מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2 - היסטוריית גרסאות

Tomer Yogev: /* 3 */

2012-08-13T02:37:49Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:37, 13 באוגוסט 2012
שורה 79:		שורה 79:
	*<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math>		*<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math>

	<math>~~cis~~(\frac{\~~pi}~~{4} = </math>		ניעזר בסעיף א' ונקבל שהביטוי שווה ל:<math>(1+i)(2-3i)</math>. נפתח סוגריים ונקבל: <math>(2+3)+(-3+2)i</math>. סה"כ הצורה הקרטזית היא <math>5-i</math>

			הצורה הפולארית: <math>r=\sqrt{26}</math>

			<math>\varphi = arctan(\frac{-1}{5}) \approx -11^\circ</math>

			לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{26}\cdot cis(-11^\circ)</math>


	*<math>cis(\frac{\pi}{2})</math>		*<math>cis(\frac{\pi}{2})</math>

			נמצא את הצורה הקרטזית: <math>x=cos(\frac{\pi}{2})=0 , y=sin(\frac{\pi}{2})=1</math>

			לכן המספר שווה לi


	*<math>2cis(2012\cdot \frac{\pi}{2})</math>		*<math>2cis(2012\cdot \frac{\pi}{2})</math>

			<math>x=2cos(1006\pi)=2cos(0)=2</math>

			<math>y=2sin(1006\pi)=2sin(0)=0</math>

			לכן המספר שווה ל2

2012-08-13T02:24:53Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:24, 13 באוגוסט 2012
שורה 65:		שורה 65:
	<math>r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math>		<math>r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math>

	<math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 2}</math>		<math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 4}</math>

	לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{2} \cdot cis({\pi \over 2})</math>		לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{2} \cdot cis({\pi \over 4})</math>


שורה 74:		שורה 74:
	<math>(1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i</math>		<math>(1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i</math>

	זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא: <math>\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cis(\frac{\pi}{2})</math>		זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא: <math>\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cis(\frac{\pi}{4})</math>


	*<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math>		*<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math>

			<math>cis(\frac{\pi}{4} = </math>

2012-08-13T02:23:18Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:23, 13 באוגוסט 2012
שורה 74:		שורה 74:
	<math>(1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i</math>		<math>(1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i</math>

			זה שווה בדיוק לחצי מהביטוי בסעיף א' לכן הצורה הפולארית היא: <math>\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot cis(\frac{\pi}{2})</math>

2012-08-13T02:22:15Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:22, 13 באוגוסט 2012
שורה 71:		שורה 71:

	*<math>(1-i)^{-1}</math>		*<math>(1-i)^{-1}</math>

			<math>(1-i)^{-1} = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)}= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot i</math>

2012-08-13T02:17:01Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:17, 13 באוגוסט 2012
שורה 66:		שורה 66:

	<math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 2}</math>		<math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 2}</math>

			לכן הצורה הפולארית היא <math>\sqrt{2} \cdot cis({\pi \over 2})</math>

2012-08-13T02:16:27Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:16, 13 באוגוסט 2012
שורה 63:		שורה 63:

	*<math>1+i</math>		*<math>1+i</math>
	<math>r=sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math>		<math>r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math>

	<math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 2}</math>		<math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 2}</math>

2012-08-13T02:15:52Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:15, 13 באוגוסט 2012
שורה 56:		שורה 56:
	*<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math>		*<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math>
	<math>\frac{z-\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i - (x - y \cdot i)}{2} = \frac{2y}{2}=y=Im(z)</math>		<math>\frac{z-\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i - (x - y \cdot i)}{2} = \frac{2y}{2}=y=Im(z)</math>


			==3==
			מצא את הצורה הפולרית והקרטזית של המספרים המרוכבים הבאים:


			*<math>1+i</math>
			<math>r=sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}</math>

			<math>\varphi = arctan({1 \over 1}) = arctan(1) = {\pi \over 2}</math>


			*<math>(1-i)^{-1}</math>


			*<math>\sqrt{2}cis(\frac{\pi}{4})(2-3i)</math>


			*<math>cis(\frac{\pi}{2})</math>


			*<math>2cis(2012\cdot \frac{\pi}{2})</math>

2012-08-13T02:13:00Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:13, 13 באוגוסט 2012
שורה 55:		שורה 55:

	*<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math>		*<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math>
			<math>\frac{z-\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i - (x - y \cdot i)}{2} = \frac{2y}{2}=y=Im(z)</math>

2012-08-13T02:12:07Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:12, 13 באוגוסט 2012
שורה 51:		שורה 51:

	*<math>Re(z)= \frac{z+\overline{z}}{2}</math>		*<math>Re(z)= \frac{z+\overline{z}}{2}</math>
			<math>\frac{z+\overline{z}}{2} = \frac{x+y \cdot i + x - y \cdot i}{2} = \frac{2x}{2}=x=Re(z)</math>


	*<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math>		*<math>Im(z)= \frac{z-\overline{z}}{2}</math>

2012-08-13T02:10:01Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־02:10, 13 באוגוסט 2012
שורה 43:		שורה 43:

	*<math>\|z_1\cdot z_2\| = \|z_1\|\cdot \|z_2\|</math>		*<math>\|z_1\cdot z_2\| = \|z_1\|\cdot \|z_2\|</math>
			<math>\|z_1\cdot z_2\|=\|(x_1 x_2 -y_1 y_2)+(x_1 y_2 + x_2 y_1) \cdot i\| =\sqrt{ (x_1 x_2 - y_1 y_2)^2 + (x_1 y_2 +x_2 y_1)^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2}</math>

			אגף ימין: <math>\|z_1\|\cdot \|z_2\| = \sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{x_1^2 x_2^2+ y_1^2 y_2^2+x_1^2 y_2^2+x_2^2 y_1^2}</math>

			שוב קיבלנו בשני המקרים את אותו ביטוי ולכן מתקיים השוויון