מספרים ברי בנייה - היסטוריית גרסאות

Ufirst: /* שימוש באפיון האלגברי של מספרים ברי בנייה */

2012-02-12T17:06:27Z

שימוש באפיון האלגברי של מספרים ברי בנייה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:06, 12 בפברואר 2012
שורה 55:		שורה 55:
	'''דוגמא:''' בהינתן עיגול לא ניתן לבנות ריבוע בעל שטח זהה לשטח העיגול ("לא ניתן לרבע את המעגל").		'''דוגמא:''' בהינתן עיגול לא ניתן לבנות ריבוע בעל שטח זהה לשטח העיגול ("לא ניתן לרבע את המעגל").

	הסבר: בלי הגבלת כלליות ניתן להניח כי רדיוס העיגול הוא 1. אזי עלינו לבנות ריבוע בעל שטח <math>\pi</math>. אם זה אפשרי, אז אורך צלע הריבוע, <math>\sqrt{\pi}</math>, יהיה בר בנייה. ~~וזה~~ בלתי אפשרי לפי המשפט לעיל כי <math>\sqrt{\pi}</math> לא אלגברי (וזאת משום שאחרת, <math>\pi</math> היה אלגברי).		הסבר: בלי הגבלת כלליות ניתן להניח כי רדיוס העיגול הוא 1. אזי עלינו לבנות ריבוע בעל שטח <math>\pi</math>. אם זה אפשרי, אז אורך צלע הריבוע, <math>\sqrt{\pi}</math>, יהיה בר בנייה. זה בלתי אפשרי לפי המשפט לעיל כי <math>\sqrt{\pi}</math> לא אלגברי (וזאת משום שאחרת, <math>\pi</math> היה אלגברי).

	'''דוגמא:''' לא קשה לראות שניתן לבנות מצולע משוכלל עם <math>n</math> צלעות אם ורק אם <math>\rho_n=\exp(2\pi i/n)</math> בר בנייה. לפי המשפט, זה שקול לכך שהמימד של סגור גלואה של <math>\mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q}</math> מעל <math>\mathbb{Q}</math> הוא חזקת 2. היות ו-<math>\mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q}</math> כבר גלואה, זה שקול לכך ש-<math>\varphi(n)=[\mathbb{Q}[\rho_n]:\mathbb{Q}]</math> הוא חזקת 2.		'''דוגמא:''' לא קשה לראות שניתן לבנות מצולע משוכלל עם <math>n</math> צלעות אם ורק אם <math>\rho_n=\exp(2\pi i/n)</math> בר בנייה. לפי המשפט, זה שקול לכך שהמימד של סגור גלואה של <math>\mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q}</math> מעל <math>\mathbb{Q}</math> הוא חזקת 2. היות ו-<math>\mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q}</math> כבר גלואה, זה שקול לכך ש-<math>\varphi(n)=[\mathbb{Q}[\rho_n]:\mathbb{Q}]</math> הוא חזקת 2.

	מסקנה: לא ניתן לבנות מצולע משוכלל עם 7 צלעות כי <math>\varphi(7)=6</math> (שאינו חזקת 2). מצד שני, ניתן לבנות מצולע משוכלל עם 17 צלעות כי <math>\varphi(17)=16</math>.		מסקנה: לא ניתן לבנות מצולע משוכלל עם 7 צלעות כי <math>\varphi(7)=6</math> (שאינו חזקת 2). מצד שני, ניתן לבנות מצולע משוכלל עם 17 צלעות כי <math>\varphi(17)=16</math>.

Ufirst ב־17:05, 12 בפברואר 2012

2012-02-12T17:05:44Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:05, 12 בפברואר 2012
שורה 44:		שורה 44:

	'''הערה:''' הדעות חלוקות לגבי מה הוכחתם בהרצאה. בטוח הוכחתם ש-א שקול ל-ב. בתרגילי הבית הוכחתם ש-ב שקול ל-ג. העובדה ש-ג שקול ל-ד היא תרגיל טריוויאלי למדי.		'''הערה:''' הדעות חלוקות לגבי מה הוכחתם בהרצאה. בטוח הוכחתם ש-א שקול ל-ב. בתרגילי הבית הוכחתם ש-ב שקול ל-ג. העובדה ש-ג שקול ל-ד היא תרגיל טריוויאלי למדי.

			'''הערה:''' מהמשפט נובע גם שכל מספר בר בנייה הוא אלגברי מעל <math>\mathbb{Q}</math>. לדוגמא, נובע ש-<math>\pi</math> אינו בר בנייה!

	'''דוגמא:''' <math>\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}</math> הוא בר בנייה כי <math>\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\subseteq\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}]</math> הוא מגדל שדות המקיים את תנאי המשפט ב-ב. (כמובן שהרבה יותר קל להוכיח את זה עם העובדה שאוסף המספרים ברי הבנייה הוא שדה שסגור להוצאת שורש...)		'''דוגמא:''' <math>\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}</math> הוא בר בנייה כי <math>\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\subseteq\mathbb{Q}[\sqrt{2},\sqrt{3}]\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt{\sqrt{2}-\sqrt{3}}]</math> הוא מגדל שדות המקיים את תנאי המשפט ב-ב. (כמובן שהרבה יותר קל להוכיח את זה עם העובדה שאוסף המספרים ברי הבנייה הוא שדה שסגור להוצאת שורש...)

			== שימוש באפיון האלגברי של מספרים ברי בנייה ==

			המשפט האחרון מאפשר להכריע באופן אלגברי האם בניות מסויימות אפשריות או לא.

			'''דוגמא:''' בהינתן עיגול לא ניתן לבנות ריבוע בעל שטח זהה לשטח העיגול ("לא ניתן לרבע את המעגל").

			הסבר: בלי הגבלת כלליות ניתן להניח כי רדיוס העיגול הוא 1. אזי עלינו לבנות ריבוע בעל שטח <math>\pi</math>. אם זה אפשרי, אז אורך צלע הריבוע, <math>\sqrt{\pi}</math>, יהיה בר בנייה. וזה בלתי אפשרי לפי המשפט לעיל כי <math>\sqrt{\pi}</math> לא אלגברי (וזאת משום שאחרת, <math>\pi</math> היה אלגברי).

			'''דוגמא:''' לא קשה לראות שניתן לבנות מצולע משוכלל עם <math>n</math> צלעות אם ורק אם <math>\rho_n=\exp(2\pi i/n)</math> בר בנייה. לפי המשפט, זה שקול לכך שהמימד של סגור גלואה של <math>\mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q}</math> מעל <math>\mathbb{Q}</math> הוא חזקת 2. היות ו-<math>\mathbb{Q}[\rho_n]/\mathbb{Q}</math> כבר גלואה, זה שקול לכך ש-<math>\varphi(n)=[\mathbb{Q}[\rho_n]:\mathbb{Q}]</math> הוא חזקת 2.

			מסקנה: לא ניתן לבנות מצולע משוכלל עם 7 צלעות כי <math>\varphi(7)=6</math> (שאינו חזקת 2). מצד שני, ניתן לבנות מצולע משוכלל עם 17 צלעות כי <math>\varphi(17)=16</math>.

Ufirst ב־16:53, 12 בפברואר 2012

2012-02-12T16:53:23Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:53, 12 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:

	== מבוא: בניות בעזרת סרגל ומחוגה ==		== מבוא: בניות בעזרת סרגל ומחוגה ==

שורה 23:		שורה 22:
	:3. בהינתן ישר L ונקודה P, לבנות מקביל ל-L העובר דרך P.		:3. בהינתן ישר L ונקודה P, לבנות מקביל ל-L העובר דרך P.
	:4. נתון קטע באורך 1, יש לבנות משולש שווה צלעות עם אורך צלע 1.		:4. נתון קטע באורך 1, יש לבנות משולש שווה צלעות עם אורך צלע 1.

			'''מעכשיו, כאשר נאמר שמשהו גיאומטרי הוא ''בר בנייה'' הכוונה היא שהוא בר בנייה בעזרת סרגל ומחוגה.'''

	== הגדרה ותכונות ==		== הגדרה ותכונות ==

	~~מעכשיו, כאשר נאמר שמשהו גיאומטרי הוא ''בר בנייה'' הכוונה היא שהוא בר בנייה בעזרת סרגל ומחוגה.~~

	קיימות מספר הגדרות שקולות למספרים ברי בנייה:		קיימות מספר הגדרות שקולות למספרים ברי בנייה:

Ufirst: /* הגדרה */

2012-02-12T16:52:18Z

הגדרה

@@ שורה 24: / שורה 24: @@
 :4. נתון קטע באורך 1, יש לבנות משולש שווה צלעות עם אורך צלע 1.
-== הגדרה ==
+== הגדרה ותכונות ==
-אינטואיטיבית, מספרים ברי בנייה הם מספרים שניתן לבנות באופן גיאומטרי בעזרת סרגל (ללא שנתות) ומחוגה ובהינתן קטע באורך 1. קיימות כמה הגדרות שקולות:
+מעכשיו, כאשר נאמר שמשהו גיאומטרי הוא ''בר בנייה'' הכוונה היא שהוא בר בנייה בעזרת סרגל ומחוגה.
-* מספר ממשי חיובי <math>r>0</math> נקרא בר בנייה אם, בהינתן קטע
+קיימות מספר הגדרות שקולות למספרים ברי בנייה:

Ufirst: יצירת דף עם התוכן " == מבוא: בניות בעזרת סרגל ומחוגה == משפחה מיוחדת של בעיות בגיאומרטיה אוקלידית היא ''בעיות בנ..."

2012-02-12T16:30:48Z

יצירת דף עם התוכן " == מבוא: בניות בעזרת סרגל ומחוגה == משפחה מיוחדת של בעיות בגיאומרטיה אוקלידית היא ''בעיות בנ..."

דף חדש

== מבוא: בניות בעזרת סרגל ומחוגה ==

משפחה מיוחדת של בעיות בגיאומרטיה אוקלידית היא ''בעיות בנייה''. לדוגמא:
* כיצד ניתן לצייר (באופן מדוייק) מחומש משוכלל?
* בהינתן מעגל במישור, כיצד ניתן למצוא (=לצייר) את המרכז שלו?
* בהינתן זווית במישור, כיצד ניתן לחלק אותה לשניים?
בעיות אלו ועוד רבות אחרות עניינו גיאומטריקנים כבר מלפני הספירה. לרשותם עמדו מספר כלים פשוטים: סרגל ומחוגה. '''אנו נניח כי הסרגל הוא ללא שנתות'''. בדיקה תראה כי אכן ניתן לבצע כל אחת מהמשימות שתוארו לעיל בעזרת הכלים הללו בלבד.

מבחינה מתמטית, אנו מתחילים עם מספר אובייקטים גיאומטריים שכבר בנויים לנו, ואנו רשאים לבנות מהם אובייקטים חדשים על ידי הפעולות הבאות:
* לבנות ("לסמן") את נקודות החיתוך בין:
:א. שני ישרים שכבר בנינו
:ב. ישר שבנינו ומעגל שבנינו
:ג. שני מעגלים שבנינו
* לבנות ישר העובר דרך שתי נקודות שכבר בנינו (את זה אפשר "לעשות עם סרגל").
* לבנות מעגל שמרכזו בנקודה שבנינו ושעובר דרך נקודה שבנינו (את זה אפשר "לעשות עם מחוגה").

'''הערה:''' שימו לב שבונים רק ישרים, נקודות ומעגלים. כל דבר אחר שבונים ניתן לתיאור כבנייה של ישרים\נקודות\מעגלים המקיימים תכונה מסויימת. לדוגמא: קטע הוא ישר ושתי נקודות עליו, זווית היא שני ישרים ונקודת החיתוך ביניהם. דוגמא אחרת: כשמדברים על בניית מחומש בעצם מתכוונים לבנייה של חמישה ישרים.

'''תרגיל:''' הראו איך לבצע את הבניות הבאות:
:1. בהינתן שתי נקודות, לבנות את אמצע הקטע המחבר אותן.
:2. בהיתן קטע AB, לבנות ישר המאונך ל-AB ועובר דרך A.
:3. בהינתן ישר L ונקודה P, לבנות מקביל ל-L העובר דרך P.
:4. נתון קטע באורך 1, יש לבנות משולש שווה צלעות עם אורך צלע 1.

== הגדרה ==

אינטואיטיבית, מספרים ברי בנייה הם מספרים שניתן לבנות באופן גיאומטרי בעזרת סרגל (ללא שנתות) ומחוגה ובהינתן קטע באורך 1. קיימות כמה הגדרות שקולות:

* מספר ממשי חיובי <math>r>0</math> נקרא בר בנייה אם, בהינתן קטע