מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1 - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־18:46, 18 במאי 2017

2017-05-18T18:46:15Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:46, 18 במאי 2017
שורה 115:		שורה 115:

	*<math>\|x^2-4x-3\|+\|x-1\|+\|x-2\|>2x</math>		*<math>\|x^2-4x-3\|+\|x-1\|+\|x-2\|>2x</math>
	הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים:		הביטוי הריבועי מתאפס ב- <math>x=2\pm\sqrt7</math> . נחלק למקרים:

	<math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math>		<math>x\le2-\sqrt7</math> : <math>x<0</math> או <math>x>8</math> לכן סה"כ <math>x\le2-\sqrt7</math>
שורה 140:		שורה 140:
	נפריד למקרים:		נפריד למקרים:

	<math>x<0</math> : במקרה זה אי השוויון הוא <math>-x + x ~~<=0~~</math> והוא תמיד מתקיים		<math>x<0</math> : במקרה זה אי-השוויון הוא <math>-x + x\le0</math> והוא תמיד מתקיים

	<math>0 \~~leq~~ x \~~leq 1~~</math> : אי השוויון הוא <math>x+x~~<=0~~</math> והוא מתקיים עבור <math>x~~<=0~~</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math>		<math>0\le x\le1</math> : אי-השוויון הוא <math>x+x\le0</math> והוא מתקיים עבור <math>x\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x=0</math>

	<math>1 ~~< x~~</math> : אי השוויון הוא <math>x-1\~~leq 0~~</math> לכן הפתרון הוא <math>x\~~leq 1~~</math> ולכן אין פתרון		<math>x>1</math> : אי-השוויון הוא <math>x-1\le0</math> לכן הפתרון הוא <math>x\le1</math> ולכן אין פתרון

	פתרון: <math>x \~~leq 0~~</math>		פתרון: <math>x\le0</math>


	* <math>f(x+1)>0</math>		*<math>f(x+1)>0</math>
	<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>		<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math>

	נפריד למקרים:		נפריד למקרים:

	<math>x>-1</math> : אי השוויון הוא <math>(x+1)^2 > 0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math>		<math>x>-1</math> : אי-השוויון הוא <math>(x+1)^2>0</math> וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל <math>x>-1</math>

	<math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון		<math>x=-1</math> : ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון

	<math>x<-1</math> : אי השוויון הוא <math>-(x+1)^2 > 0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום		<math>x<-1</math> : אי-השוויון הוא <math>-(x+1)^2>0</math> וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום

	פתרון: <math>x > -1</math>		פתרון: <math>x>-1</math>


	* <math>g\big(f(x)\~~Big~~) \~~geq 0~~</math>		*<math>g\big(f(x)\big)\ge0</math>
	נשים לב שמתקיים: <math>g(x) \~~geq 0~~</math> לכל x:		נשים לב שמתקיים: <math>g(x)\ge0</math> לכל <math>x</math> :

	<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math>		<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math>

	<math>0 \~~leq~~ x \~~leq 1~~</math> : <math>g(x) = 2x \~~geq 0~~</math>		<math>0\le x\le1</math> : <math>g(x)=2x\ge0</math>

	<math>x > 1</math> : <math>g(x) = x-1 \~~geq 0~~</math>		<math>x>1</math> : <math>g(x)=x-1\ge0</math>

	לכן גם מתקיים <math>g(f(x)) \~~geq 0~~ </math> לכל x		לכן גם מתקיים <math>g\big(f(x)\big)\ge0</math> לכל <math>x</math>


	* <math>f(x+1) +g(x-1) > x</math>		*<math>f(x+1)+g(x-1)>x</math>

	::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>		::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2&x>-1\\0&x=-1\\-(x+1)^2&x<-1\end{cases}</math>
			::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2&x>2\\2x-2&1\le x\le2\\0&x<1\end{cases}</math>

	::<math>g(x-1)=~~\begin{cases}~~x-2 & x>~~2 \\ 2x~~-~~2 & 1~~ \~~leq x~~ \~~leq~~ 2 ~~\\ 0 &~~ x < 1~~\end{cases}~~</math>		<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}<x<-1</math>

	<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-~~(x+~~1~~)^2>x~~</math> . ~~הפתרון הוא <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1</math>~~		<math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> לכן זה פתרון.

	<math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> ~~לכן זה פיתרון~~.		<math>-1<x<1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2>x</math> . נכון לכל <math>x</math> .

	<math>-1 < x ~~< 1~~</math> : <math>f(x+1)+g(x-1) = (x+1)^2>x</math> . ~~נכון לכל x.~~		<math>1\le x\le2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+2x-2>x</math> . כל התחום הוא פתרון

	<math>~~1 \leq~~ x ~~\leq~~ 2</math> : <math>f(x+1) + g(x-1) = (x+1)^2+2x-2 > x</math> . כל התחום הוא פתרון		<math>x>2</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון

	<math>2<x~~</math> : <math~~>~~f(x+1)+g(x~~-~~1)=(x~~+~~1)^~~2~~+x-2>x~~</math> ~~. גם כאן כל התחום הוא פתרון~~		פתרון: <math>x>-\dfrac{3+\sqrt5}{2}</math>

	~~פתרון: <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x </math>~~

			*<math>\|g(x^2)-f(x)\|<x</math>
			::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1&x<-1\or1<x\\2x^2&-1\le x\le1\end{cases}</math>

	*<math>~~\|g(~~x~~^2)~~-~~f(x)\| < x~~</math>		<math>x<-1</math> : <math>\|g(x^2)-f(x)\|=\|x^2-1+x^2\|=\|2x^2-1\|<x</math> .
	::<math>g(x^2)=~~\begin{cases}~~x^2-1 & x~~<-1 \vee 1<x \\~~ 2x^2 & -1 ~~\leq~~ x ~~\leq 1 \end{cases}~~</math>

	~~<math>x<-1</math> : <math>\|g(x^2)-f(x)\|=\|x^2-1+x^2\|=\|2x^2-1\|<x</math> . בגלל~~ שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי ~~בערך המוחלט~~ תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> . ~~לאי שוויון זה אין פתרון בתחום~~		כיון שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> .

	<math>-1 \~~leq~~ x < 0</math> : נקבל <math>\|2x^2+x^2\|=\|3x^2\|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום		לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום <math>-1\le x<0</math> . נקבל <math>\|2x^2+x^2\|=\|3x^2\|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום <math>x=0</math> . נציב ונקבל שזה לא פתרון

	<math>x = 0</math> ~~: נציב ונקבל שזה לא פתרון~~		<math>0<x\le1</math> : נקבל <math>\|2x^2-x^2\|=x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math>

	<math>~~0 <~~ x ~~\leq~~ 1 </math> : נקבל <math>\|2x^2-x^2\|=~~x^2~~<x</math> והפתרון הוא ~~<math>0<x<1</math>~~		<math>x>1</math> : נקבל <math>\|x^2-1-x^2\|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום

	~~<math>1<x</math> : נקבל <math>\|x^2-1-x^2\|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום~~

			פתרון: <math>0<x<1</math> או <math>x>1</math>
	פתרון: <math>0 < x < 1 </math> או <math>1 ~~< x~~</math>

יהודה שמחה ב־22:05, 16 בפברואר 2017

2017-02-16T22:05:14Z

הצגת שינויים

יהודה שמחה ב־18:04, 16 בפברואר 2017

2017-02-16T18:04:03Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:04, 16 בפברואר 2017
שורה 1:		שורה 1:
	==1==		==1==
	*<math>x^2+2x+1\~~leq 0~~</math>		*<math>x^2+2x+1\le0</math>
	נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: <math>x^2+2x+1 = 0</math>.		נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס: <math>x^2+2x+1=0</math> .

	לפי ~~נוסחה~~ נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math>.		לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד <math>x=-1</math> .

	המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב<math>-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף x).		המקדם של <math>x^2</math> חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- <math>x=-1</math> וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף <math>x</math>).

	פתרון: <math>x=-1</math>		פתרון: <math>x=-1</math>


	*<math>(1-x)(x+6)> 0</math>		*<math>(1-x)(x+6)>0</math>
	נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב<math>x=1~~</math> וב<math>x=~~-6</math>.		נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- <math>x=1,-6</math> .

	אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כש<math>x<-6</math> ו<math>x>1</math>		אם נפתח סוגריים נקבל <math>-x^2-5x+6</math> והמקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר <math>x<-6</math> או <math>x>1</math> ,
	וערכים חיוביים כש<math>-6<x<1</math>		וערכים חיוביים כאשר <math>-6<x<1</math> .

	פתרון: <math>-6<x<1</math>		פתרון: <math>-6<x<1</math>


	*<math>-3x^2 +6x - 1 \~~geq 0~~ </math>		*<math>-3x^2+6x-1\ge0</math>
	מתי ~~הביטוי~~ מתאפס~~: <math>-3x^2+6x-1=0</math>?~~ לפי ~~נוסחה~~ נקבל <math>x={-6 \pm \sqrt{36-12} ~~\over~~ -6}=1 \pm {\~~sqrt~~{~~6} \over~~ 3}</math>		נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל <math>x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{-6}=1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}</math>

	המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.		המקדם של <math>x^2</math> שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.

	פתרון: <math>1 - {\~~sqrt~~{~~6} \over~~ 3} \~~leq~~ x \~~leq 1~~ + {\~~sqrt~~{~~6} \over~~ 3}</math>		פתרון: <math>1-\dfrac{\sqrt6}{3}\le x\le1+\dfrac{\sqrt6}{3}</math>

ארז שיינר: /* 2 */

2016-08-07T11:41:12Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:41, 7 באוגוסט 2016
שורה 185:		שורה 185:
	::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>		::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>

	::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2 & x>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x \leq 2 \\ 1 & x < 0\end{cases}</math>		::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2 & x>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & x < 1\end{cases}</math>

	<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1</math>		<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1</math>

ארז שיינר: /* 2 */

2016-08-07T11:40:36Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:40, 7 באוגוסט 2016
שורה 185:		שורה 185:
	::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>		::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>

	::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2 & x>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & x < 0\end{cases}</math>		::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2 & x>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x \leq 2 \\ 1 & x < 0\end{cases}</math>

	<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1</math>		<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1</math>

Tomer Yogev: /* 1 */

2012-08-10T17:56:23Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:56, 10 באוגוסט 2012
שורה 63:		שורה 63:

	עבור n אי זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל: <math>1<x<2 , 3<x<4 , ... < 2i-1<x<2i , ... , n-2 < x < n-1, n < x</math>		עבור n אי זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל: <math>1<x<2 , 3<x<4 , ... < 2i-1<x<2i , ... , n-2 < x < n-1, n < x</math>




	*<math>\|x\|\leq 7</math>		*<math>\|x\|\leq 7</math>
	נחלק למקרים: אם <math>x \ geq 0</math> נקבל את אי השוויון <math>\|x\|\leq 7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0 \leq x \leq 7</math>		נחלק למקרים: אם <math>x \geq 0</math> נקבל את אי השוויון <math>\|x\|\leq 7</math> ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם <math>0 \leq x \leq 7</math>

	אם <math>x<0</math> נקבל <math>-x \le 7</math> , לכן <math>x \geq -7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7 \leq x < 0</math>		אם <math>x<0</math> נקבל <math>-x \le 7</math> , לכן <math>x \geq -7</math> וסה"כ הפתרונות הם <math>-7 \leq x < 0</math>
שורה 112:		שורה 110:
	<math>x > 1</math> : נקבל <math>x-1 > x^2 - 1</math> . נפשט: <math>x^2 -x < 0</math> והפתרון הוא <math>0 < x < 1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.		<math>x > 1</math> : נקבל <math>x-1 > x^2 - 1</math> . נפשט: <math>x^2 -x < 0</math> והפתרון הוא <math>0 < x < 1</math> . לכן במקרה זה אין פתרון.

	פתרון: <math>-2 < x 0</math>		פתרון: <math>-2 < x < 0</math>


שורה 129:		שורה 127:

	פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>		פתרון: <math>x<4</math> או <math>x>2+\sqrt{10}</math>


	==2==		==2==

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-08T11:42:21Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:42, 8 באוגוסט 2012
שורה 202:		שורה 202:
	פתרון: <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x </math>		פתרון: <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x </math>


			*<math>\|g(x^2)-f(x)\| < x</math>
			::<math>g(x^2)=\begin{cases}x^2-1 & x<-1 \vee 1<x \\ 2x^2 & -1 \leq x \leq 1 \end{cases}</math>

			<math>x<-1</math> : <math>\|g(x^2)-f(x)\|=\|x^2-1+x^2\|=\|2x^2-1\|<x</math> . בגלל שאנחנו בתחום <math>x<-1</math> נקבל שהביטוי בערך המוחלט תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: <math>2x^2-1<x</math> . לאי שוויון זה אין פתרון בתחום

			<math>-1 \leq x < 0</math> : נקבל <math>\|2x^2+x^2\|=\|3x^2\|=3x^2<x</math> ואין לזה פתרון בתחום

			<math>x = 0</math> : נציב ונקבל שזה לא פתרון

			<math>0 < x \leq 1 </math> : נקבל <math>\|2x^2-x^2\|=x^2<x</math> והפתרון הוא <math>0<x<1</math>

			<math>1<x</math> : נקבל <math>\|x^2-1-x^2\|=1<x</math> והפתרון הוא כל התחום


	*<math>~~\|g(~~x~~^2)-f(x)\|~~ < x</math>		פתרון: <math>0 < x < 1 </math> או <math>1 < x</math>

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-08T11:23:37Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:23, 8 באוגוסט 2012
שורה 185:		שורה 185:

	* <math>f(x+1) +g(x-1) > x</math>		* <math>f(x+1) +g(x-1) > x</math>

			::<math>f(x+1)=\begin{cases}(x+1)^2 & x>-1 \\ 0 & x=-1 \\ -(x+1)^2 & x<-1\end{cases}</math>

			::<math>g(x-1)=\begin{cases}x-2 & x>2 \\ 2x-2 & 1 \leq x \leq 2 \\ 0 & x < 0\end{cases}</math>

			<math>x<-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=-(x+1)^2>x</math> . הפתרון הוא <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x< -1</math>

			<math>x=-1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=0>-1</math> לכן זה פיתרון.

			<math>-1 < x < 1</math> : <math>f(x+1)+g(x-1) = (x+1)^2>x</math> . נכון לכל x.

			<math>1 \leq x \leq 2</math> : <math>f(x+1) + g(x-1) = (x+1)^2+2x-2 > x</math> . כל התחום הוא פתרון

			<math>2<x</math> : <math>f(x+1)+g(x-1)=(x+1)^2+x-2>x</math> . גם כאן כל התחום הוא פתרון

			פתרון: <math>{-3-\sqrt{5} \over 2} < x </math>



	*<math>\|g(x^2)-f(x)\| < x</math>		*<math>\|g(x^2)-f(x)\| < x</math>

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-08T11:06:30Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:06, 8 באוגוסט 2012
שורה 173:		שורה 173:

	* <math>g\big(f(x)\Big) \geq 0</math>		* <math>g\big(f(x)\Big) \geq 0</math>
	~~<math>x<0</math>~~ : <math>f(x)~~=-x^2~~ \~~leq~~ 0</math> ~~לכן <math>g(f(~~x~~))=-f(x)+f(x)=0</math> לכן כל התחום הוא פתרון~~		נשים לב שמתקיים: <math>g(x) \geq 0</math> לכל x:

	<math>x=0</math> : <math>f(x)=0</math> ~~, <math>g(0) = 0</math> לכן זה גם פתרון~~		<math>x<0</math> : <math>g(x)=0</math>

	<math>x>0</math> : <math>f(x)=~~x^2~~ \geq 0</math>~~. נחלק שוב למקרים:~~		<math>0 \leq x \leq 1</math> : <math>g(x) = 2x \geq 0</math>

	<math>0<x ~~\leq1</math~~> ~~: <math>f(x)=x^2 \leq~~ 1</math> ~~ולכן~~ <math>g(f(x))=f(x~~)+f(x)=2x^2~~ \geq 0</math> ~~לכן זה פתרון~~		<math>x > 1</math> : <math>g(x) = x-1 \geq 0</math>

	~~<math>x> 1</math> : <math>f(x) = x^2 \geq 1 </math>~~ לכן <math>g(f(x)) ~~= f(x)-1 >~~ 0</math> ~~לכן גם תחום זה פתרון~~		לכן גם מתקיים <math>g(f(x)) \geq 0 </math> לכל x

	~~פתרון: כל~~ x

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-08-08T11:03:52Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:03, 8 באוגוסט 2012
שורה 179:		שורה 179:
	<math>x>0</math> : <math>f(x)=x^2 \geq 0</math>. נחלק שוב למקרים:		<math>x>0</math> : <math>f(x)=x^2 \geq 0</math>. נחלק שוב למקרים:

	<math>0<x<1</math> : <math>f(x)=x^2 < 1</math> ולכן <math>g(f(x))=-f(x)+f(x)=0</math> לכן זה פתרון		<math>0<x \leq1</math> : <math>f(x)=x^2 \leq 1</math> ולכן <math>g(f(x))=f(x)+f(x)=2x^2 \geq 0</math> לכן זה פתרון

	<math>x~~\geq~~ 1</math> : <math>f(x) = x^2 \geq 1 </math> לכן <math>g(f(x)) = f(x)~~+f(x)=2x^2 \geq~~ 0</math> לכן גם תחום זה פתרון		<math>x> 1</math> : <math>f(x) = x^2 \geq 1 </math> לכן <math>g(f(x)) = f(x)-1 > 0</math> לכן גם תחום זה פתרון

	פתרון: כל x		פתרון: כל x