מכפלה פנימית מושרית - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* אי שליליות */

2022-04-17T07:43:53Z

אי שליליות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:43, 17 באפריל 2022
שורה 427:		שורה 427:


	לבסוף, נשים לב כי גילינו כי <math>\|\|x\|\|=\sqrt{\~~langlex~~,x\rangle}</math>, כלומר הנורמה של המרחב מושרית מהמכפלה הפנימית שיצרנו.		לבסוף, נשים לב כי גילינו כי <math>\|\|x\|\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>, כלומר הנורמה של המרחב מושרית מהמכפלה הפנימית שיצרנו.

ארז שיינר: /* אי שליליות */

2022-04-17T07:43:24Z

אי שליליות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:43, 17 באפריל 2022
שורה 394:		שורה 394:

	===אי שליליות===		===אי שליליות===
			נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו

			<math>\langle x,x\rangle = \frac{\|\|x+x\|\|^2 -\|\|x-x\|\|^2}{4} + i\cdot \frac{\|\|x+ix\|\|^2 -\|\|x-ix\|\|^2}{4}</math>


			נפתח את החלק הממשי:

			<math>\frac{\|\|x+x\|\|^2 -\|\|x-x\|\|^2}{4} = \frac{\|\|2x\|\|^2 }{4} = \frac{4\|\|x\|\|^2}{4}=\|\|x\|\|^2</math>


			לגבי החלק המדומה, נשים לב כי

			<math>\|\|x+ix\|\|^2 = \|\|(1+i)x\|\|^2 = \|1+i\|^2 \|\|x\|\|^2 = 2\|\|x\|\|^2</math>

			וכן

			<math>\|\|x-ix\|\|^2 = \|\|(1-i)x\|\|^2 = \|1-i\|^2 \|\|x\|\|^2 = 2\|\|x\|\|^2</math>

			וסה"כ החלק המדומה מתאפס

			<math>\frac{\|\|x+ix\|\|^2 -\|\|x-ix\|\|^2}{4}=0</math>

			(הערה: אפשר היה גם להסיק שהחלק המדומה מתאפס בזכות ההרמיטיות.)


			סה"כ קיבלנו כי

			<math>\langle x,x\rangle = \|\|x\|\|^2 </math>

			ומתכונות הנורמה אנו יודעים כי ביטוי זה אינו שלילי, ומתאפס אם ורק אם <math>x=0</math>.



			לבסוף, נשים לב כי גילינו כי <math>\|\|x\|\|=\sqrt{\langlex,x\rangle}</math>, כלומר הנורמה של המרחב מושרית מהמכפלה הפנימית שיצרנו.

ארז שיינר: /* אנטי שליליות */

2022-04-17T07:36:10Z

אנטי שליליות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:36, 17 באפריל 2022
שורה 248:		שורה 248:
	<math>\langle x,y\rangle = \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2}{4} = \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|y-x\|\|^2}{4} = \langle y,x\rangle</math>		<math>\langle x,y\rangle = \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2}{4} = \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|y-x\|\|^2}{4} = \langle y,x\rangle</math>

	===~~אנטי~~ שליליות===		===אי שליליות===
	נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו		נבצע מכפלה פנימית בין וקטור לעצמו

ארז שיינר: /* הרמיטיות */

2022-04-17T07:24:36Z

הרמיטיות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:24, 17 באפריל 2022
שורה 382:		שורה 382:

	ולכן המשוואה הראשונה מתקיימת.		ולכן המשוואה הראשונה מתקיימת.


			כעת נשווה את המונים במשוואה השנייה:

			<math>\|\|x+iy\|\|^2 - \|\|x-iy\|\|^2 = \|\|i(-ix+y)\|\|^2 - \|\|-i(ix+y)\|\|^2 = </math>

			<math>=(\|i\|\cdot\|\|y-ix\|\|)^2 -(\|-i\|\cdot \|\|y+ix\|\|)^2= -(\|\|y+ix\|\|^2 - \|\|y-ix\|\|^2)</math>

			כפי שהיינו צריכים להוכיח.


			===אי שליליות===

ארז שיינר: /* הרמיטיות */

2022-04-17T07:19:47Z

הרמיטיות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:19, 17 באפריל 2022
שורה 358:		שורה 358:

	===הרמיטיות===		===הרמיטיות===
			עלינו להוכיח כי <math>\langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}</math>


			ראשית נציב בפיתוח של המכפלה הפנימית:

			<math>\langle x,y\rangle = \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2 }{4} + i\cdot \frac{\|\|x+iy\|\|^2 - \|\|x-iy\|\|^2}{4}</math>

			<math>\langle y,x\rangle = \frac{\|\|y+x\|\|^2 -\|\|y-x\|\|^2 }{4} + i\cdot \frac{\|\|y+ix\|\|^2 - \|\|y-ix\|\|^2}{4}</math>

			<math>\overline{\langle y,x\rangle} = \frac{\|\|y+x\|\|^2 -\|\|y-x\|\|^2 }{4} - i\cdot \frac{\|\|y+ix\|\|^2 - \|\|y-ix\|\|^2}{4}</math>


			כלומר עלינו להוכיח את שתי המשוואות הבאות (השוואה בין החלקים הממשיים, והשוואה בין החלקים המדומים):

			<math>\frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2 }{4}=\frac{\|\|y+x\|\|^2 -\|\|y-x\|\|^2 }{4} </math>

			<math>\cdot \frac{\|\|x+iy\|\|^2 - \|\|x-iy\|\|^2}{4} = -\frac{\|\|y+ix\|\|^2 - \|\|y-ix\|\|^2}{4}</math>


			נתחיל מהמשוואה הראשונה:

			<math>\|\|x-y\|\|^2 = \|\|-(y-x)\|\|^2 =(\|-1\|\cdot \|\|y-x\|\|)^2 = \|\|y-x\|\|^2</math>

			ולכן המשוואה הראשונה מתקיימת.

ארז שיינר: /* כפל בסקלר */

2022-04-17T07:11:53Z

כפל בסקלר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:11, 17 באפריל 2022
שורה 339:		שורה 339:

	<math>\frac{\|\|ix+iy\|\|^2 - \|\|ix-iy\|\|^2}{4} = \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2 }{4}</math>		<math>\frac{\|\|ix+iy\|\|^2 - \|\|ix-iy\|\|^2}{4} = \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2 }{4}</math>


			נכפול כמובן ב4 את המשוואות, ונתחיל לטפל במשוואה הראשונה:

			<math>\|\|ix+y\|\|^2 -\|\|ix-y\|\|^2 = \|\|i(x-iy)\|\|^2 -\|\|i(x+iy)\|\|^2 = </math>

			<math>=(\|i\|\cdot \|\|x-iy\|\|)^2 - (\|i\|\cdot \|\|x+iy\|\|)^2 =-(\|\|x+iy\|\|^2 -\|\|x-iy\|\|^2)</math>

			בדיוק כפי שהיינו צריכים להוכיח.


			באופן דומה נטפל במשוואה השנייה

			<math>\|\|ix+iy\|\|^2 - \|\|ix-iy\|\|^2 = \|\|i(x+y)\|\|^2 - \|\|i(x-y)\|\|^2 =\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2</math>

			בדיוק כפי שהיינו צריכים להוכיח.


			===הרמיטיות===

ארז שיינר: /* כפל בסקלר */

2022-04-17T07:05:47Z

כפל בסקלר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:05, 17 באפריל 2022
שורה 316:		שורה 316:

	<math>\langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle</math>		<math>\langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle</math>

			ואז נקבל כי

			<math>\langle (a+bi)x,y\rangle = a\langle x,y\rangle+bi\langle x,y\rangle=(a+bi)\langle x,y\rangle</math>



			נציב בפיתוח של המכפלה הפנימית

			<math>\langle x,y\rangle = \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2 }{4} + i\cdot \frac{\|\|x+iy\|\|^2 - \|\|x-iy\|\|^2}{4}</math>

			<math>\langle ix,y\rangle = \frac{\|\|ix+y\|\|^2 -\|\|ix-y\|\|^2 }{4} + i\cdot \frac{\|\|ix+iy\|\|^2 - \|\|ix-iy\|\|^2}{4}</math>

			<math>i\cdot \langle x,y\rangle = i\cdot \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2 }{4} - \frac{\|\|x+iy\|\|^2 - \|\|x-iy\|\|^2}{4}</math>


			כאמור אנחנו רוצים להוכיח כי <math>\langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle</math>

			לכן עלינו להוכיח את שתי המשוואות הבאות (השוואה בין החלקים הממשיים, והשוואה בין החלקים המדומים):

			<math>\frac{\|\|ix+y\|\|^2 -\|\|ix-y\|\|^2 }{4} = - \frac{\|\|x+iy\|\|^2 - \|\|x-iy\|\|^2}{4}</math>

			<math>\frac{\|\|ix+iy\|\|^2 - \|\|ix-iy\|\|^2}{4} = \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2 }{4}</math>

ארז שיינר: /* כפל בסקלר */

2022-04-17T06:53:45Z

כפל בסקלר

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:53, 17 באפריל 2022
שורה 293:		שורה 293:

	===כפל בסקלר===		===כפל בסקלר===
			עלינו להוכיח כי:

			<math>\langle (a+bi)x,y\rangle = (a+bi)\langle x,y\rangle</math>

			מהאדטיביות אנו יודעים כי

			<math>\langle (a+bi)x,y\rangle = \langle ax,y\rangle+\langle bix,y\rangle</math>


			בעזרת הוכחה זהה למקרה הממשי, ניתן להסיק כי לכל <math>c\in\mathbb{R}</math> מתקיים כי <math>\langle cx,y\rangle = c\langle x,y\rangle</math>.

			ולכן נקבל כי

			<math>\langle ax,y\rangle = a\langle x,y\rangle</math>

			וכן

			<math>\langle bix,y\rangle = b\langle ix,y\rangle</math>


			לכן כל שנותר לנו להוכיח הוא כי

			<math>\langle ix,y\rangle = i\langle x,y\rangle</math>

ארז שיינר: /* הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה המרוכב */

2022-04-17T06:43:48Z

הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה המרוכב

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:43, 17 באפריל 2022
שורה 264:		שורה 264:

	נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית, וכי הנורמה של המרחב מושרית מכפלה פנימית זו.		נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית, וכי הנורמה של המרחב מושרית מכפלה פנימית זו.


			שוב נעזר בפיתוח שעשינו בהוכחה מעל הממשיים, ונקבל כי

			<math>\langle x,y\rangle = \frac{\|\|x+y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2 }{4} + i\cdot \frac{\|\|x+iy\|\|^2 - \|\|x-iy\|\|^2}{4}</math>

			כאשר השתמשנו בעובדה כי <math>\|\|y\|\|^2 = \|\|iy\|\|^2</math>.

			===אדטיביות===

			עלינו להוכיח כי <math>\langle x+y,z\rangle = \langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle</math>

			נוכיח כי החלקים הממשיים של שני צידי המשוואה שווים וכך גם החלקים המדומים ומכאן המשוואה מתקיימת.

			כלומר צריך להוכיח כי

			<math>\frac{\|\|x+y+z\|\|^2-\|\|x+y-z\|\|^2}{4} = \frac{\|\|x+z\|\|^2-\|\|x-z\|\|^2}{4} + \frac{\|\|y+z\|\|^2 -\|\|y-z\|\|^2}{4}</math>

			וכן

			<math>\frac{\|\|x+y+iz\|\|^2-\|\|x+y-iz\|\|^2}{4} = \frac{\|\|x+iz\|\|^2-\|\|x-iz\|\|^2}{4} + \frac{\|\|y+iz\|\|^2 -\|\|y-iz\|\|^2}{4}</math>


			אבל את המשוואה הראשונה הוכחנו בחלק הממשי, ואותה הוכחה בדיוק תקיפה כאן (כי לא היה בה שימוש בסקלרים, רק בכלל המקבילית).

			ע"י הצבת <math>iz</math> במקום <math>z</math> נקבל גם את המשוואה השנייה.


			===כפל בסקלר===

ארז שיינר: /* הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה הממשי */

2022-04-17T06:30:59Z

הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה הממשי

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:30, 17 באפריל 2022
שורה 121:		שורה 121:
	נגדיר את המכפלה <math>\langle x,y\rangle = \frac{\|\|x\|\|^2 +\|\|y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2 }{2}</math>		נגדיר את המכפלה <math>\langle x,y\rangle = \frac{\|\|x\|\|^2 +\|\|y\|\|^2 -\|\|x-y\|\|^2 }{2}</math>

	נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית.		נוכיח כי זו אכן מכפלה פנימית, וכי הנורמה של המרחב מושרית מכפלה פנימית זו.


שורה 257:		שורה 257:

	כמו כן נשים לב שמתקיים <math>\|\|x\|\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>, כלומר הנורמה שלנו היא אכן נורמה המושרית מהמכפלה הפנימית שייצרנו.		כמו כן נשים לב שמתקיים <math>\|\|x\|\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}</math>, כלומר הנורמה שלנו היא אכן נורמה המושרית מהמכפלה הפנימית שייצרנו.


	==הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה המרוכב==		==הוכחה כי המכפלה הפנימית המושרית היא אכן מכפלה פנימית במקרה המרוכב==