משפט המימדים - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־13:38, 2 בספטמבר 2018

2018-09-02T13:38:35Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:38, 2 בספטמבר 2018
שורה 1:		שורה 1:
	חזרה ל[[משפטים/לינארית\|משפטים בלינארית]]		חזרה ל[[משפטים/לינארית\|משפטים בלינארית]]

	=משפט ~~המימדים~~=		=משפט הממדים=
	יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> ~~תתי-מרחב~~ של <math>V</math> . אזי:		יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תת־מרחבים של <math>V</math> . אזי:

	:<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>		:<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>

	=הוכחה=		=הוכחה=
	נסמן את הבסיס ל- <math>U\cap W</math> ב- <math>~~\{v_1,v_2,\dots,v_k\}</math> .~~		נסמן את הבסיס ל־<math>U\cap W</math> ב־<math>\{v_1,\ldots,v_k\}</math> .

	~~כיון ש- <math>U\cap W\subseteq U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- <math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל- <math>W</math> .~~

	~~נסמן את הבסיסים ב- <math>\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p\},\{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_m\}</math> .~~

	~~נסמן את איחוד הבסיסים ב- <math>B=~~\{v_1,\~~dots~~,v_k~~,u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_m~~\}~~</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל- <math>U+W~~</math> .

	~~===<math>B</math> פורש את <math>U+W</math>===~~
	יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>.

	~~ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math>~~

	~~===<math>B</math> בת"ל===~~
	~~ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:~~

	~~:<math>a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mw_m=0</math>.~~


	~~נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mw_m</math>~~


	~~ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U \and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>~~

	~~לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך~~, <math>~~v=d_1v_1+...+d_kv_k~~</math>.		כיון ש־<math>U\cap W\sube U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־<math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל־<math>W</math> .

	~~כמו כן~~, ~~ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:~~		נסמן את הבסיסים <math>\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p\},\{v_1,\ldots,v_k,w_1,\ldots,w_m\}</math> .

	::<math>v=~~d_1v_1+...+d_kv_k+0~~\~~cdot~~ u_1~~+...+0~~\~~cdot~~ u_p ~~= a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1~~+~~...+b_pu_p~~</math>		נסמן את איחוד הבסיסים <math>B=\{v_1,\ldots,v_k,u_1,\ldots,u_p,w_1,\ldots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל־<math>U+W</math> .

	~~ולכן~~ <math>~~b_1=b_2=..~~.=~~b_p=0~~</math>.		===B פורש את U+W===
			יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים
			:<math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>
			ברור אם כך כי <math>u+w\in\text{span}(B)</math>

			===B בת"ל===
			ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי <math>B</math> :
			:<math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1w_1+\cdots+c_mw_m=0</math>
			נסמן <math>v=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p=-c_1w_1-\cdots-c_mw_m</math>

	~~כעת קיבלנו~~ כי <math>~~a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0~~</math>,		ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U\and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>

	~~אבל זה צירוף~~ לינארי של ~~איברי~~ הבסיס ~~של W ולכן הוא טריוויאלי~~.		לכן ל־<math>v</math> יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k</math> .

			כמו כן, ל־<math>v</math> יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>U</math> ולכן מתקיים:
			:<math>v=d_1v_1+\cdots+d_kv_k+0\cdot u_1+\cdots+0\cdot u_p=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p</math>
			ולכן <math>b_1=\cdots=b_p=0</math> .

	~~מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.~~		כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k+c_1w_1+\cdots+c_mu_m=0</math> ,

	~~===ספירת מימדים וסיכום===~~		אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של <math>W</math> ולכן הוא טריוויאלי.

	~~מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:~~		מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי <math>B</math> הנו הטריוויאלי ולכן <math>B</math> בת"ל.

	<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>		===ספירת ממדים וסיכום===
			מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:
			:<math>\dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>

	[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]		[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

540414454: /* B בת"ל */

2018-08-30T07:56:55Z

B בת"ל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־07:56, 30 באוגוסט 2018
שורה 23:		שורה 23:
	ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:		ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:

	:<math>a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+~~c_mu_m~~=0</math>.		:<math>a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mw_m=0</math>.

Erez1: /* B בת"ל */

2017-03-04T14:09:25Z

B בת"ל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:09, 4 במרץ 2017
שורה 26:		שורה 26:


	נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-~~c_mu_m~~</math>		נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mw_m</math>

יהודה שמחה ב־18:02, 27 בפברואר 2016

2016-02-27T18:02:38Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:02, 27 בפברואר 2016
שורה 2:		שורה 2:

	=משפט המימדים=		=משפט המימדים=
	יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי:		יהי <math>V</math> מ"ו נוצר סופית ויהיו <math>U,W</math> תתי-מרחב של <math>V</math> . אזי:

	:<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>		:<math>\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)</math>

	=הוכחה=		=הוכחה=
			נסמן את הבסיס ל- <math>U\cap W</math> ב- <math>\{v_1,v_2,\dots,v_k\}</math> .

	~~נסמן את הבסיס ל~~ <math>U\cap W</math> ב <math>~~\{v_1,v_2,...,v_k\}~~</math>.		כיון ש- <math>U\cap W\subseteq U,W</math> , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל- <math>U</math> ובאופן דומה לבסיס ל- <math>W</math> .

	~~כיוון ש~~<math>U\~~cap W~~ \~~subseteq U~~,W</math>~~, ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס לU ובאופן דומה לבסיס לW~~.		נסמן את הבסיסים ב- <math>\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p\},\{v_1,\dots,v_k,w_1,\dots,w_m\}</math> .

	נסמן את הבסיסים ב <math>\{v_1,~~...~~,v_k,u_1,~~...~~,u_p~~\},\{v_1,...,v_k~~,w_1,~~...~~,w_m\}</math>.		נסמן את איחוד הבסיסים ב- <math>B=\{v_1,\dots,v_k,u_1,\dots,u_p,w_1,\dots,w_m\}</math> , ונוכיח כי <math>B</math> הנו בסיס ל- <math>U+W</math> .

	~~נסמן את איחוד הבסיסים ב~~ <math>B~~=\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p,w_1,...,w_m\}~~</math>~~, ונוכיח כי B הינו בסיס לU+W.~~		===<math>B</math> פורש את <math>U+W</math>===
			יהי <math>u+w\in U+W</math> . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+\cdots+a_kv_k+b_1u_1+\cdots+b_pu_p+c_1v_1+\cdots+c_kv_k+d_1w_1+\cdots+d_mw_m</math>.
	~~===B~~ פורש את U+W===

	יהי <math>u+w\in U+W</math>. אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+~~...~~+a_kv_k+b_1u_1+~~...~~+b_pu_p+c_1v_1+~~...~~+c_kv_k+d_1w_1+~~...~~+d_mw_m</math>.

	ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math>		ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math>

	===B בת"ל===		===<math>B</math> בת"ל===

	ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:		ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:

עוזי ו. ב־00:35, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T00:35:32Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:35, 15 בפברואר 2012
שורה 55:		שורה 55:

	<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>		<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>

			[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]

עוזי ו.: משפטים/לינארית/משפט המימדים הועבר למשפט המימדים

2012-02-15T00:33:59Z

משפטים/לינארית/משפט המימדים הועבר למשפט המימדים

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־00:33, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

Theanonymous: /* B בת"ל */

2011-12-06T11:11:23Z

B בת"ל

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:11, 6 בדצמבר 2011
שורה 38:		שורה 38:
	כמו כן, ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:		כמו כן, ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:

	::<math>v=~~d_1v+1~~+...+~~d_ku_k~~+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p</math>		::<math>v=d_1v_1+...+d_kv_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p</math>

	ולכן <math>b_1=b_2=...=b_p=0</math>.		ולכן <math>b_1=b_2=...=b_p=0</math>.

ארז שיינר: /* משפט המימדים */

2011-11-04T20:49:59Z

משפט המימדים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:49, 4 בנובמבר 2011
שורה 1:		שורה 1:
			חזרה ל[[משפטים/לינארית\|משפטים בלינארית]]

	=משפט המימדים=		=משפט המימדים=
	יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי:		יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי:

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "=משפט המימדים= יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי: : $dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)$ =ה..."

2011-09-15T18:17:58Z

יצירת דף עם התוכן "=משפט המימדים= יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי: :<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math> =ה..."

דף חדש

=משפט המימדים=
יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי:

:<math>dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>

=הוכחה=

נסמן את הבסיס ל <math>U\cap W</math> ב <math>\{v_1,v_2,...,v_k\}</math>.

כיוון ש<math>U\cap W \subseteq U,W</math>, ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס לU ובאופן דומה לבסיס לW.

נסמן את הבסיסים ב <math>\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p\},\{v_1,...,v_k,w_1,...,w_m\}</math>.

נסמן את איחוד הבסיסים ב <math>B=\{v_1,...,v_k,u_1,...,u_p,w_1,...,w_m\}</math>, ונוכיח כי B הינו בסיס לU+W.

===B פורש את U+W===

יהי <math>u+w\in U+W</math>. אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים, <math>u+w=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1v_1+...+c_kv_k+d_1w_1+...+d_mw_m</math>.

ברור אם כך כי <math>u+w\in span(B)</math>

===B בת"ל===

ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של איברי B:

:<math>a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p+c_1w_1+...+c_mu_m=0</math>.

נסמן <math>v=a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p=-c_1w_1-...-c_mu_m</math>

ברור משני אגפי המשוואה כי <math>v\in U \and v\in W</math> ולכן <math>v\in U\cap W</math>

לכן ל-v יש הצגה כצירוף לינארי של איברי הבסיס לחיתוך, <math>v=d_1v_1+...+d_kv_k</math>.

כמו כן, ל-v יש הצגה '''יחידה''' כצירוף לינארי של איברי הבסיס של U ולכן מתקיים:

::<math>v=d_1v+1+...+d_ku_k+0\cdot u_1+...+0\cdot u_p = a_1v_1+...+a_kv_k+b_1u_1+...+b_pu_p</math>

ולכן <math>b_1=b_2=...=b_p=0</math>.

כעת קיבלנו כי <math>a_1v_1+...+a_kv_k+c_1w_1+...+c_mu_m=0</math>,

אבל זה צירוף לינארי של איברי הבסיס של W ולכן הוא טריוויאלי.

מכאן שהצירוף הלינארי היחיד שמתאפס של איברי B הינו הטריוויאלי ולכן B בת"ל.

===ספירת מימדים וסיכום===

מצאנו, איפוא, בסיסים לכל תתי המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת:

<math>dim(U+W)=k+p+m=k+p+k+m-k=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)</math>

משפט המימדים - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־13:38, 2 בספטמבר 2018

540414454: /* B בת"ל */

Erez1: /* B בת"ל */

יהודה שמחה ב־18:02, 27 בפברואר 2016

עוזי ו. ב־00:35, 15 בפברואר 2012

עוזי ו.: משפטים/לינארית/משפט המימדים הועבר למשפט המימדים

Theanonymous: /* B בת"ל */

ארז שיינר: /* משפט המימדים */

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "=משפט המימדים= יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי: :dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W) =ה..."

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "=משפט המימדים= יהי V מ"ו נוצר סופית ויהיו U,W תתי מרחב של V. אזי: : $dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-dim(U\cap W)$ =ה..."