מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4/פתרון 4 - היסטוריית גרסאות

Tomer Yogev: /* תרגילים - אי שיוויונים */

2012-08-18T19:01:30Z

תרגילים - אי שיוויונים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:01, 18 באוגוסט 2012
שורה 97:		שורה 97:
	*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}</math>		*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}</math>

			<math>\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}>\frac{13}{24}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{n+1}</math>

			<math>=\frac{13}{24}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}>\frac{13}{24}</math>


	*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1</math>		*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1</math>

			<math>\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}-\frac{1}{n+1}</math>

			<math>>1+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+4}-\frac{1}{n+1}=1+\frac{2}{3(n+1)(3n+2)(3n+4)}>1</math>

Tomer Yogev: /* תרגילים - אי שיוויונים */

2012-08-18T18:48:35Z

תרגילים - אי שיוויונים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:48, 18 באוגוסט 2012
שורה 79:		שורה 79:

	*<math>\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}<\frac{2n}{5n+1}</math>		*<math>\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}<\frac{2n}{5n+1}</math>

			<math>\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}+\frac{1}{(5n+1)(5n+6)}<\frac{2n}{5n+1}+\frac{1}{(5n+1)(5n+6)}</math>

			<math>=\frac{(2n)(5n+6)+1}{(5n+1)(5n+6)}=\frac{10n^2+12n+1}{(5n+1)(5n+6)}<\frac{10n^2+12n+2}{(5n+1)(5n+6)}=\frac{2n+2}{5n+6}</math>


	*<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math>		*<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math>

			<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}<\frac{n-1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n^3+n^2-1}{n(n+1)^2}<\frac{n^3+n^2}{n(n+1)^2}=\frac{n}{n+1}</math>


	*<math>1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}</math>		*<math>1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}</math>

			<math>1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2<\frac{(n+1)^3}{3}+(n+1)^2=\frac{n^3+6n^2+9n+4}{3}<\frac{n^3+6n^2+12n+8}{3}=\frac{(n+2)^3}{3}</math>


	*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}</math>		*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}</math>




	*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1</math>		*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1</math>

Tomer Yogev ב־18:25, 18 באוגוסט 2012

2012-08-18T18:25:45Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:25, 18 באוגוסט 2012
שורה 74:		שורה 74:

	השוויון הראשון הוא כפל וחלוקה באותו גורם, השני הוא לפי הנחת האינדוקציה, וההמשך זה פישוט וצמצום		השוויון הראשון הוא כפל וחלוקה באותו גורם, השני הוא לפי הנחת האינדוקציה, וההמשך זה פישוט וצמצום

			==תרגילים - אי שיוויונים==


			*<math>\frac{1}{1\cdot 6}+\frac{1}{6\cdot 11} +...+\frac{1}{(5n-4)(5n+1)}<\frac{2n}{5n+1}</math>


			*<math>\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{n-1}{n}</math>


			*<math>1^2+2^2+...+n^2<\frac{(n+1)^3}{3}</math>


			*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24}</math>


			*<math>\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1</math>

Tomer Yogev: /* תרגילים - שיוויונים */

2012-08-18T18:24:37Z

תרגילים - שיוויונים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:24, 18 באוגוסט 2012
שורה 55:		שורה 55:

	*<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}</math>		*<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}</math>

			<math>\frac{1^2}{1\cdot 3}+\frac{2^2}{3\cdot 5}+...+\frac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)}+\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+3)}</math>

			<math>=\frac{n(n+1)(2n+3)+2(n+1)^2}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(2n^2+3n+2n+2)}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2(2n+3}</math>

			הראשון לפי הנחת האינדוקציה, השני מכנה משותף, והאחרים פישוט וצמצום


	*<math>\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)=\frac{2n+1}{2n+2}</math>		*<math>\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)=\frac{2n+1}{2n+2}</math>

			<math>\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+3)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

			<math>=\frac{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+2)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(n+3)^2}\Big)\cdots \Big(1-\frac{1}{(2n)^2}\Big)}{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)}\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

			<math>=\frac{\frac{2n+1}{2n+2}}{\Big(1-\frac{1}{(n+1)^2}\Big)}\Big(1-\frac{1}{(2n+1)^2}\Big)\Big(1-\frac{1}{(2n+2)^2}\Big)</math>

			<math>=\frac{(n+1)^2}{n^2+2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\cdot\frac{4n^2+4n}{(2n+1)^2}\cdot\frac{4n^2+8n+3}{(2n+2)^2}=\frac{2n+3}{2n+4}</math>

			השוויון הראשון הוא כפל וחלוקה באותו גורם, השני הוא לפי הנחת האינדוקציה, וההמשך זה פישוט וצמצום

Tomer Yogev: /* תרגילים - שיוויונים */

2012-08-18T17:42:22Z

תרגילים - שיוויונים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:42, 18 באוגוסט 2012
שורה 44:		שורה 44:

	*<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)</math>		*<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)</math>

			<math>1-4+7-10+...+(-1)^{n+1}(3n-2)-(-1)^{n+1}(3n+1)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)-(-1)^{n+1}(3n+1)</math>

			<math>=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1)-1\Big)-\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(12n+4)\Big)</math>

			<math>\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(6n-1-12n-4)-1\Big)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+1}(-6n-5)-1\Big)=\frac{1}{4}\Big((-1)^{n+2}(6n+5)-1\Big)</math>

			השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה, השני לפי כפל וחילוק ב4, השלישי זה כינוס איברים וגם שאר השוויונים ברורים.

Tomer Yogev: /* תרגילים - שיוויונים */

2012-08-18T17:34:25Z

תרגילים - שיוויונים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:34, 18 באוגוסט 2012
שורה 35:		שורה 35:

	*<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}</math>		*<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}</math>

			<math>\frac{1}{3!}+\frac{5}{4!}+\frac{11}{5!}+...+\frac{n^2+n-1}{(n+2)!}+\frac{(n+1)^2+(n+1)-1}{(n+3)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+1}{(n+2)!}+\frac{n^2+3n+1}{(n+3)!}</math>

			<math>=\frac{1}{2}-\frac{(n+1)(n+3)-(n^2+3n+1)}{(n+3)!}=\frac{1}{2}-\frac{n+2}{(n+3)!}</math>

			השוויון הראשון נכון לפי הנחת האידוקציה ופתיחת סוגריים. השני הוא מכנה משותף והשלישי הוא שוב פתיחת סוגריים במונה.

Tomer Yogev: /* תרגילים - שיוויונים */

2012-08-18T16:58:26Z

תרגילים - שיוויונים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:58, 18 באוגוסט 2012
שורה 24:		שורה 24:

	*<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}</math>		*<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}</math>

			<math>1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2} = \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}</math>

			<math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\Big(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}\Big)</math>

			<math>=\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}</math>

			השוויון הראשון נכון לפי הנחת האינדוקציה. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי הוא פישוט שני המחוברים האחרונים

Tomer Yogev: /* תרגילים - שיוויונים */

2012-08-18T16:52:11Z

תרגילים - שיוויונים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:52, 18 באוגוסט 2012
שורה 13:		שורה 13:

	*<math>(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}</math>		*<math>(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}</math>

			<math>(n+2)^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2 = (n+2)^2+...+(2n)^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2+(n+1)^2-(n+1)^2</math>

			<math>=(n+1)^2+(n+2)^2+...+(2n)^2+\Big((2n+1)^2+(2n+2)^2-(n+1)^2\Big)</math>

			<math>=\frac{n(2n+1)(7n+1)}{6}+(7n^2+10n+4)=\frac{(n+1)(2n+3)(7n+8)}{6}</math>

			השוויון הראשון הוא הוספה והחסרה של אותו איבר. השני הוא שינוי סדר האיברים. השלישי נכון לפי הנחת האינדוקציה ופתיחת סוגריים. השוויון האחרון הוא לפי פתיחת סוגריים ופירוק לגורמים.

Tomer Yogev: /* תרגילים - שיוויונים */

2012-08-18T16:43:46Z

תרגילים - שיוויונים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:43, 18 באוגוסט 2012
שורה 4:		שורה 4:

	*<math>1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2</math>		*<math>1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2</math>

			<math>(1+2+...+n+(n+1))^2=(1+2+...+n)^2+2 \cdot (1+2+...+n)\cdot (n+1) + (n+1)^2</math>

			<math>=(1+2+...+n)^2+n\cdot(n+1)\cdot(n+1)+(n+1)^2=(1+2+...+n)^2+(n+1)^3=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3</math>

			השוויון הראשון נכון לפי הנוסחה <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>. השוויון השני נכון לפי סכום סדרה חשבונית. השוויון השלישי הוא כינוס איברים והשוויון האחרון נכון לפי הנחת האינדוקציה.

Tomer Yogev ב־16:35, 18 באוגוסט 2012

2012-08-18T16:35:30Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:35, 18 באוגוסט 2012
שורה 1:		שורה 1:
			בכל התרגילים צריך לבדוק גם את המקרה ההתחלתי עבור n=1 אבל דילגתי על זה כי זה פשוט. בכולם אני מניח שהטענה נכונה עבור n ומוכיח שמכך נובע שהיא נכונה גם עבור n+1.

	==תרגילים - שיוויונים==		==תרגילים - שיוויונים==