משפט פרמה (אינפי) - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־11:39, 7 ביוני 2016

2016-06-07T11:39:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:39, 7 ביוני 2016
שורה 4:		שורה 4:
	:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)		:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)
	'''או'''		'''או'''
	:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\~~geq~~ f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)		:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\ge f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)

	אזי <math>x_0</math> הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math> .		אזי <math>x_0</math> הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math> .

	==משפט פרמה==		==משפט פרמה==
	תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> מתקיים:		תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math> . אזי אם <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> מתקיים:

	:<math>f'(x_0)=0</math>		:<math>f'(x_0)=0</math>

	===הוכחה===		===הוכחה===
	נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:		נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
			:<math>\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>

	~~:<math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)~~-~~f(x_0)}{x-x_0}=L</math>~~		לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.

	~~לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.~~		לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math> .

	לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math>, וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>.

	לכן ביחד, מתקיים כי		לכן ביחד, מתקיים כי

	:<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math>		:<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math>
			באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math> , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math> .

	באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math>, וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math>.		לכן ביחד, מתקיים כי

	לכן ביחד, מתקיים כי

	:<math>L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0</math>		:<math>L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0</math>

יהודה שמחה ב־00:07, 27 בינואר 2016

2016-01-27T00:07:35Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־00:07, 27 בינואר 2016
שורה 1:		שורה 1:
	==הגדרת נקודת קיצון מקומית==		==הגדרת נקודת קיצון מקומית==
	תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל ~~x בסביבה מתקיים:~~		תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל <math>x</math> בסביבה מתקיים:

	::<math>~~\forall~~ x~~\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\leq f(x_0)~~</math> ~~(נקודת מקסימום מקומי)~~

			:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\le f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)
	'''או'''		'''או'''
			:<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)

	~~::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)~~		אזי <math>x_0</math> הנה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math> .


	אזי <math>x_0</math> ~~הינה~~ '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math>.

	==משפט פרמה==		==משפט פרמה==

	תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> מתקיים:		תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> מתקיים:

	::<math>f'(x_0)=0</math>		:<math>f'(x_0)=0</math>

	===הוכחה===		===הוכחה===
			נניח כי <math>f</math> גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:

	~~נניח כי f גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי~~ <math>x_0</math> ~~(ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:~~		:<math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>

	~~::<math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>~~		לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.

	~~לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.~~		לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math>, וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>.

	לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\~~leq~~ 0</math>, ~~וכיוון~~ שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>.

	לכן ביחד, מתקיים כי		לכן ביחד, מתקיים כי

	::<math>L=\lim_{x\~~rightarrow~~ x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\~~leq~~ 0</math>		:<math>L=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0</math>

	באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\~~leq~~ 0</math>, ~~וכיוון~~ שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math>.		באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\le 0</math>, וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math>.

	לכן ביחד, מתקיים כי		לכן ביחד, מתקיים כי

	::<math>L=\lim_{x\~~rightarrow~~ x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\~~geq~~ 0</math>		:<math>L=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0</math>


	~~סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו.~~

	=~~= ראו גם ==~~		סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>

	* [[משפט רול]]		==ראו גם==
	* [[משפט לגראנז' (אינפי)\|משפט לגראנז']]		*[[משפט רול]]
			*[[משפט לגראנז' (אינפי)\|משפט לגראנז']]

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

ארז שיינר: /* ראו גם */

2012-02-15T13:53:05Z

ראו גם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:53, 15 בפברואר 2012
שורה 43:		שורה 43:

	* [[משפט רול]]		* [[משפט רול]]
	* [[משפט ~~לגרנאז~~' (אינפי)\|משפט ~~לגרנאז~~']]		* [[משפט לגראנז' (אינפי)\|משפט לגראנז']]

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו. ב־01:01, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T01:01:24Z

@@ שורה 40: / שורה 40: @@
 סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו.
-==משפט רול==
+* [[משפט רול]]
+* [[משפט לגרנאז' (אינפי)|משפט לגרנאז']]
 [[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו. ב־01:00, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T01:00:39Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:00, 15 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	~~[[משפטים/אינפי\|חזרה למשפטים באינפי]]~~

	==הגדרת נקודת קיצון מקומית==		==הגדרת נקודת קיצון מקומית==
	תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה מתקיים:		תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה מתקיים:
שורה 86:		שורה 84:

	כפי שרצינו.		כפי שרצינו.

			[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו.: משפטים/אינפי/פרמה, רול לגראנז הועבר למשפט פרמה (אינפי)

2012-02-15T00:58:33Z

משפטים/אינפי/פרמה, רול לגראנז הועבר למשפט פרמה (אינפי)

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־00:58, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

ארז שיינר: /* משפט פרמה */

2012-02-02T09:15:13Z

משפט פרמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:15, 2 בפברואר 2012
שורה 41:		שורה 41:

	סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו.		סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו.


			==משפט רול==

			תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math>.

			אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=0</math>


			===הוכחה===
			נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.

			לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. נניח בשלילה שגם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש<math>f(a)=f(b)</math> אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.

			אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.


			==משפט לגראנז'==
			תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>.

			אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>


			===הוכחה===

			נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>(a,f(a)),(b,f(b))</math>:

			::<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>

			נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצוייה.


			::<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)</math>


			קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו-g מקיימת את שאר תנאיי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:


			::<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

			כלומר

			::<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

			כפי שרצינו.

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==הגדרת נקודת קיצון מקומית== תהי $f$ מוגדרת בסביבת ..."

2012-02-02T08:57:37Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==הגדרת נקודת קיצון מקומית== תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת ..."

דף חדש

[[משפטים/אינפי|חזרה למשפטים באינפי]]

==הגדרת נקודת קיצון מקומית==
תהי <math>f</math> מוגדרת בסביבת הנקודה <math>x_0</math> כך שלכל x בסביבה מתקיים:

::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\leq f(x_0)</math> (נקודת מקסימום מקומי)

'''או'''

::<math>\forall x\in(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon):f(x)\geq f(x_0)</math> (נקודת מינימום מקומי)

אזי <math>x_0</math> הינה '''נקודת קיצון מקומית''' של <math>f</math>.

==משפט פרמה==

תהי <math>x_0</math> נקודת קיצון מקומית של פונקציה <math>f</math>. אזי אם <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> מתקיים:

::<math>f'(x_0)=0</math>

===הוכחה===

נניח כי f גזירה בנקודת '''מקסימום''' מקומי <math>x_0</math> (ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:

::<math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math>

לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.

לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq 0</math>, וכיוון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם <math>x-x_0>0</math>.

לכן ביחד, מתקיים כי

::<math>L=\lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0</math>

באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של <math>x_0</math> בה מתקיים <math>f(x)-f(x_0)\leq 0</math>, וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם <math>x-x_0<0</math>.

לכן ביחד, מתקיים כי

::<math>L=\lim_{x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0</math>

סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו.