לכסון מטריצה - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר ב־11:55, 25 באוקטובר 2012

2012-10-25T11:55:44Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:55, 25 באוקטובר 2012
שורה 20:		שורה 20:


	נסמן את עמודות המטריצה P ב<math>C_1,...,C_n</math> ואת איברי האלכסון של D ב<math>d_1,...,d_n</math>.		נסמן את עמודות המטריצה P ב<math>C_1,...,C_n</math> ואת איברי האלכסון של D ב<math>d_1,...,d_n\in\mathbb{F}</math>.

ארז שיינר ב־11:55, 25 באוקטובר 2012

2012-10-25T11:55:05Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:55, 25 באוקטובר 2012
שורה 10:		שורה 10:

	'''הוכחה.'''		'''הוכחה.'''

			ראשית, נניח כי המטריצה A לכסינה. לכן קיימת מטריצה אלכסונית D וקיימת מטריצה הפיכה P כך שמתקיים:

			::<math>D=P^{-1}AP</math>

			נכפול משמאל במטריצה P לקבל

			::<math>PD=AP</math>


			נסמן את עמודות המטריצה P ב<math>C_1,...,C_n</math> ואת איברי האלכסון של D ב<math>d_1,...,d_n</math>.


			לפי שיטת '''כפל עמודה עמודה''' אנו שמים לב כי השיוויון

			::<math>PD=AP</math>

			שקול לכך שלכל i מתקיים

			::<math>AC_i=d_iC_i</math>

			ולכן עמודות P מהוות ו"ע של המטריצה A (כמובן ש <math>C_i\neq 0</math> כיוון שP הפיכה).

			בנוסף, כיוון שP הפיכה, עמודותיה מהוות בסיס למרחב <math>\mathbb{F}^n</math>.

			סה"כ נגיד את B להיות אוסף עמודות P וסיימנו.



			בכיוון ההפוך, נניח שיש לנו בסיס כזה B, נשים את איבריו בעמודות מטריצה P. קל לראות כי מתקיים

			::<math>PD=AP</math>

			כאשר P הפיכה. לכן נכפול בהופכית לקבל

			::<math>D=P^{-1}AP</math>

			כלומר A לכסינה.

ארז שיינר ב־11:48, 25 באוקטובר 2012

2012-10-25T11:48:51Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:48, 25 באוקטובר 2012
שורה 2:		שורה 2:

	אומרים כי A מטריצה '''לכסינה''' אם היא [[דמיון בין מטריצות\|דומה]] למטריצה אלכסונית		אומרים כי A מטריצה '''לכסינה''' אם היא [[דמיון בין מטריצות\|דומה]] למטריצה אלכסונית


			'''משפט.'''

			תהי <math>A\in\mathbb{F}^{n\times n}</math> מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב <math>\mathbb{F}^n</math> כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.


			'''הוכחה.'''



	==דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות==		==דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות==

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "'''הגדרה:''' תהי A מטריצה ריבועית. אומרים כי A מטריצה '''לכסינה''' אם היא [[דמיון בין מטריצות|דומה..."

2012-10-25T11:45:58Z

יצירת דף עם התוכן "'''הגדרה:''' תהי A מטריצה ריבועית. אומרים כי A מטריצה '''לכסינה''' אם היא [[דמיון בין מטריצות|דומה..."

דף חדש

'''הגדרה:''' תהי A מטריצה ריבועית.

אומרים כי A מטריצה '''לכסינה''' אם היא [[דמיון בין מטריצות|דומה]] למטריצה אלכסונית

==דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות==

באמצעות לכסון ניתן למצוא חזקות גבוהות של מטריצות באופן הבא. נניח A מטריצה לכסינה, לכן קיימת מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים:

::<math>A=PDP^{-1}</math>

ולכן

::<math>A^k=\Big(PDP^{-1}\Big)^k = PDP^{-1}\cdot PDP^{-1} \cdots PDP^{-1}</math>

אבל

::<math>P^{-1}\cdot P=I</math>

לכן סה"כ אנחנו מקבלים

::<math>A^k=PD^kP^{-1}</math>

כאשר להעלות מטריצה אלכסונית בחזקה זה קל מאד.

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]