			משפט מלינארית 1:

			*<math>\|A-xI\|=0</math>
			לפי הגדרה:

			*<math>f(x)=0</math>

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

ארז שיינר: /* א */

2012-10-20T09:54:45Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:54, 20 באוקטובר 2012
שורה 34:		שורה 34:
	קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>:		קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>:

	<math>-f_A=\|A-\lambda I\|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>		<math>f_A=\|A-\lambda I\|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>


שורה 46:		שורה 46:

	בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>.		בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>.

			===ב===

			מצא ע"ע וו"ע של המטריצה <math>\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}</math> מעל הממשיים ומעל המרוכבים.


			'''פתרון.'''

			קל לראות כי הפולינום האופייני הינו <math>f_\lambda = x^2+1</math>, ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיוון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.

			לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הינם <math>\pm i</math> והבסיסים למרחבים העצמיים הינם <math>\{(1,i)\},\{(1,-i)\}</math>

ארז שיינר: /* דוגמאות */

2012-10-20T09:44:51Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:44, 20 באוקטובר 2012
שורה 23:		שורה 23:

	==דוגמאות==		==דוגמאות==
			===א===
			מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה

			<math>A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix}</math>


			'''פתרון.'''


			קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של <math>A</math>:

			<math>-f_A=\|A-\lambda I\|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6)</math>


			לכן '''הערכים העצמיים''' של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הינם '''2''' ו'''6'''.


			כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של <math>A</math>.


			המרחב העצמי של <math>\lambda</math> שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית <math>(A-\lambda I)v=0</math>.

			בסיס למרחב האפס <math>N(A-2I)</math> הינו <math>\{(-1,1,0),(-1,0,1)\}</math> ובסיס למרחב האפס <math>N(A-6I)</math> הינו <math>\{(1,2,1)\}</math>.

ארז שיינר: /* חישוב ע"ע וו"ע */

2012-10-20T09:36:00Z

חישוב ע"ע וו"ע

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:36, 20 באוקטובר 2012
שורה 15:		שורה 15:


	לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי\|המרחב העצמי]].		לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי\|המרחב העצמי]]:

	:<math>V_\lambda=\{v\in F^n\|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>		:<math>V_\lambda=\{v\in F^n\|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>

	(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה\|מרחב האפס]])		(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה\|מרחב האפס]])


			==דוגמאות==

ארז שיינר: /* חישוב ע"ע וו"ע */

2012-04-02T13:32:20Z

חישוב ע"ע וו"ע

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:32, 2 באפריל 2012
שורה 10:		שורה 10:

	==חישוב ע"ע וו"ע==		==חישוב ע"ע וו"ע==
	נביט ב<math>f_A</math> ה[[~~פולינום~~ האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math>.		נביט ב<math>f_A</math> [[הפולינום האופייני]] של המטריצה A. אזי <math>\lambda</math> הוא ע"ע של A אם"ם <math>f_A(\lambda)=0</math>.

	כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.		כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:36, 20 באוקטובר 2012
שורה 15:		שורה 15:


	לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי\|המרחב העצמי]].		לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב [[מרחב עצמי\|המרחב העצמי]]:

	:<math>V_\lambda=\{v\in F^n\|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>		:<math>V_\lambda=\{v\in F^n\|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I)</math>

	(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה\|מרחב האפס]])		(הזכרו בהגדרה של [[מרחבי המטריצה\|מרחב האפס]])


			==דוגמאות==