משפט בולצאנו-ויירשטראס - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־06:54, 19 ביוני 2017

2017-06-19T06:54:43Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־06:54, 19 ביוני 2017
שורה 5:		שורה 5:
	ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n\Big]=0</math> .		ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n\Big]=0</math> .

	אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math> .)		אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>)


	נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף אברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף אברים מהסדרה.		נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף אברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף אברים מהסדרה.

	נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף אברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב- <math>I_2</math> . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף אברים.		נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף אברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה <math>I_2</math> . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף אברים.

	אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:		אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:
שורה 18:		שורה 18:
	*כל קטע מוכל בקודמו		*כל קטע מוכל בקודמו

	*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל- <math>\dfrac{M}{2^{n-2}}</math> . ברור שאורך הקטעים שואף ל- ~~<math>~~0~~</math> לכן-~~		*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה <math>\dfrac{M}{2^{n-2}}</math> . ברור שאורך הקטעים שואף ל-0


שורה 24:		שורה 24:


	*יהי <math>\~~epsilon~~>0</math> , רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\~~epsilon~~</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף אברים מהסדרה.		*יהי <math>\varepsilon>0</math> . רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף אברים מהסדרה.
	*כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל- ~~<math>~~0~~</math>~~ , יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\~~frac~~{\~~epsilon~~}{2}</math> .		*כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל-0, יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\dfrac{\varepsilon}{2}</math> .
	*לפי ההגדרה של <math>L</math> מהלמה של קנטור, <math>L</math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.		*לפי ההגדרה של <math>L</math> מהלמה של קנטור, <math>L</math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
	*לכן בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת <math>\~~epsilon~~</math> של <math>L</math> .		*לכן בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> .
	*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף ~~איברים~~ מהסדרה ולכן קיימים אינסוף אברים מהסדרה בסביבת <math>\~~epsilon~~</math> של <math>L</math> .		*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף אברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף אברים מהסדרה בסביבת <math>\varepsilon</math> של <math>L</math> .
			<math>\blacksquare</math>

	~~כפי שרצינו להוכיח.~~
	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

יהודה שמחה ב־16:27, 13 באוקטובר 2016

2016-10-13T16:27:48Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:27, 13 באוקטובר 2016
שורה 3:		שורה 3:

	==הוכחה==		==הוכחה==
	ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\~~lim_~~{n\to\infty}b_n-a_n =0</math> .		ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim\limits_{n\to\infty}\Big[b_n-a_n\Big]=0</math> .

	אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math> .)		אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math> .)


	נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף ~~איברים~~, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף ~~איברים~~ מהסדרה.		נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף אברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף אברים מהסדרה.

	נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף ~~איברים~~ מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב- <math>I_2</math> . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף ~~איברים~~.		נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף אברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב- <math>I_2</math> . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף אברים.

	אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2 \supseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:		אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:

	*כל קטע מכיל אינסוף ~~איברים~~ מהסדרה <math>a_n</math>		*כל קטע מכיל אינסוף אברים מהסדרה <math>a_n</math>

	*כל קטע מוכל בקודמו		*כל קטע מוכל בקודמו

	*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל- <math>\~~frac~~{M}{2^{n-2}}</math> . ברור שאורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> לכן-		*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל- <math>\dfrac{M}{2^{n-2}}</math> . ברור שאורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> לכן-


שורה 24:		שורה 24:


	*יהי <math>\epsilon>0</math> , רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף ~~איברים~~ מהסדרה.		*יהי <math>\epsilon>0</math> , רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף אברים מהסדרה.
	*כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל- <math>0</math> , יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\frac{epsilon}{2}</math> .		*כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל- <math>0</math> , יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\frac{\epsilon}{2}</math> .
	*לפי ההגדרה של <math>L</math> מהלמה של קנטור, <math>L</math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.		*לפי ההגדרה של <math>L</math> מהלמה של קנטור, <math>L</math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
	*לכן ~~בוודאי~~ הקטע הקטן מוכל בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> .		*לכן בודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> .
	*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף ~~איברים~~ מהסדרה בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> .		*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף אברים מהסדרה בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> .

	כפי שרצינו להוכיח.		כפי שרצינו להוכיח.
	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

יהודה שמחה ב־10:20, 8 בפברואר 2016

2016-02-08T10:20:26Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:20, 8 בפברואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	==משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות==		==משפט בולצאנו-ויירשטראס לסדרות==
	לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת		לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת

	==הוכחה==		==הוכחה==
	ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא יורדת, ו<math>b_n</math> מונוטונית לא עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ~~לאפס~~, כלומר <math>\lim_{n\~~rightarrow~~\infty}b_n-a_n =0</math>.		ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא-יורדת, ו- <math>b_n</math> מונוטונית לא-עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> , כלומר <math>\lim_{n\to\infty}b_n-a_n =0</math> .

	אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>.)		אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math> .)


	נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\~~leq~~ a_n \~~leq~~ M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). ~~כיוון~~ שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף איברים מהסדרה.		נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\le a_n\le M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף איברים מהסדרה.

	נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math>. '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב <math>I_2</math>. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.		נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math> . '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב- <math>I_2</math> . נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.

	אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2 \supseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:		אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2 \supseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:
שורה 18:		שורה 18:
	*כל קטע מוכל בקודמו		*כל קטע מוכל בקודמו

	*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. ~~כיוון~~ שאורך הקטע הראשון ~~הינו~~ 2M אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל<math>\frac{M}{2^{n-2}}</math>. ברור שאורך הקטעים שואף ~~לאפס~~ לכן.		*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיון שאורך הקטע הראשון הנו <math>2M</math> אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל- <math>\frac{M}{2^{n-2}}</math> . ברור שאורך הקטעים שואף ל- <math>0</math> לכן-


	לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה L. נוכיח כי L ~~הינו~~ גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי ~~הינו~~ קיום תת סדרה השואפת אליו).		לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה <math>L</math> . נוכיח כי <math>L</math> הנה גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הנו קיום תת-סדרה השואפת אליו).


	*יהי ~~אפסילון גדול מאפס~~, רוצים להוכיח כי בסביבת ~~אפסילון~~ של L ישנם אינסוף איברים מהסדרה.		*יהי <math>\epsilon>0</math> , רוצים להוכיח כי בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> ישנם אינסוף איברים מהסדרה.
	*~~כיוון~~ שאורך הקטעים שבנינו שואפים ~~לאפס~~, יש קטע שאורכו קטן ~~מאפסילון חלקי~~ 2.		*כיון שאורך הקטעים שבנינו שואפים ל- <math>0</math> , יש קטע שאורכו קטן מ- <math>\frac{epsilon}{2}</math> .
	*לפי ההגדרה של L מהלמה של קנטור, L מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.		*לפי ההגדרה של <math>L</math> מהלמה של קנטור, <math>L</math> מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
	*לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת ~~אפסילון~~ של L.		*לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> .
	*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת ~~אפסילון~~ של L.		*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת <math>\epsilon</math> של <math>L</math> .

	כפי שרצינו להוכיח.		כפי שרצינו להוכיח.

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו. ב־01:10, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T01:10:19Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:10, 15 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	~~חזרה ל[[משפטים/אינפי\|משפטים באינפי]]~~

	==משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות==		==משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות==
	לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת		לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת
שורה 33:		שורה 31:

	כפי שרצינו להוכיח.		כפי שרצינו להוכיח.

			[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו.: משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס הועבר למשפט בולצאנו-ויירשטראס

2012-02-15T00:56:50Z

משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס הועבר למשפט בולצאנו-ויירשטראס

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־00:56, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

ארז שיינר: /* הוכחה */

2012-02-07T15:46:15Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:46, 7 בפברואר 2012
שורה 14:		שורה 14:
	נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math>. '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב <math>I_2</math>. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.		נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math>. '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב <math>I_2</math>. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.

	אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\~~subseteq~~ I_2 \~~subseteq~~ \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:		אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\supseteq I_2 \supseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:

	*כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה <math>a_n</math>		*כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה <math>a_n</math>

ארז שיינר: /* משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות */

2011-11-04T20:49:15Z

משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:49, 4 בנובמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
			חזרה ל[[משפטים/אינפי\|משפטים באינפי]]

	==משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות==		==משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות==
	לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת		לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת

ארז שיינר: /* הוכחה */

2011-11-04T20:44:32Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:44, 4 בנובמבר 2011
שורה 3:		שורה 3:

	==הוכחה==		==הוכחה==
			ראשית, נזכר ב'''למה של קנטור'''. יהי <math>\{I_n\}</math> אוסף של קטעים סגורים <math>I_n=[a_n,b_n]</math> כך שכל אחד מוכל בקודמו (כלומר <math>a_n</math> מונוטונית לא יורדת, ו<math>b_n</math> מונוטונית לא עולה). עוד נניח כי אורך הקטעים שואף לאפס, כלומר <math>\lim_{n\rightarrow\infty}b_n-a_n =0</math>.

			אזי קיימת נקודה יחידה השייכת '''לכל''' הקטעים. (מתקיים באופן טבעי שנקודה זו שווה לגבול הסדרות <math>a_n,b_n</math>.)


			נביט כעת בסדרה חסומה <math>-M\leq a_n \leq M</math> (זכרו, הסדרה לא חייבת להיות בכל הקטע הזה, רק לא לצאת ממנו). כיוון שבסדרה ישנם אינסוף איברים, הקטע <math>I_1:=[-M,M]</math> מכיל אינסוף איברים מהסדרה.

			נביט כעת בשני חצאי הקטע <math>[-M,0],[0,M]</math>. '''בהכרח אחד מהם לפחות מכיל אינסוף איברים מהסדרה''' (וזה עיקר הרעיון של ההוכחה). נסמן את חצי הקטע הזה ב <math>I_2</math>. נחצה את הקטע הזה לשניים, ונבחר חצי שמכיל אינסוף איברים.

			אם כך, קיבלנו סדרה של קטעים <math>I_1\subseteq I_2 \subseteq \cdots</math> המקיימת את התכונות הבאות:

			*כל קטע מכיל אינסוף איברים מהסדרה <math>a_n</math>

			*כל קטע מוכל בקודמו

			*אורך כל קטע הוא חצי קודמו. כיוון שאורך הקטע הראשון הינו 2M אורך הקטע <math>I_n</math> שווה ל<math>\frac{M}{2^{n-2}}</math>. ברור שאורך הקטעים שואף לאפס לכן.


			לפי הלמה של קנטור, מתקיים כי יש נקודה המוכל '''בכל''' הקטעים הללו, נקרא לה L. נוכיח כי L הינו גבול חלקי של <math>a_n</math> ובכך נסיים את ההוכחה (שכן ההגדרה של גבול חלקי הינו קיום תת סדרה השואפת אליו).


			*יהי אפסילון גדול מאפס, רוצים להוכיח כי בסביבת אפסילון של L ישנם אינסוף איברים מהסדרה.
			*כיוון שאורך הקטעים שבנינו שואפים לאפס, יש קטע שאורכו קטן מאפסילון חלקי 2.
			*לפי ההגדרה של L מהלמה של קנטור, L מוכל בכל הקטעים שבנינו ובפרט בקטע הקטן הזה.
			*לכן בוודאי הקטע הקטן מוכל בסביבת אפסילון של L.
			*אבל אחת התכונות של הקטעים שבנינו היא שהם מכילים אינסוף איברים מהסדרה ולכן קיימים אינסוף איברים מהסדרה בסביבת אפסילון של L.

			כפי שרצינו להוכיח.

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "==משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות== לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת ==הוכחה=="

2011-11-04T20:27:46Z

יצירת דף עם התוכן "==משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות== לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת ==הוכחה=="

דף חדש

==משפט בולצאנו ויירשטראס לסדרות==
לכל סדרה חסומה יש תת סדרה מתכנסת

==הוכחה==