מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/4 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* מספרים מרוכבים */

2022-08-11T12:04:48Z

מספרים מרוכבים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:04, 11 באוגוסט 2022
שורה 42:		שורה 42:
	==מספרים מרוכבים==		==מספרים מרוכבים==

	~~נביט באוסף האיברים מהצורה~~		ראו את תת הפרק על המספרים המרוכבים, בפרק על שדות מהקורס אלגברה לינארית [[אלגברה לינארית - ארז שיינר#שדה המרוכבים\|בקישור הבא]].

	~~::<math>a+b\cdot i</math>~~


	~~כאשר <math>a,b\in\mathbb{R}</math> והאות i הינה לצורך סימון בלבד. נקרא לאוסף זה '''מספרים מרוכבים'''.~~		'''תרגיל''' חשבו את <math>z\cdot \overline{z}</math>


	~~נגדיר פעולות חיבור וכפל בין מספרים מרוכבים:~~


	~~::<math>(a+b\cdot i) + (c + d\cdot i) = (a+c) + (b+d)\cdot i</math>~~


	~~::<math>(a+b\cdot i)(c+d\cdot i) = (ac-bd) + (bc+ad)\cdot i</math>~~



	~~שימו לב כי <math>i^2 = -1</math>~~



	~~בנוסף לכל מספר מרוכב <math>z=a+bi</math> נגדיר את '''הצמוד המרוכב''':~~

	~~::<math>\overline{z}=a-bi</math>~~



	'''תרגיל''' ~~חשב~~ את <math>z\cdot \overline{z}</math>

	'''פתרון''' <math>z\cdot \overline{z} = a^2+b^2</math>		'''פתרון''' <math>z\cdot \overline{z} = a^2+b^2</math>
שורה 79:		שורה 55:


	'''תרגיל''' ~~הוכח~~ שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>z^{-1}</math> כך ש <math>z\cdot z^{-1} = 1</math>.		'''תרגיל''' הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>z^{-1}</math> כך ש <math>z\cdot z^{-1} = 1</math>.

	'''פתרון''': <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{\|z\|^2}</math>		'''פתרון''': <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{\|z\|^2}</math>
שורה 89:		שורה 65:


	'''תרגיל''' ~~חשב~~ את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>		'''תרגיל''' חשבו את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>


שורה 108:		שורה 84:


	'''תרגיל''': ~~הוכח~~ כי <math>\|z\|\geq \|Re(z)\|</math>		'''תרגיל''': הוכיחו כי <math>\|z\|\geq \|Re(z)\|</math>


	~~'''תרגיל''': הוכח את '''אי-שיוויון המשולש''' <math>\|z_1+z_2\|\leq \|z_1\|+\|z_2\|</math>~~

			'''תרגיל''': הוכיחו את '''אי-שיוויון המשולש''' <math>\|z_1+z_2\|\leq \|z_1\|+\|z_2\|</math>

	==המישור המרוכב==		==המישור המרוכב==

ארז שיינר: /* המישור המרוכב */

2020-06-21T07:38:42Z

המישור המרוכב

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:38, 21 ביוני 2020
שורה 129:		שורה 129:
	::<math>r=\|z\|</math>		::<math>r=\|z\|</math>

			::אם <math>a>0</math> אזי <math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)</math>
	::<math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)</math>		::אם <math>a<0</math>אזי <math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)+\pi</math>
			::אם <math>a=0</math> וגם <math>b>0</math> אזי <math>\varphi=\frac{\pi}{2}</math>
			::אם <math>a=0</math> וגם <math>b<0</math> אזי <math>\varphi=-\frac{\pi}{2}</math>

ארז שיינר: /* פונקציות טריגונומטריות הופכיות */

2014-08-07T11:49:13Z

פונקציות טריגונומטריות הופכיות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:49, 7 באוגוסט 2014
שורה 12:		שורה 12:


	::<math>arctan(x):[-\infty,\infty]\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>		::<math>arctan(x):(-\infty,\infty)\rightarrow [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]</math>



	'''תרגיל''': הוכח כי <math>sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}</math>		'''תרגיל''': הוכח כי <math>sin\Big(arccos(x)\Big)=\sqrt{1-x^2}</math>


	==תרגילים==		==תרגילים==

ארז שיינר: /* המישור המרוכב */

2012-08-08T07:34:36Z

המישור המרוכב

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:34, 8 באוגוסט 2012
שורה 118:		שורה 118:

	[[תמונה:complex_plane.png\|ימין\|400px]]		[[תמונה:complex_plane.png\|ימין\|400px]]


			כל מספר מרוכב <math>a+bi</math> מתאים לנקודה <math>(a,b)</math> במישור המרוכב.

			ניתן לתאר את המספר המרוכב באופן יחיד באמצעות המרחק מראשית הצירים וזוית כלפי ציר האיקס.


			מתקיים:


			::<math>r=\|z\|</math>


			::<math>\varphi = arctan\Big(\frac{b}{a}\Big)</math>


			::<math>z=a+bi=r(cos(\varphi) + i\cdot sin(\varphi)) = rcis(\varphi)</math>



			הצורה <math>rcis(\varphi)</math> נקראת ה'''צורה הפולארית''' של המספר המרוכב, ואילו <math>a+bi</math> היא הצורה '''הקרטזית'''.

ארז שיינר: /* מספרים מרוכבים */

2012-08-08T07:23:01Z

מספרים מרוכבים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:23, 8 באוגוסט 2012
שורה 113:		שורה 113:

	'''תרגיל''': הוכח את '''אי-שיוויון המשולש''' <math>\|z_1+z_2\|\leq \|z_1\|+\|z_2\|</math>		'''תרגיל''': הוכח את '''אי-שיוויון המשולש''' <math>\|z_1+z_2\|\leq \|z_1\|+\|z_2\|</math>


			==המישור המרוכב==

			[[תמונה:complex_plane.png\|ימין\|400px]]

ארז שיינר: /* מספרים מרוכבים */

2012-08-08T07:20:22Z

מספרים מרוכבים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:20, 8 באוגוסט 2012
שורה 80:		שורה 80:


	'''תרגיל''' הוכח שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>w</math> כך ש <math>z\cdot w = 1</math>.		'''תרגיל''' הוכח שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>z^{-1}</math> כך ש <math>z\cdot z^{-1} = 1</math>.

	'''פתרון''': <math>w=\frac{\overline{z}}{\|z\|^2}</math>		'''פתרון''': <math>z^{-1}=\frac{\overline{z}}{\|z\|^2}</math>


שורה 89:		שורה 89:



			'''תרגיל''' חשב את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>




			'''הגדרה''': עבור מספר מרוכב <math>z=a+bi</math>

			::החלק הממשי <math>Re(z)=a</math>

			::החלק המדומה <math>Im(z)=b</math>


			לדוגמא:


			<math>Im(a-bi) = -b</math>



			'''תרגיל''': הוכח כי <math>\|z\|\geq \|Re(z)\|</math>


	'''תרגיל''' ~~חשב~~ את ~~הביטוי~~ <math>\~~frac{5~~+~~2i}{2-3i}~~</math>		'''תרגיל''': הוכח את '''אי-שיוויון המשולש''' <math>\|z_1+z_2\|\leq \|z_1\|+\|z_2\|</math>

ארז שיינר: /* מספרים מרוכבים */

2012-08-08T06:57:26Z

מספרים מרוכבים

@@ שורה 62: / שורה 62: @@
 שימו לב כי <math>i^2 = -1</math>
 '''תרגיל''' הוכח שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>w</math> כך ש <math>z\cdot w = 1</math>.
-::הערה: באופן כללי נסמן <math>w=\frac{1}{z}</math>
+'''פתרון''': <math>w=\frac{\overline{z}}{|z|^2}</math>
 '''תרגיל''' חשב את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>

ארז שיינר: /* מספרים מרוכבים */

2012-08-08T06:50:11Z

מספרים מרוכבים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:50, 8 באוגוסט 2012
שורה 62:		שורה 62:

	שימו לב כי <math>i^2 = -1</math>		שימו לב כי <math>i^2 = -1</math>


			'''תרגיל''' הוכח שלכל מספר מרוכב <math>z</math> קיים מספר מרוכב <math>w</math> כך ש <math>z\cdot w = 1</math>.

			::הערה: באופן כללי נסמן <math>w=\frac{1}{z}</math>


			'''תרגיל''' חשב את הביטוי <math>\frac{5+2i}{2-3i}</math>

ארז שיינר: /* תרגילים */

2012-08-08T06:42:27Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:42, 8 באוגוסט 2012
שורה 39:		שורה 39:

	*<math>\sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 < 0</math>		*<math>\sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 < 0</math>


			==מספרים מרוכבים==

			נביט באוסף האיברים מהצורה

			::<math>a+b\cdot i</math>


			כאשר <math>a,b\in\mathbb{R}</math> והאות i הינה לצורך סימון בלבד. נקרא לאוסף זה '''מספרים מרוכבים'''.


			נגדיר פעולות חיבור וכפל בין מספרים מרוכבים:


			::<math>(a+b\cdot i) + (c + d\cdot i) = (a+c) + (b+d)\cdot i</math>


			::<math>(a+b\cdot i)(c+d\cdot i) = (ac-bd) + (bc+ad)\cdot i</math>



			שימו לב כי <math>i^2 = -1</math>

ארז שיינר: /* תרגילים */

2012-08-08T06:21:39Z

תרגילים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:21, 8 באוגוסט 2012
שורה 36:		שורה 36:

	*<math>sin(2x) < 2sin(x)</math>		*<math>sin(2x) < 2sin(x)</math>


			*<math>\sqrt{2}sin^2(x)-(\sqrt{2}+1)sin(x)+1 < 0</math>