יהודה שמחה ב־17:58, 27 בפברואר 2016

2016-02-27T17:58:01Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:58, 27 בפברואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	ה'''ממד''' של [[מרחב וקטורי]] מוגדר כמספר האברים של [[בסיס]] למרחב.		ה'''ממד''' של [[מרחב וקטורי]] מוגדר כמספר האברים של [[בסיס]] למרחב.

	== עיונים בהגדרה ==		==עיונים בהגדרה==
			כדי שהממד יהיה מוגדר היטב, יש לדעת שני דברים:
	כדי שהממד יהיה מוגדר היטב, יש לדעת שני דברים:		# לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
	# לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
	# לכל שני בסיסים יש אותו מספר אברים.		# לכל שני בסיסים יש אותו מספר אברים.

	העובדה הראשונה קלה אם למרחב יש [[קבוצה פורשת]] [[קבוצה סופית\|סופית]], אבל המקרה הכללי הוא [[משפט המל]] השקול ל[[אקסיומת הבחירה]].		העובדה הראשונה קלה אם למרחב יש [[קבוצה פורשת]] [[קבוצה סופית\|סופית]], אבל המקרה הכללי הוא [[משפט המל]] השקול ל[[אקסיומת הבחירה]].

	== תלות בשדה הבסיס ==		==תלות בשדה הבסיס==
			הממד של מרחב וקטורי תלוי בשדה הבסיס. לדוגמא, את [[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\C</math> אפשר לראות כמרחב וקטורי מעל עצמו, מעל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\R</math> , או מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\Q</math> . הממד שלו הוא 1 במקרה הראשון (כל קבוצה בת איבר אחד, שונה מאפס, היא בסיס); 2 במקרה השני (<math>\{1,i\}</math> הוא בסיס מעל הממשיים); ואינסוף במקרה האחרון.
	הממד של מרחב וקטורי תלוי בשדה הבסיס. לדוגמא, את [[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\ ~~\mathbb{~~C}</math> אפשר לראות כמרחב וקטורי מעל עצמו, מעל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\ ~~\mathbb{~~R}</math>, או מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\ ~~\mathbb{~~Q}</math>. הממד שלו הוא 1 במקרה הראשון (כל קבוצה בת איבר אחד, שונה מאפס, היא בסיס); 2 במקרה השני (<math>\ \{1,i\}</math> הוא בסיס מעל הממשיים); ואינסוף במקרה האחרון.

	הסיבה לתלות של הממד בשדה הבסיס פשוטה: אם B קבוצה של וקטורים ב-V, [[הקבוצה הנפרשת]] על-B היא אוסף ה[[צירוף ליניארי\|צירופים הלינאריים]] של וקטורים מ-B, עם סקלרים משדה הבסיס. יתכן בהחלט ש-B תפרוש את V מעל שדה אחד, אבל לא מעל שדה קטן יותר.

	== הממד ~~מגדיר~~ את ~~המרחב ==~~		הסיבה לתלות של הממד בשדה הבסיס פשוטה: אם B קבוצה של וקטורים ב-V, [[הקבוצה הנפרשת]] על B היא אוסף ה[[צירוף ליניארי\|צירופים הלינאריים]] של וקטורים מ-B, עם סקלרים משדה הבסיס. יתכן בהחלט ש-B תפרוש את V מעל שדה אחד, אבל לא מעל שדה קטן יותר.

			==הממד מגדיר את המרחב==
	לשני מרחבים [[איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים\|איזומורפיים]] יש אותו ממד. מאידך,		לשני מרחבים [[איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים\|איזומורפיים]] יש אותו ממד. מאידך,
	* כל שני מרחבים וקטוריים עם אותו ממד מעל אותו בסיס, הם איזומורפיים.		*כל שני מרחבים וקטוריים עם אותו ממד מעל אותו בסיס, הם איזומורפיים.

	מכאן שכל מרחב וקטורי מממד n מעל F, איזומורפי ל[[מרחב הוקטורים]] <math>\ F^n</math>.		מכאן שכל מרחב וקטורי מממד <math>n</math> מעל <math>\mathbb F</math> , איזומורפי ל[[מרחב הוקטורים]] <math>{\mathbb F}^n</math> .

	[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]		[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

עוזי ו.: יצירת דף עם התוכן "ה'''ממד''' של מרחב וקטורי מוגדר כמספר האברים של בסיס למרחב. == עיונים בהגדרה == כדי שהממד..."

2012-02-23T00:18:19Z

יצירת דף עם התוכן "ה'''ממד''' של מרחב וקטורי מוגדר כמספר האברים של בסיס למרחב. == עיונים בהגדרה == כדי שהממד..."

דף חדש

ה'''ממד''' של [[מרחב וקטורי]] מוגדר כמספר האברים של [[בסיס]] למרחב.

== עיונים בהגדרה ==

כדי שהממד יהיה מוגדר היטב, יש לדעת שני דברים:
# לכל מרחב וקטורי יש בסיס.
# לכל שני בסיסים יש אותו מספר אברים.

העובדה הראשונה קלה אם למרחב יש [[קבוצה פורשת]] [[קבוצה סופית|סופית]], אבל המקרה הכללי הוא [[משפט המל]] השקול ל[[אקסיומת הבחירה]].

== תלות בשדה הבסיס ==

הממד של מרחב וקטורי תלוי בשדה הבסיס. לדוגמא, את [[שדה המספרים המרוכבים]] <math>\ \mathbb{C}</math> אפשר לראות כמרחב וקטורי מעל עצמו, מעל [[שדה המספרים הממשיים]] <math>\ \mathbb{R}</math>, או מעל [[שדה המספרים הרציונליים]] <math>\ \mathbb{Q}</math>. הממד שלו הוא 1 במקרה הראשון (כל קבוצה בת איבר אחד, שונה מאפס, היא בסיס); 2 במקרה השני (<math>\ \{1,i\}</math> הוא בסיס מעל הממשיים); ואינסוף במקרה האחרון.

הסיבה לתלות של הממד בשדה הבסיס פשוטה: אם B קבוצה של וקטורים ב-V, [[הקבוצה הנפרשת]] על-B היא אוסף ה[[צירוף ליניארי|צירופים הלינאריים]] של וקטורים מ-B, עם סקלרים משדה הבסיס. יתכן בהחלט ש-B תפרוש את V מעל שדה אחד, אבל לא מעל שדה קטן יותר.

== הממד מגדיר את המרחב ==

לשני מרחבים [[איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים|איזומורפיים]] יש אותו ממד. מאידך,
* כל שני מרחבים וקטוריים עם אותו ממד מעל אותו בסיס, הם איזומורפיים.

מכאן שכל מרחב וקטורי מממד n מעל F, איזומורפי ל[[מרחב הוקטורים]] <math>\ F^n</math>.

[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

ממד - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־17:58, 27 בפברואר 2016

עוזי ו.: יצירת דף עם התוכן "ה'''ממד''' של מרחב וקטורי מוגדר כמספר האברים של בסיס למרחב. == עיונים בהגדרה == כדי שהממד..."