מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/11 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* הצבה ההופכת אינטגרל כללי לפולינום חלקי פולינום */

2012-08-23T12:24:11Z

הצבה ההופכת אינטגרל כללי לפולינום חלקי פולינום

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:24, 23 באוגוסט 2012
שורה 109:		שורה 109:


	::<math>\int\frac{dt}{t+1-t^2}</math>		::<math>\int\frac{dt}{t+1-2t^2}</math>


	(השתמשנו בזהות הטריגונומטרית <math>cos(2x)=1-2sin^2(x)</math>)		(השתמשנו בזהות הטריגונומטרית <math>cos(2x)=1-2sin^2(x)</math>)

ארז שיינר: /* פירוק לשברים חלקיים */

2012-08-23T12:23:10Z

פירוק לשברים חלקיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:23, 23 באוגוסט 2012
שורה 91:		שורה 91:

	::<math>\int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx=\int\Big(\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}\Big)dx= A\cdot ln(x) +B\cdot ln(x-1) + C\cdot ln(x-2) + D </math>		::<math>\int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx=\int\Big(\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}\Big)dx= A\cdot ln(x) +B\cdot ln(x-1) + C\cdot ln(x-2) + D </math>


			==הצבה ההופכת אינטגרל כללי לפולינום חלקי פולינום==

			ראינו במקרה מסויים כיצד לפתור אינטגרל של פולינום חלק פולינום, בהמשך התואר נלמד את שאר המקרים. מסתבר שניתן לפתור אינטגרל כזה אם יודעים לפרק לגורמים את הפולינום במכנה.

			לכן אנו מתעניינים בהצבות אשר מעבירות אינטגרל כללי לצורה של פולינום חלק פולינום.


			'''דוגמא:'''


			::<math>\int\frac{cos(x)dx}{sin(x)+cos(2x)}</math>


			נבצע את ההצבה <math>t=sin(x)</math> לקבל


			::<math>\int\frac{dt}{t+1-t^2}</math>


			(השתמשנו בזהות הטריגונומטרית <math>cos(2x)=1-2sin^2(x)</math>)

ארז שיינר: /* פירוק לשברים חלקיים */

2012-08-23T12:07:12Z

פירוק לשברים חלקיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:07, 23 באוגוסט 2012
שורה 71:		שורה 71:

	::<math>\frac{1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-1)(x-2) +Bx(x-2) + Cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)}</math>		::<math>\frac{1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-1)(x-2) +Bx(x-2) + Cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)}</math>


			נשווה את המונים בין שני השברים כיוון שהמכנים שווים:


			::<math>1 = (A+B+C)x^2 + (-3A-2B-C)x + 2A</math>


			ולכן מהשוואת המקדמים של החזקות השונות של x מקבלים את המשוואות הבאות:


			::<math>A+B+C=0</math>
			::<math>-3A-2B-C=0</math>
			::<math>2A=1</math>


			לאחר חישוב הקבועים אנו יכולים לחשב את האינטגרל.


			::<math>\int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx=\int\Big(\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}\Big)dx= A\cdot ln(x) +B\cdot ln(x-1) + C\cdot ln(x-2) + D </math>

ארז שיינר: /* חילוק פולינומים */

2012-08-23T11:58:10Z

חילוק פולינומים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:58, 23 באוגוסט 2012
שורה 54:		שורה 54:

	ביחד מתקיים: <math>x^3-4x^2+2x+1=(x-1)(x^2-3x-1)</math>		ביחד מתקיים: <math>x^3-4x^2+2x+1=(x-1)(x^2-3x-1)</math>


			==פירוק לשברים חלקיים==

			חשב את האינטגרל <math>\int\frac{1}{x(x-1)(x-2)}dx</math>


			על מנת לחשב את האינטגרל נפרק לשברים חלקיים:


			::<math>\frac{1}{x(x-1)(x-2)}= \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}</math>


			נבצע מכנה משותף


			::<math>\frac{1}{x(x-1)(x-2)}=\frac{A(x-1)(x-2) +Bx(x-2) + Cx(x-1)}{x(x-1)(x-2)}</math>

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה למערכי השיעור ==פירוק פולינומים== לכל פולינום $..."$

2012-08-23T11:54:40Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה למערכי השיעור ==פירוק פולינומים== לכל פולינום <math>..."

דף חדש

[[מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור|חזרה למערכי השיעור]]

==פירוק פולינומים==

לכל פולינום <math>p(x)</math>, אם <math>p(a)=0</math> אזי הפולינום מתחלק ב<math>(x-a)</math>

'''פירוק פולינום ריבועי''':

::<math>ax^2+bx+c = a\Big(x-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big)\Big(x-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\Big)</math>

לפולינומים אחרים נשתמש בנוסחאות כפל מקוצר או '''ננחש שורש''', ואם נצליח נחלק בו.

'''דוגמא''':

<math>x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)</math>

==חילוק פולינומים==

נביט בפולינום <math>p(x)=x^3-4x^2+2x+1</math> ונשים לב כי <math>p(1)=0</math> ולכן נחלק ב<math>x-1</math>

'''אלגוריתם לחילוק פולינומים'''

א. חלק את המונום הגבוה של הפולינום המחולק במונום הגבוה של הפולינום המחלק

:::<math>\frac{x^3}{x}=x^2</math>

ב. כפול את התוצאה בפולינום המחלק, וחסר מהפולינום המחולק

:<math>x^3-4x^2+2x+1 - x^2[x-1]= -3x^2+2x+1</math>

ג. חזור לשלב א' כאשר הפולינום המחולק הוא התוצאה מסעיף ב'. סכום חלוקות המונומים מסעיף א' הוא המנה

:::<math>\frac{-3x^2}{x}=-3x</math>

:<math>-3x^2+2x+1 - (-3x)[x-1]= -x+1</math>

:::<math>\frac{-x}{x}=-1</math>

:<math>-x+1 - (-1)[x-1] = 0</math>

ביחד מתקיים: <math>x^3-4x^2+2x+1=(x-1)(x^2-3x-1)</math>

מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/11 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* הצבה ההופכת אינטגרל כללי לפולינום חלקי פולינום */

ארז שיינר: /* פירוק לשברים חלקיים */

ארז שיינר: /* פירוק לשברים חלקיים */

ארז שיינר: /* חילוק פולינומים */

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה למערכי השיעור ==פירוק פולינומים== לכל פולינום ..."

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה למערכי השיעור ==פירוק פולינומים== לכל פולינום $..."$