מבחן השורש של קושי - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־15:18, 12 בפברואר 2017

2017-02-12T15:18:29Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:18, 12 בפברואר 2017
שורה 1:		שורה 1:
	==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==		==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==

	יהי <math>\~~sum~~ a_n</math> טור חיובי. אזי:		יהי <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n</math> טור חיובי. אזי:

	::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} >1</math> הטור מתבדר		:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}>1</math> הטור מתבדר

	::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} <1</math> הטור מתכנס		:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}<1</math> הטור מתכנס

	~~::אם <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.~~

			:אם <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1</math> לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.

	===הוכחה===		===הוכחה===
			נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d>1</math> . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:

	~~נניח כי~~ <math>\~~limsup~~ \~~sqrt[n]~~{~~a_n~~} ~~=d>1</math>. נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:~~		:<math>\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>


	~~::<math>\lim~~ \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>

	*לכן החל ממקום ~~מסויים~~ בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\~~frac~~{d+1}{2}>1</math>.		לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\dfrac{d+1}{2}>1</math> .

	*לכן <math>a_{n_k}>\~~Big~~(\~~frac~~{d+1}{2}\~~Big~~)^{n_k}</math>		לכן <math>a_{n_k}>\left(\dfrac{d+1}{2}\right)^{n_k}</math>

	*לכן <math>\lim a_{n_k}=\infty</math>		לכן <math>\lim\limits_{k\to\infty}a_{n_k}=\infty</math>

	*לכן בפרט <math>a_n\not\~~rightarrow 0~~</math>		לכן בפרט <math>a_n\not\to0</math>

	ולכן הטור מתבדר.		ולכן הטור מתבדר.


			כעת, נניח כי <math>\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=d<1</math> .

	~~כעת, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1</math>.~~		לכן החל ממקום מסוים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\dfrac{1+d}{2}<1</math>

	*לכן החל ממקום ~~מסויים~~ בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\~~frac~~{1+d}{2}<1</math>

	*לכן <math>a_n<\~~Big~~(\~~frac~~{1+d}{2}\~~Big~~)^n</math>		לכן <math>a_n<\left(\dfrac{1+d}{2}\right)^n</math>

	*אבל <math>\~~sum~~ \~~Big~~(\frac{1+d}{2}\~~Big~~)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס		אבל <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1+d}{2}\right)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס

	*לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.		לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.



	הטורים <math>\~~sum~~\~~frac~~{1}{n},\~~sum~~\~~frac{1}~~{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ~~לאחד~~.		הטורים <math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n,\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש ל-1.

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו. ב־01:07, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T01:07:26Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:07, 15 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	~~[[משפטים/אינפי\|חזרה למשפטים באינפי]]~~

	==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==		==מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים==

שורה 44:		שורה 42:

	הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.		הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.

			[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו.: משפטים/אינפי/מבחן השורש של קושי הועבר למבחן השורש של קושי

2012-02-15T00:56:58Z

משפטים/אינפי/מבחן השורש של קושי הועבר למבחן השורש של קושי

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־00:56, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

Noamlifshitz: /* הוכחה */

2012-02-04T19:59:10Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:59, 4 בפברואר 2012
שורה 33:		שורה 33:
	כעת, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1</math>.		כעת, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1</math>.

	*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1-d}{2}<1</math>		*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1+d}{2}<1</math>

	*לכן <math>a_n<\Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math>		*לכן <math>a_n<\Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math>

Noamlifshitz: /* מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים */

2012-02-04T19:58:40Z

מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:58, 4 בפברואר 2012
שורה 35:		שורה 35:
	*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1-d}{2}<1</math>		*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1-d}{2}<1</math>

	*לכן <math>a_n<\Big(\frac{1-d}{2}\Big)^n</math>		*לכן <math>a_n<\Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math>

	*אבל <math>\sum \Big(\frac{1-d}{2}\Big)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס		*אבל <math>\sum \Big(\frac{1+d}{2}\Big)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס

	*לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.		*לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.

Noamlifshitz: /* הוכחה */

2012-02-04T19:57:59Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:57, 4 בפברואר 2012
שורה 21:		שורה 21:
	*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d+1}{2}>1</math>.		*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d+1}{2}>1</math>.

	*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math>		*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d+1}{2}\Big)^{n_k}</math>

	*לכן <math>\lim a_{n_k}=\infty</math>		*לכן <math>\lim a_{n_k}=\infty</math>

Noamlifshitz: /* הוכחה */

2012-02-04T19:57:36Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:57, 4 בפברואר 2012
שורה 19:		שורה 19:
	::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>		::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>

	*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d-1}{2}+1>1</math>.		*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d+1}{2}>1</math>.

	*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math>		*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math>

Noamlifshitz: /* הוכחה */

2012-02-04T19:56:55Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:56, 4 בפברואר 2012
שורה 19:		שורה 19:
	::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>		::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>

	*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}-1>\frac{d-1}{2}>0</math>.		*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d-1}{2}+1>1</math>.

	*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math>		*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math>

Noamlifshitz: /* הוכחה */

2012-02-04T19:55:06Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:55, 4 בפברואר 2012
שורה 19:		שורה 19:
	::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>		::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math>

	*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d-1}{2}>1</math>.		*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}-1>\frac{d-1}{2}>0</math>.

	*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math>		*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math>

ארז שיינר: /* הוכחה */

2012-02-02T09:49:09Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:49, 2 בפברואר 2012
שורה 28:		שורה 28:

	ולכן הטור מתבדר.		ולכן הטור מתבדר.



			כעת, נניח כי <math>\limsup \sqrt[n]{a_n} =d<1</math>.

			*לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n]{a_n}<\frac{1-d}{2}<1</math>

			*לכן <math>a_n<\Big(\frac{1-d}{2}\Big)^n</math>

			*אבל <math>\sum \Big(\frac{1-d}{2}\Big)^n</math> הוא טור הנדסי מתכנס

			*לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.



			הטורים <math>\sum\frac{1}{n},\sum\frac{1}{n^2}</math> הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.