משפט ההגדרה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־18:16, 27 בפברואר 2021

2021-02-27T18:16:57Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:16, 27 בפברואר 2021
שורה 2:		שורה 2:

	=משפט ההגדרה=		=משפט ההגדרה=
	יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{~~v_1~~,\ldots,~~v_n~~\}</math> בסיס ל־<math>V</math> . יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>~~w_1~~,\ldots,~~w_n~~</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)		יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math>.

			יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>\mathbf{w}_1,\ldots,\mathbf{w}_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים).

	אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:		אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
	:<math>\begin{align}~~Tv_1~~&=~~w_1~~\\&\vdots\\~~Tv_n~~&=~~w_n~~\end{align}</math>		:<math>\begin{align}T(\mathbf{v}_1)&=\mathbf{w}_1\\&\vdots\\T(\mathbf{v}_n)&=\mathbf{w}_n\end{align}</math>

	=הוכחה=		=הוכחה=
	יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>		יהי <math>\mathbf{v}\in V</math>. אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>
	:<math>v=~~a_1v_1~~+\cdots+~~a_nv_n~~</math>		:<math>\mathbf{v}=a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n</math>
	לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי		לכן ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי
	:<math>Tv=~~a_1w_1~~+\cdots+~~a_nw_n~~</math>		:<math>T(\mathbf{v})=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n</math>
	קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>~~Tv_i~~=~~w_i~~</math>).		קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>T(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>).

	נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>~~Sv_i~~=~~w_i~~</math>), מתקיים:		נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>S(\mathbf{v}_i)=\mathbf{w}_i</math>), מתקיים:
	:<math>\~~forall~~ v~~\in V:Sv~~=S(~~a_1v_1~~+\cdots+~~a_nv_n~~)=~~a_1Sv_1~~+\cdots+~~a_nSv_n~~=~~a_1w_1~~+\cdots+~~a_nw_n~~=Tv</math>		:<math>\begin{align}S(\mathbf{v})&=S(a_1\mathbf{v}_1+\cdots+a_n\mathbf{v}_n)\\&=a_1S(\mathbf{v}_1)+\cdots+a_nS(\mathbf{v}_n)\\&=a_1\mathbf{w}_1+\cdots+a_n\mathbf{w}_n\\&=T(\mathbf{v})\end{align}</math>
	ולכן <math>S=T</math> .		ולכן <math>S=T</math>.

	[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]		[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

יהודה שמחה ב־14:22, 2 בספטמבר 2018

2018-09-02T14:22:17Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:22, 2 בספטמבר 2018
שורה 2:		שורה 2:

	=משפט ההגדרה=		=משפט ההגדרה=
	יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,~~...~~,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,~~...~~,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)		יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,\ldots,v_n\}</math> בסיס ל־<math>V</math> . יהי <math>W</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,\ldots,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)

	אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\~~rightarrow~~ W</math> המקיימת:		אזי '''קיימת''' העתקה לינארית '''יחידה''' <math>T:V\to W</math> המקיימת:
			:<math>\begin{align}Tv_1&=w_1\\&\vdots\\Tv_n&=w_n\end{align}</math>
	<math>Tv_1=w_1~~</math>~~

	~~<math>Tv_2=w_2</math>~~

	~~:<math>~~\vdots~~</math>~~

	~~<math>~~Tv_n=w_n</math>

	=הוכחה=		=הוכחה=
	יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B		יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס <math>B</math>
			:<math>v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math>
	::<math>v=a_1v_1+~~...~~+a_nv_n</math>.		לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה <math>T</math> על ידי
			:<math>Tv=a_1w_1+\cdots+a_nw_n</math>
	לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי		קל מאד להראות כי <math>T</math> המוגדרת לעיל הנה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).

	::<math>Tv=a_1w_1+~~...~~+a_nw_n</math>.


	קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל ~~הינה~~ העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).


	~~נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:~~

	~~::<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n=Tv</math>~~

	ולכן S=T.		נותר להוכיח כי <math>T</math> יחידה. אמנם, אם <math>S</math> העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:
			:<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+\cdots+a_nv_n)=a_1Sv_1+\cdots+a_nSv_n=a_1w_1+\cdots+a_nw_n=Tv</math>
			ולכן <math>S=T</math> .

	[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]		[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

עוזי ו. ב־00:35, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T00:35:17Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:35, 15 בפברואר 2012
שורה 32:		שורה 32:

	ולכן S=T.		ולכן S=T.

			[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

עוזי ו.: משפטים/לינארית/משפט ההגדרה הועבר למשפט ההגדרה

2012-02-15T00:34:10Z

משפטים/לינארית/משפט ההגדרה הועבר למשפט ההגדרה

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־00:34, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

ארז שיינר: /* משפט ההגדרה */

2011-11-04T20:50:18Z

משפט ההגדרה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:50, 4 בנובמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
			חזרה ל[[משפטים/לינארית\|משפטים בלינארית]]

	=משפט ההגדרה=		=משפט ההגדרה=
	יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,...,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)		יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,...,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)

ארז שיינר: /* הוכחה */

2011-09-15T18:35:05Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:35, 15 בספטמבר 2011
שורה 13:		שורה 13:

	=הוכחה=		=הוכחה=
			יהי <math>v\in V</math> אזי קיימת הצגה יחידה שלו לפי הבסיס B

			::<math>v=a_1v_1+...+a_nv_n</math>.

			לכן, ניתן להגדיר היטב העתקה T על ידי

			::<math>Tv=a_1w_1+...+a_nw_n</math>.


			קל מאד להראות כי T המוגדרת לעיל הינה העתקה לינארית וגם מקיימת את המשוואות במשפט (כלומר <math>Tv_i=w_i</math>).


			נותר להוכיח כי T יחידה. אמנם, אם S העתקה לינארית המקיימת את המשוואות מהמשפט (כלומר <math>Sv_i=w_i</math>), מתקיים:

			::<math>\forall v\in V:Sv=S(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1Sv_1+...+a_nSv_n=a_1w_1+...+a_nw_n=Tv</math>

			ולכן S=T.

ארז שיינר: /* משפט ההגדרה */

2011-09-15T18:29:52Z

משפט ההגדרה

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 =משפט ההגדרה=
 יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,...,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)
 =הוכחה=

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "=משפט ההגדרה= יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי $B=\{v_1,...,v_n\}$ בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו
2011-09-15T18:23:19Z

יצירת דף עם התוכן "=משפט ההגדרה= יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <ma..."

דף חדש
=משפט ההגדרה=
יהי V מ"ו נוצר סופית, ויהי <math>B=\{v_1,...,v_n\}</math> בסיס ל-V. יהי W מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>w_1,...,w_n</math> וקטורים '''כלשהם''' (לא בהכרח שונים)

=הוכחה=