מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון דוגמא 1 - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־17:55, 16 בפברואר 2017

2017-02-16T17:55:30Z

ארז שיינר: /* סיכום התוצאות */

2012-08-08T05:36:24Z

סיכום התוצאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:36, 8 באוגוסט 2012
שורה 145:		שורה 145:


	* <math>x~~\leq~~\frac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>		* <math>x<\frac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>

ארז שיינר: /* פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים */

2012-08-08T05:35:57Z

פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־05:35, 8 באוגוסט 2012
שורה 128:		שורה 128:
	ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:		ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:

	::<math>-1<x~~\leq~~\frac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>		::<math>-1<x<\frac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>


	ואילו ערכי x בתחום שאינם מקיימים את אי השיוויון הינם:		ואילו ערכי x בתחום שאינם מקיימים את אי השיוויון הינם:

	::<math>\frac{5-\sqrt{17}}{-2}<x<1</math>		::<math>\frac{5-\sqrt{17}}{-2}\leq x<1</math>



	===סיכום התוצאות===		===סיכום התוצאות===

ארז שיינר ב־07:33, 3 באוגוסט 2012

2012-08-03T07:33:47Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:33, 3 באוגוסט 2012
שורה 128:		שורה 128:
	ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:		ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:

	::<math>-1<x\leq\frac{5-\sqrt{17}}{2}</math>		::<math>-1<x\leq\frac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>


	ואילו ערכי x בתחום שאינם מקיימים את אי השיוויון הינם:		ואילו ערכי x בתחום שאינם מקיימים את אי השיוויון הינם:

	::<math>\frac{5-\sqrt{17}}{2}<x<1</math>		::<math>\frac{5-\sqrt{17}}{-2}<x<1</math>


שורה 147:		שורה 147:


	* <math>~~x\leq -1</math>~~		* <math>x\leq\frac{5-\sqrt{17}}{-2}</math>



	* <math>-1<x\leq\frac{5-\sqrt{17}}{2}</math>

ארז שיינר ב־07:29, 3 באוגוסט 2012

2012-08-03T07:29:18Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:29, 3 באוגוסט 2012
שורה 112:		שורה 112:

	::<math>1\leq x < 2</math>		::<math>1\leq x < 2</math>



			נסיים במקרה הנותר:


			*עבור <math>-1<x<1</math> אי השיוויון נראה כך:


			::<math>-x^2+1-x+2>4x+5</math>

			::<math>-x^2-5x-2 > 0</math>


			ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:

			::<math>-1<x\leq\frac{5-\sqrt{17}}{2}</math>


			ואילו ערכי x בתחום שאינם מקיימים את אי השיוויון הינם:

			::<math>\frac{5-\sqrt{17}}{2}<x<1</math>



			===סיכום התוצאות===

			אי השיוויון מתקים עבור ערכי x הבאים:



			* <math>x> \frac{3+\sqrt{41}}{2}</math>



			* <math>x\leq -1</math>



			* <math>-1<x\leq\frac{5-\sqrt{17}}{2}</math>

ארז שיינר ב־07:16, 3 באוגוסט 2012

2012-08-03T07:16:49Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:16, 3 באוגוסט 2012
שורה 88:		שורה 88:

	::<math>2\leq x \leq \frac{3+\sqrt{41}}{2} </math>		::<math>2\leq x \leq \frac{3+\sqrt{41}}{2} </math>





	כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:		כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:


			*עבור <math>1\leq x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math> אי השיוויון נראה כך:


			::<math>x^2-1-(x-2)>4x+5</math>

			::<math>x^2-5x-4>0</math>


			מסתבר שערכי x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון הם:

			::<math>x\leq -1</math>


			ואילו ערכי x שנמצאים בתחום ואינם מקיימים את אי השיוויון הם:

			::<math>1\leq x < 2</math>

ארז שיינר: /* פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים */

2012-08-03T07:09:48Z

פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:09, 3 באוגוסט 2012
שורה 77:		שורה 77:

	::<math>\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}</math>		::<math>\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}</math>


			ערכי x אשר מתקיים את שתי אי השיוויונים לעיל הם

			::<math>x> \frac{3+\sqrt{41}}{2}</math>



			לכן ערכי x אשר '''גם''' נמצאים בתחום ו'''גם אינם''' מקיימים את אי השיוויון הם

			::<math>2\leq x \leq \frac{3+\sqrt{41}}{2} </math>



			כלומר, בתוך התחום בו אנו עוסקים כעת, אנו יודעים '''בדיוק''' מתי מתקיים אי השיוויון ומתי אינו מתקיים. נמשיך אל התחומים הבאים:

ארז שיינר ב־07:04, 3 באוגוסט 2012

2012-08-03T07:04:24Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:04, 3 באוגוסט 2012
שורה 16:		שורה 16:


			===חלוקה למקרים===
	ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:		ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:

שורה 57:		שורה 58:

	מתקיים <math>x^2-1< 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>		מתקיים <math>x^2-1< 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>



			===פתרון אי השיוויון בכל אחד מן המקרים===
			נבדוק עבור אילו ערכי x מתוך כל אחד מהמקרים לעיל מתקיים אי השיוויון.


			*עבור <math>x\geq 2</math> אי השיוויון נראה כך:


			::<math>x^2-1+x-2>4x+5</math>

			::<math>x^2-3x-8>0</math>


			נמצא מהם ערכי x ש'''גם''' נמצאים בתחום אותו אנו בודקים ו'''גם''' מקיימים את אי השיוויון:


			::<math>\begin{cases}x\geq 2 \\ x^2-3x-8>0\end{cases}</math>

ארז שיינר ב־06:57, 3 באוגוסט 2012

2012-08-03T06:57:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:57, 3 באוגוסט 2012
שורה 19:		שורה 19:


	~~===~~1~~===~~		*<math>x^2-1\geq 0</math>
	<math>x^3-1\geq 0</math> ~~אם"ם~~ <math>x\geq 1</math> '''או''' <math>x \leq -1</math>
			אם ורק אם:

			<math>x\geq 1</math> '''או''' <math>x \leq -1</math>


			*<math>x-2\geq 0</math>

			אם ורק אם:

			<math>x\geq 2</math>




			ביחד אנו מקבלים את המקרים הבאים:

			*עבור <math>x\geq 2</math>


			מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2\geq 0</math>




			*עבור <math>1\leq x < 2</math> '''או''' <math>x\leq -1</math>


			מתקיים <math>x^2-1\geq 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>




			*עבור <math>-1<x<1</math>


			מתקיים <math>x^2-1< 0</math> '''וגם''' <math>x-2< 0</math>

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה לתרגיל '''דוגמא''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי ..."

2012-08-03T06:49:20Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה לתרגיל '''דוגמא''': מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי ..."

דף חדש

[[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1|חזרה לתרגיל]]

'''דוגמא''':

מצא עבור אילו ערכי x מתקיים אי השיוויון הבא:

*<math>|x^2-1| + |x-2|>4x+5</math>

'''פתרון''':

על מנת לפתור את אי השיוויון נחלק את האפשרויות של המשתנה x למקרים שונים בהם אנחנו יודעים עבור כל אחד מהביטויים בתוך ערך מוחלט אם הוא חיובי או שלילי.

בכל אחד מהמקרים שנקבל, נוכל לדעת האם אפשר להסיר את הערך המוחלט או להחליף אותו בסימן מינוס.

ראשית, נבדוק עבור כל אחד מהביטויים מתחת לערך המוחלט, בנפרד, מתי הם שליליים ומתי הם חיוביים:

===1===
<math>x^3-1\geq 0</math> אם"ם <math>x\geq 1</math> '''או''' <math>x \leq -1</math>