חתכי דדקינד - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* חתך האפס */

2023-10-15T07:58:26Z

חתך האפס

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:58, 15 באוקטובר 2023
שורה 60:		שורה 60:
	===חתך האפס===		===חתך האפס===

	*נגדיר את חתך האפס~~, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.~~		*נגדיר את חתך האפס:
	*<math>0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}\|x<0\right\}</math>		**<math>0_D=\left\{x\in\mathbb{Q}\|x<0\right\}</math>


			*נוכיח כי חתך האפס נייטרלי לחיבור:
			**יהי חתך דדקינד <math>A</math> צריך להוכיח כי <math>A+0_D=A</math>
			**נבצע הכלה דו כיוונית. בכיוון הראשון:
			***יהי <math>x=a+h\in A+0_D</math> צריך להוכיח כי <math>x\in A</math>
			***כיוון ש <math>h\in 0_D</math> נובע לפי ההגדרה כי <math>h<0</math> ולכן <math>a+h<a</math>
			***לכן <math>x=a+h</math> אינו חסם מלעיל של <math>A</math> ולכן <math>x\in A</math>
			**בכיוון השני:
			***יהי <math>a\in A</math> צריך להוכיח כי <math>a\in A+0_D</math>
			***אמרנו כי בחתך דדקינד אין איבר גדול ביותר, ולכן קיים <math>a<b\in A</math>
			***כיוון ש <math>a-b<0</math> נובע כי <math>a-b\in 0_D</math>
			***סה"כ <math>a=b+(a-b)\in A+0_D</math> כפי שרצינו.

	===נגדי===		===נגדי===

ארז שיינר: /* ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים */

2022-03-27T13:54:19Z

ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:54, 27 במרץ 2022
שורה 304:		שורה 304:

	==ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים==		==ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים==
	~~===הגדרה של ייצוג עשרוני===~~
	*ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית.		*ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית.
	*נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.		*נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.

ארז שיינר: /* הגדרה של ייצוג עשרוני */

2022-03-27T13:53:22Z

הגדרה של ייצוג עשרוני

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:53, 27 במרץ 2022
שורה 308:		שורה 308:
	*נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.		*נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.
	**אם <math>a_n</math> היא סדרת הספרות ו<math>k</math> הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות:		**אם <math>a_n</math> היא סדרת הספרות ו<math>k</math> הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות:
	**<math>\sup \{10^k \sum_(i=1)^n \frac{a_i}{10^i}\|n\in\mathbb{N} \}</math>		**<math>\sup \{10^k \sum_{i=1}^n \frac{a_i}{10^i}\|n\in\mathbb{N} \}</math>

ארז שיינר: /* ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים */

2022-03-27T13:52:57Z

ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:52, 27 במרץ 2022
שורה 304:		שורה 304:

	==ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים==		==ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים==
			===הגדרה של ייצוג עשרוני===
			*ייצוג עשרוני הוא זוג של סדרת הספרות (פונקציה מהטבעיים אל קבוצת הספרות 0-9) ומספר טבעי שהוא מיקום של הספרה העשרונית.
			*נרצה להתאים לכל ייצוג עשרוני מספר ממשי, נגדיר אותו להיות החסם העליון של כל תתי הפיתוחים העשרוניים הסופיים של המספר.
			**אם <math>a_n</math> היא סדרת הספרות ו<math>k</math> הוא מיקום הנקודה העשרונית נגדיר את המספר להיות:
			**<math>\sup \{10^k \sum_(i=1)^n \frac{a_i}{10^i}\|n\in\mathbb{N} \}</math>


			*דוגמא פשוטה:
			*עבור הסדרה הקבועה <math>a_n =9</math>, ומיקום הנקודה העשרונית <math>k=0</math> נקבל את הייצוג העשרוני <math>0.999...</math>
			*לפי ההגדרה לעיל יוצא כי:
			**<math>0.999...=\sup \{0,0.9,0.99,0.999,...\}</math>


			*קל להוכיח כי החסם העליון של קבוצה זו הוא 1.
			*1 הוא חסם מלעיל של הקבוצה
			*לכל מספר קטן מ1 יש איבר בקבוצה שגדול ממנו, כי סדרת איברי הקבוצה שואפת ל1.
			*מסקנה: <math>1=0.999...</math>

ארז שיינר: /* תכונות שדה סדור */

2022-03-27T13:41:37Z

תכונות שדה סדור

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:41, 27 במרץ 2022
שורה 249:		שורה 249:

	*יהיו זוג חתכים <math>A\leq B</math> ויהי חתך <math>C</math> חיובי. צ"ל כי <math>AC\leq BC</math>		*יהיו זוג חתכים <math>A\leq B</math> ויהי חתך <math>C</math> חיובי. צ"ל כי <math>AC\leq BC</math>
			**ראשית נניח כי A,B חתכים חיוביים
			***יהי <math>0<ac\in AC</math> כאשר <math>0<a,c</math>.
			***כיוון ש <math>A\subseteq B</math> נובע כי <math>a\in B</math> ולכן <math>ac\in BC</math>.
			**כעת נניח כי A שלילי ואילו B חיובי (המצב ההפוך סותר את הנתונים)
			***לפי הגדרת הכפל <math>AC=-((-A)C)</math> הוא חתך שלילי, ולכן בוודאי קטן מהחתך החיובי <math>BC</math>



			*לבסוף נניח כי A,B חתכים שליליים
			*ראשית נוכיח טענת עזר: <math>A\leq B</math> אם ורק אם <math>-A\geq -B</math>
			** בכיוון אחד, נתון כי <math>A\leq B</math> ורוצים להוכיח כי <math>-A\geq -B</math>
			***יהי <math>x\in -B</math>, כלומר קיים חסם <math>m\not\in B</math> כך ש <math>x<m</math>
			***כיוון ש<math>A\leq B</math> נובע כי <math>m\not\in A</math> ולכן <math>x\in -A</math>
			**בכיוון השני, נשתמש בכיוון הראשון ובעובדה כי <math>-(-A)=A</math>


			*כעת נחזור להוכחה:
			*מהנתון נובע כי <math>-A\geq -B</math>
			*כבר הוכחנו עבור חתכים חיוביים כי נובע ש <math>(-A)C\geq (-B)C</math>
			*לכן <math>-((-A)C)\leq -((-B)C)</math>
			*כלומר הוכחנו <math>AC\leq BC</math>

	==שלמות הממשיים==		==שלמות הממשיים==

ארז שיינר: /* שדה הממשיים */

2022-03-27T13:29:40Z

שדה הממשיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:29, 27 במרץ 2022
שורה 222:		שורה 222:

	==הגדרת המספרים הממשיים==		==הגדרת המספרים הממשיים==
	*הגדרה:		*הגדרה: <math>\mathbb{R}</math> הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.
	**<math>\mathbb{R}</math> הוא קבוצת כל חתכי דדקינד.


	*נוכיח שמדובר ב[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%93%D7%95%D7%A8 שדה סדור] ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל~~, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים~~.		==שדה הממשיים הוא סדר סדור==
			*נוכיח שמדובר ב[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%93%D7%95%D7%A8 שדה סדור] ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל.


	===~~רשימה מתעדכנת של תכונות, ככל שאאעדכן את הערך~~===		===הוכחה===

	====תכונות השדה====		====תכונות השדה====
שורה 281:		שורה 281:
	*לכן קיים <math>D\in A</math> כך ש <math>x\in D</math>.		*לכן קיים <math>D\in A</math> כך ש <math>x\in D</math>.
	*לכן <math>D\not\subseteq T</math> בסתירה לכך ש<math>T</math> חסם מלעיל של <math>A</math>		*לכן <math>D\not\subseteq T</math> בסתירה לכך ש<math>T</math> חסם מלעיל של <math>A</math>

			==ייצוג עשרוני של מספרים ממשיים==

ארז שיינר: /* רשימה מתעדכנת של תכונות, ככל שאאעדכן את הערך */

2022-03-27T13:27:31Z

רשימה מתעדכנת של תכונות, ככל שאאעדכן את הערך

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:27, 27 במרץ 2022
שורה 242:		שורה 242:

	====תכונות שדה סדור====		====תכונות שדה סדור====
			*איזוטוניות ביחס לסכום:
			**יהיו חתכים A,B,C כך ש<math>A\leq B</math> צ"ל כי <math>A+C\leq B+C</math>
			**נתון כי <math>A\subseteq B</math> צ"ל כי <math>A+C\subseteq B+C</math>
			**יהי <math>a+c\in A+C</math>, לכן <math>a\in B</math> ולכן <math>a+c\in B+C</math>.


			*יהיו זוג חתכים <math>A\leq B</math> ויהי חתך <math>C</math> חיובי. צ"ל כי <math>AC\leq BC</math>

	==שלמות הממשיים==		==שלמות הממשיים==

ארז שיינר: /* הגדרת המספרים הממשיים */

2022-03-27T13:23:47Z

הגדרת המספרים הממשיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:23, 27 במרץ 2022
שורה 228:		שורה 228:
	*נוכיח שמדובר ב[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%93%D7%95%D7%A8 שדה סדור] ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים.		*נוכיח שמדובר ב[https://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%93%D7%95%D7%A8 שדה סדור] ביחס לפעולות החיבור והכפל ויחס הסדר שהגדרנו לעיל, ולאחר מכן נתאר את הייצוג העשרוני של המספרים הממשיים.


			===רשימה מתעדכנת של תכונות, ככל שאאעדכן את הערך===

			====תכונות השדה====
			*סגירות - הוכחנו לעיל שסכום חתכים הוא חתך, וכן כפל חתכים הוא חתך
			*חילופיות - טריוויאלי מחילופיות החיבור והכפל ברציונאליים.
			*אסוציאטיביות - טריוויאלי מאסוציאטיביות החיבור והכפל ברציונאליים.
			*נייטרלים - הגדרנו איברים נייטרלים לעיל ואפילו הוכחנו שהם אכן נייטרלים
			*נגדיים - הגדרנו והוכחנו לעיל
			*הופכיים - הגדרנו והוכחנו לעיל
			*פילוג - נובע מפילוג הרציונאליים


			====תכונות שדה סדור====

	==שלמות הממשיים==		==שלמות הממשיים==

ארז שיינר: /* הוכחה שאכן מדובר בהופכי */

2022-03-27T13:18:06Z

הוכחה שאכן מדובר בהופכי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:18, 27 במרץ 2022
שורה 213:		שורה 213:
	*סה"כ <math>1-xa=m\cdot \frac{1}{m}-a\cdot \frac{1}{m}+a\cdot \frac{1}{m}-ax=\frac{1}{m}(m-a)+a(\frac{1}{m}-x)</math>		*סה"כ <math>1-xa=m\cdot \frac{1}{m}-a\cdot \frac{1}{m}+a\cdot \frac{1}{m}-ax=\frac{1}{m}(m-a)+a(\frac{1}{m}-x)</math>
	*כיוון שקבוצת החסמים <math>m</math> חסומה מלמטה ע"י איברי חיובי מA, וכיוון שאפשר לקרב את <math>m-a</math> כרצוננו לאפס, סה"כ אפשר לקרב את ההפרש הזה כרצוננו לאפס, כפי שרצינו.		*כיוון שקבוצת החסמים <math>m</math> חסומה מלמטה ע"י איברי חיובי מA, וכיוון שאפשר לקרב את <math>m-a</math> כרצוננו לאפס, סה"כ אפשר לקרב את ההפרש הזה כרצוננו לאפס, כפי שרצינו.


			*לבסוף, אם <math>A</math> שלילי, <math>A^{-1}=-(-A)^{-1}</math>
			*לכן <math>A^{-1}A=-(-A)^{-1}\cdot A = (-A)^{-1}\cdot (-A)=1</math>
			**המעבר האחרון הוא לפי הגדרת הכפל עבור חתכים שליליים.

	=שדה הממשיים=		=שדה הממשיים=

ארז שיינר: /* הופכי */

2022-03-27T13:16:01Z

הופכי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:16, 27 במרץ 2022
שורה 208:		שורה 208:

	*כעת נוכיח כי <math>A^{-1}A\geq 1</math>		*כעת נוכיח כי <math>A^{-1}A\geq 1</math>
			*צ"ל כי אפשר לבחור איבר <math>xa\in A^{-1}A</math> הקרוב ל1 כרצוננו.
			*נבחר <math>0<a\in A, m\not\in A</math> כך ש <math>a,m</math> קרובים כרצוננו (אפשרי כי מכל זוג של מספר וחסם אפשר להחליף אחד מהם באמצע הקטע).
			*נבחר <math>x<\frac{1}{m}</math> כך ש<math>x,\frac{1}{m}</math> קרובים כרצוננו.
			*סה"כ <math>1-xa=m\cdot \frac{1}{m}-a\cdot \frac{1}{m}+a\cdot \frac{1}{m}-ax=\frac{1}{m}(m-a)+a(\frac{1}{m}-x)</math>
			*כיוון שקבוצת החסמים <math>m</math> חסומה מלמטה ע"י איברי חיובי מA, וכיוון שאפשר לקרב את <math>m-a</math> כרצוננו לאפס, סה"כ אפשר לקרב את ההפרש הזה כרצוננו לאפס, כפי שרצינו.

	=שדה הממשיים=		=שדה הממשיים=