מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/8/פתרון 8 - היסטוריית גרסאות

Tomer Yogev: /* 1 */

2012-09-05T08:05:15Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:05, 5 בספטמבר 2012
שורה 3:		שורה 3:

	*יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף		*יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף
			** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האב של הג'ירפה רזה מהקרנף


	*יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף		*יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף
			** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, שתי ג'ירפות. האב של הג'ירפה הראשונה רזה מהקרנף. לג'ירפה השנייה יש אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף


	*לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף		*לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף
			** לא שלילה. קוף אחד, שני קרנפים, ג'ירפה אחת. האמא של הג'ירפה יפה מהקוף. אביה של הג'ירפה שמן כמו הקרנף הראשון, ורזה מהקרנף השני.


	*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף		*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף
			** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, והאמא שלה יפה מהקוף.


	*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף		*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף
			** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף.


	*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף		*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף
			** לא שלילה. קוף אחד, קרנף אחד, ג'ירפה אחת. האבא של הג'ירפה רזה מהקרנף, האמא שלה מכוערת כמו הקוף.


	מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.		מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.


	==2==		==2==

Tomer Yogev: /* 3 */

2012-09-05T07:44:59Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:44, 5 בספטמבר 2012
שורה 48:		שורה 48:

	*<math>C\subseteq A</math> או <math>C \subseteq B</math>		*<math>C\subseteq A</math> או <math>C \subseteq B</math>
			** הפרכה: <math>A=\{1\},B=\{2\},C=\{1,2\}</math>


	*אם <math>C\cap A = \phi</math> אזי <math>C \subseteq B</math>		*אם <math>C\cap A = \phi</math> אזי <math>C \subseteq B</math>
			** הוכחה: יהי <math>x \in C</math>. לכן <math>x \in A\cup B</math> לכן <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. נתון <math>C\cap A = \phi</math> לכן <math>x \not\in A</math> לכן <math>x \in B</math>


	*<math>C\cap A = \phi</math> אם ורק אם <math>C \subseteq B</math>		*<math>C\cap A = \phi</math> אם ורק אם <math>C \subseteq B</math>
			** הפרכה: <math>A=\{1,2\},B=\{2,3\},C=B</math>


	*<math>C\backslash A \subseteq B</math>		*<math>C\backslash A \subseteq B</math>
			** הוכחה: יהי <math>x \in C\backslash A</math>. לכן <math>x \in A\cup B</math> לכן <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. לפי הגדרת x הוא לא בA לכן הוא בB.


	*אם <math>C=A</math> אזי <math>A\subseteq B</math>		*אם <math>C=A</math> אזי <math>A\subseteq B</math>
			** הפרכה: <math>A=\{1\},B=\empty,C=A</math>


	*<math>\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B</math>		*<math>\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B</math>
			** הוכחה. היעזרו במשפטים הבאים (אחרי שתוכיחו אותם):
			1. אם <math>A \subseteq X</math> וגם <math>B \subseteq X</math> אז <math>A\cup B \subseteq X</math>

			2. <math>(A \backslash X) \cup X \supseteq A</math>


	*<math>\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B</math>		*<math>\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B</math>
			** הוכחה:
			אגף שמאל הוא איחוד של שלוש קבוצות המוכלות ב<math>A\cup B</math> לכן כל אגף שמאל מוכל באגף ימין
			יהי <math>x \in A\cup B</math>. אם <math>x \in C</math> אז הוא באגף שמאל בגלל האיחוד עם C. אחרת, <math>x \not\in C</math>. לפי ההגדרה של x הוא בA או בB. אם הוא בA אז הוא ב<math>A\backslash C</math> ואם הוא בB אז הוא ב<math>B\backslash C</math>. לכן סה"כ הוא תמיד באגף שמאל לכן אגף ימין מוכל באגף שמאל

Tomer Yogev: /* 2 */

2012-09-05T07:24:57Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:24, 5 בספטמבר 2012
שורה 27:		שורה 27:

	*וקטורים המקיימים <math>v_1+v_2+...+v_n \neq 0</math>		*וקטורים המקיימים <math>v_1+v_2+...+v_n \neq 0</math>
			** לא, כי יתכן שקיים צירוף לינארי לא טריוויאלי אחר של הוקטורים שכן מתאפס


	*וקטורים המקיימים <math>0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0</math>		*וקטורים המקיימים <math>0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0</math>
			** לא, אף קבוצת וקטורים לא מקיימת הגדרה זו (למרות שכן יש קבוצות וקטורים שאינן תלויות לינארית)


	*וקטורים המקיימים את התנאי- אם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> אזי <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>		*וקטורים המקיימים את התנאי- אם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> אזי <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>
			** כן, כי אם הקבוצה הייתה תלויה לינארית אז היו קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>, אבל אז כולם היו שווים לאפס לפי ההגדרה בסתירה.


	*וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>		*וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>
			** לא, מכיוון שקבוצת וקטורים שאינה תלויה לינארית יכולה לקיים את התנאי עבור <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>

	==3==		==3==

Tomer Yogev: יצירת דף עם התוכן "==1== קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה ..."

2012-09-05T07:21:00Z

יצירת דף עם התוכן "==1== קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה ..."

דף חדש

==1==
קבעו אילו מן המשפטים הבאים שקולים לשלילה של המשפט "לכל קוף ולכל קרנף, יש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף"

*יש קוף כך שלכל הג'ירפות אין אבא שמן כמו אף קרנף או שאימן יפה מהקוף

*יש קוף, קרנף וג'ירפה עם אבא ששמן כמו הקרנף ואמא שיפה מהקוף

*לכל קוף אין קרנף כך שיש ג'ירפה שאם אביה שמן כמו הקרנף, אז אמה מכוערת כמו הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאין להן אבא שמן כמו הקרנף, אין להם אמא מכוערת כמו הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות שאביהן שמן כמו הקרנף, אימן יפה מן הקוף

*יש קוף וקרנף שלכל הג'ירפות או שאימן יפה מן הקוף או שאבא שלהן רזה מן הקרנף

מצא דוגמא נגדית לכל אחד מן המשפטים שאינו שקול לשלילה.

==2==
'''הגדרה''':

קבוצת וקטורים <math>v_1,...,v_n</math> נקראת '''תלוייה לינארית''' אם קיימים סקלרים <math>a_1,...,a_n\in\mathbb{R}</math> כך שלפחות אחד מהם שונה מאפס וגם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

אילו מן ההגדרות הבאות מתאימה לקבוצת וקטורים ש'''אינה''' תלוייה לינארית:

*וקטורים המקיימים <math>v_1+v_2+...+v_n \neq 0</math>

*וקטורים המקיימים <math>0\cdot v_1+0\cdot v_2+...+0\cdot v_n \neq 0</math>

*וקטורים המקיימים את התנאי- אם <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math> אזי <math>a_1=a_2=...=a_n=0</math>

*וקטורים שלעולם לא מקיימים את התנאי <math>a_1v_1+...+a_nv_n=0</math>

==3==
תהיינה A,B,C קבוצות. נניח נתון <math>C \subseteq A\cup B</math>.

'''הוכח/הפרך''' כל אחת מן הטענות הבאות:

*<math>C\subseteq A</math> או <math>C \subseteq B</math>

*אם <math>C\cap A = \phi</math> אזי <math>C \subseteq B</math>

*<math>C\cap A = \phi</math> אם ורק אם <math>C \subseteq B</math>

*<math>C\backslash A \subseteq B</math>

*אם <math>C=A</math> אזי <math>A\subseteq B</math>

*<math>\Big((A\cup B)\backslash C\Big)\cup C = A \cup B</math>

*<math>\Big((A\backslash C)\cup (B\backslash C)\Big)\cup C = A \cup B</math>