משפט הדרגה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־14:09, 2 בספטמבר 2018

2018-09-02T14:09:41Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:09, 2 בספטמבר 2018
שורה 2:		שורה 2:

	=משפט הדרגה=		=משפט הדרגה=
	יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\~~rightarrow~~ W</math>. אזי מתקיים:		יהיו <math>V,W</math> מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\to W</math> . אזי מתקיים:
			:<math>\dim(\ker T)+\dim(\Im T)=\dim(V)</math>
	::<math>dim(~~kerT~~)+dim(~~ImT~~)=dim(V)</math>

	=הוכחה=		=הוכחה=
	נסמן את הבסיס לגרעין ב-<math>\{v_1,~~...~~,v_k\}</math>.		נסמן את הבסיס לגרעין ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> .

	נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-V, נסמנו ב- <math>\{v_1,~~...~~,v_k,u_1,~~...~~,u_p\}</math>.		נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־<math>V</math> , נסמנו <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\}</math> .

	נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,~~...~~,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.		נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

	===E פורש את ImT===		===E פורש את ImT===
	כיוון שכל וקטור ב-V ~~הינו~~ צירוף לינארי של ~~איברי~~ הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות ~~איברי~~ הבסיס.		כיוון שכל וקטור ב־<math>V</math> הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, <math>T</math> שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.

	לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-V התמונות של ~~איברי~~ הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T.		לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־<math>V</math> התמונות של אברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של <math>T</math> .

	כלומר, <math>~~ImT~~=span\{Tv_1,~~...~~,Tv_k,Tu_1,~~...~~,Tu_p\}</math>.		כלומר <math>\Im T=\text{span}\{Tv_1,\ldots,Tv_k,Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> .


	ברור כי <math>Tv_1=~~...~~=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,~~...~~,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).		ברור כי <math>Tv_1=\cdots=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,\ldots,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).

	לכן מתקיים <math>~~ImT~~=span\{Tu_1,~~...~~,Tu_p\}</math>.		לכן מתקיים <math>\Im T=\text{span}\{Tu_1,\ldots,Tu_p\}</math> .

	===E בת"ל===		===E בת"ל===
			ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי <math>E</math> :
	ניקח צירוף לינארי מתאפס של ~~איברי~~ E:		:<math>a_1Tu_1+\cdots+a_pTu_p=0</math>

	::<math>a_1Tu_1+~~...~~+a_pTu_p=0</math>

	לכן		לכן
			:<math>T(a_1u_1+\cdots+a_pu_p)=0</math>
	::<math>T(a_1u_1+~~...~~+a_pu_p)=0</math>

	לכן		לכן
			:<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p\in\ker T</math>
			ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו
			:<math>a_1u_1+\cdots+a_pu_p=b_1v_1+\cdots+b_kv_k</math>
			נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של <math>V</math> , ולכן כל המקדמים הם 0.

	::<math>~~a_1u_1+...+a_pu_p\in kerT~~</math>		לכן <math>E</math> בת"ל.

	~~ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש:~~

	~~::<math>a_1u_1+...+a_pu_p=b_1v_1+...+b_kv_k</math>~~

	~~נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס~~

	~~לכן E~~ בת"ל.


	~~===ספירת מימדים וסיכום===~~
	~~הוכחנו, אפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.~~

	~~::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math>~~

			===ספירת ממדים וסיכום===
			הוכחנו אפוא, כי <math>E</math> הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.
			:<math>\dim(V)=k+p=\dim(\ker T)+\dim(\Im T)</math>

	[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]		[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

עוזי ו. ב־00:35, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T00:35:00Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:35, 15 בפברואר 2012
שורה 52:		שורה 52:

	::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math>		::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math>


			[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

עוזי ו.: משפטים/לינארית/משפט הדרגה הועבר למשפט הדרגה

2012-02-15T00:34:19Z

משפטים/לינארית/משפט הדרגה הועבר למשפט הדרגה

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־00:34, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

ארז שיינר: /* משפט הדרגה */

2011-11-04T20:50:35Z

משפט הדרגה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:50, 4 בנובמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
			חזרה ל[[משפטים/לינארית\|משפטים בלינארית]]

	=משפט הדרגה=		=משפט הדרגה=
	יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math>. אזי מתקיים:		יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math>. אזי מתקיים:

ארז שיינר: /* ספירת מימדים וסיכום */

2011-09-16T13:12:45Z

ספירת מימדים וסיכום

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:12, 16 בספטמבר 2011
שורה 47:		שורה 47:

	===ספירת מימדים וסיכום===		===ספירת מימדים וסיכום===
	הוכחנו, ~~איפוא~~, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.		הוכחנו, אפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.

	::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math>		::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math>

ארז שיינר: /* הוכחה */

2011-09-15T18:47:47Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:47, 15 בספטמבר 2011
שורה 5:		שורה 5:

	=הוכחה=		=הוכחה=
			נסמן את הבסיס לגרעין ב-<math>\{v_1,...,v_k\}</math>.

			נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-V, נסמנו ב- <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\}</math>.

			נוכיח כי <math>E=\{Tu_1,...,Tu_p\}</math> בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.

			===E פורש את ImT===
			כיוון שכל וקטור ב-V הינו צירוף לינארי של איברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות איברי הבסיס.

			לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-V התמונות של איברי הבסיס '''פורשות''' (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T.

			כלומר, <math>ImT=span\{Tv_1,...,Tv_k,Tu_1,...,Tu_p\}</math>.


			ברור כי <math>Tv_1=...=Tv_k=0</math> (הרי בחרנו את <math>v_1,...,v_k</math> להיות בסיס לגרעין).

			לכן מתקיים <math>ImT=span\{Tu_1,...,Tu_p\}</math>.

			===E בת"ל===

			ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי E:

			::<math>a_1Tu_1+...+a_pTu_p=0</math>

			לכן

			::<math>T(a_1u_1+...+a_pu_p)=0</math>

			לכן

			::<math>a_1u_1+...+a_pu_p\in kerT</math>

			ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש:

			::<math>a_1u_1+...+a_pu_p=b_1v_1+...+b_kv_k</math>

			נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס

			לכן E בת"ל.


			===ספירת מימדים וסיכום===
			הוכחנו, איפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.

			::<math>dim(V)=k+p=dim(kerT)+dim(ImT)</math>

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "=משפט הדרגה= יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית $T:V\rightarrow W$ . אזי מתקיים: :: $di..."$

2011-09-15T18:36:42Z

יצירת דף עם התוכן "=משפט הדרגה= יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math>. אזי מתקיים: ::<math>di..."

דף חדש

=משפט הדרגה=
יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית <math>T:V\rightarrow W</math>. אזי מתקיים:

::<math>dim(kerT)+dim(ImT)=dim(V)</math>

=הוכחה=