מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־18:35, 12 בנובמבר 2016

2016-11-12T18:35:40Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:35, 12 בנובמבר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	==אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון==		==אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון==
	===מבחן ההשוואה הראשון===		===מבחן ההשוואה הראשון===
	יהי <math>a\in\R</math>, ותהי נקודה <math>c\ge a</math> כך שמתקיים <math>\forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\~~ge 0~~</math>.		יהי <math>a\in\R</math> , ותהי נקודה <math>c\ge a</math> כך שמתקיים <math>\forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge0</math> .

	אזי מתקיים:		אזי מתקיים:

	<math>\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס		<math>\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad\Leftarrow\quad</math> מתכנס

	<math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתבדר <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתבדר		<math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתבדר <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad\Leftarrow\quad</math> מתבדר

	<font size=4 color=#a7adcd>		<font size=4 color=#a7adcd>'''דוגמא'''</font>
	'''דוגמא.'''
	</font>

	קבע האם <math>\displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx</math> מתכנס או מתבדר		קבע האם <math>\displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx</math> מתכנס או מתבדר

	~~'''~~פתרון~~.'''~~		;פתרון
	נשים לב כי <math>\arctan(x)</math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:		נשים לב כי <math>\arctan(x)</math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

	<math>\forall\ x>1 : \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0</math> ולכן <math>\forall\ x>1:\frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>		<math>\forall\ x>1:\arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0</math> ולכן <math>\forall\ x>1:\frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>

	<math>\int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\~~frac1x~~ dx</math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.		<math>\int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx=\frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac{dx}{x}</math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

	===מבחן ההשוואה הגבולי===		===מבחן ההשוואה הגבולי===
	יהי <math>a\in\R</math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x),g(x)</math> כך ש: <math>\forall\ x\ge a:f(x),g(x)>0</math>		יהי <math>a\in\R</math> , ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x),g(x)</math> כך ש: <math>\forall\ x\ge a:f(x),g(x)>0</math>

	יהי הגבול:		יהי הגבול <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
	<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>

	'''אזי:'''		'''אזי:'''

	אם <math>L>0 , L\in\R</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").		אם <math>L>0,L\in\R</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

	אם <math>L=0</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס.		אם <math>L=0</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס.

יהודה שמחה ב־22:07, 27 בינואר 2016

2016-01-27T22:07:32Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:07, 27 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון==		==אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון==
	===מבחן ההשוואה הראשון===		===מבחן ההשוואה הראשון===
	יהי <math> a \in \~~mathbb{~~R} </math>, ותהי ~~נק'~~ <math> c\~~geq~~ a </math> כך שמתקיים <math> \~~forall_{~~x\~~geq~~ c} : g(x)\~~geq~~ f(x)\~~geq~~ 0 </math>.		יהי <math>a\in\R</math>, ותהי נקודה <math>c\ge a</math> כך שמתקיים <math>\forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge 0</math>.

	אזי מתקיים:		אזי מתקיים:

	<math> \~~int_a~~^{\infty} g(x)~~\mathrm{d}x~~ </math> מתכנס <math> \~~int_a~~^{\infty} f(x)\~~mathrm{d}x~~ \Leftarrow</math> מתכנס		<math>\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס

	<math> \~~int_a~~^{\infty} f(x)~~\mathrm{d}x~~ </math> מתבדר <math> \~~int_a~~^{\infty} g(x)\~~mathrm{d}x~~ \Leftarrow</math> מתבדר		<math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתבדר <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתבדר

	<font size=4 color=#a7adcd>		<font size=4 color=#a7adcd>
שורה 13:		שורה 13:
	</font>		</font>

	קבע האם <math> \~~int_1~~^\infty \frac{\arctan(x)}{x} ~~\mathrm{d}x~~ </math> מתכנס או מתבדר		קבע האם <math>\displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx</math> מתכנס או מתבדר

	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''
	נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:		נשים לב כי <math>\arctan(x)</math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

	<math> \~~forall_{~~x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \~~forall_{~~x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>		<math>\forall\ x>1 : \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0</math> ולכן <math>\forall\ x>1:\frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>

	<math> \~~int_1~~^\infty \frac{\pi}{4x}~~\mathrm{d}x~~= \frac{\pi}{4} \~~int_1~~^\infty \frac1x ~~\mathrm{d}x~~ </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.		<math>\int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac1x dx</math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

	===מבחן ההשוואה הגבולי===		===מבחן ההשוואה הגבולי===
			יהי <math>a\in\R</math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x),g(x)</math> כך ש: <math>\forall\ x\ge a:f(x),g(x)>0</math>
	יהי <math> a \in \~~mathbb{~~R} </math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x), g(x)</math> כך ש:
	<math>\~~forall_{~~x\~~geq~~ a}:f(x),g(x)>0</math>

	יהי הגבול:		יהי הגבול:
	<math>\~~lim_~~{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>		<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>

	'''אזי:'''		'''אזי:'''

	אם <math>L>0 , L\in\~~mathbb{~~R}</math> אז <math>\~~int_a~~^\infty f(x)~~\mathrm{d}x~~</math> ו- <math>\~~int_a~~^\infty g(x)~~\mathrm{d}x~~</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").		אם <math>L>0 , L\in\R</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

	~~אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.~~

	~~אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס~~.

			אם <math>L=0</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס.

			אם <math>L=\infty</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס.

	===דוגמאות===		===דוגמאות===
	[[מדיה:GeneralIntegration.pdf\|דוגמאות]]		[[מדיה:GeneralIntegration.pdf\|דוגמאות]]

ארז שיינר ב־12:38, 3 ביוני 2013

2013-06-03T12:38:33Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:38, 3 ביוני 2013
שורה 37:		שורה 37:

	אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.		אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.



			===דוגמאות===
			[[מדיה:GeneralIntegration.pdf\|דוגמאות]]

Ofekgillon10 ב־17:11, 17 במאי 2013

2013-05-17T17:11:56Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:11, 17 במאי 2013
שורה 25:		שורה 25:

	יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x), g(x)</math> כך ש:		יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x), g(x)</math> כך ש:
	<math>\forall_{x>=a}:f(x),g(x)>0</math>		<math>\forall_{x\geq a}:f(x),g(x)>0</math>

	יהי הגבול:		יהי הגבול:

Ofekgillon10 ב־12:00, 11 במאי 2013

2013-05-11T12:00:15Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:00, 11 במאי 2013
שורה 5:		שורה 5:
	אזי מתקיים:		אזי מתקיים:

	<math> \int_a^{\infty} g(x)dx </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס		<math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס

	<math> \int_a^{\infty} f(x)dx </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)dx \Leftarrow</math> מתבדר		<math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתבדר

	<font size=4 color=#a7adcd>		<font size=4 color=#a7adcd>
שורה 13:		שורה 13:
	</font>		</font>

	קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} dx </math> מתכנס או מתבדר		קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x </math> מתכנס או מתבדר

	'''פתרון.'''		'''פתרון.'''
שורה 20:		שורה 20:
	<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>		<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>

	<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.		<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

	===מבחן ההשוואה הגבולי===		===מבחן ההשוואה הגבולי===
שורה 32:		שורה 32:
	'''אזי:'''		'''אזי:'''

	אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").		אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

	אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס.		אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.

	אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס.		אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.

Ofekgillon10 ב־08:43, 11 במאי 2013

2013-05-11T08:43:44Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:43, 11 במאי 2013
שורה 21:		שורה 21:

	<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.		<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

			===מבחן ההשוואה הגבולי===

			יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x), g(x)</math> כך ש:
			<math>\forall_{x>=a}:f(x),g(x)>0</math>

			יהי הגבול:
			<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>

			'''אזי:'''

			אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

			אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס.

			אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס.

Ofekgillon10: יצירת דף עם התוכן "==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון== ===מבחן ההשוואה הראשון=== יהי $a \in \mathbb{R}$ , ותהי נק'
2013-05-10T22:08:19Z

יצירת דף עם התוכן "==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון== ===מבחן ההשוואה הראשון=== יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <ma..."

דף חדש
==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון==
===מבחן ההשוואה הראשון===
יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <math> c\geq a </math> כך שמתקיים <math> \forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0 </math>.

אזי מתקיים:

<math> \int_a^{\infty} g(x)dx </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)dx \Leftarrow</math> מתכנס

<math> \int_a^{\infty} f(x)dx </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)dx \Leftarrow</math> מתבדר

<font size=4 color=#a7adcd>
'''דוגמא.'''
</font>

קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} dx </math> מתכנס או מתבדר

'''פתרון.'''
נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>

<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x dx </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.