משפט קנטור על רציפות במידה שווה - היסטוריית גרסאות

יהודה שמחה ב־20:06, 17 באוגוסט 2016

2016-08-17T20:06:07Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:06, 17 באוגוסט 2016
שורה 1:		שורה 1:
	==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש==		==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש==
	פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש		פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש.

	==הוכחה==		==הוכחה==
	תהי f רציפה על קטע סגור וסופי <math>[a,b]</math>. נניח בשלילה שהיא '''לא''' רציפה שם במ"ש. לכן קיים ~~אפסילון גדול מאפס~~, כך שלכל ~~דלתא גדול מאפס,~~ יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות		תהי <math>f</math> רציפה על קטע סגור וסופי <math>[a,b]</math> . נניח בשלילה שהיא '''לא'''-רציפה שם במ"ש. לכן קיים <math>\epsilon>0</math> , כך שלכל <math>\delta>0</math> יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות
			:<math>x_n,y_n</math>
	::<math>x_n,y_n</math>

	כך שמתקיים		כך שמתקיים
			:<math>x_n-y_n\to 0</math>
	::<math>x_n-y_n\~~rightarrow~~ 0</math>

	אבל		אבל
			:<math>\Big\|f(x_n)-f(y_n)\Big\|\ge\epsilon</math>
			לפי משפט [[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס\|בולצאנו-ויירשטראס לסדרות]], יש ל- <math>x_n</math> תת-סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> (כיון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).

	~~::<math>\|f(x_n)-f(y_n)\|\geq \epsilon</math>~~		בנוסף, לתת הסדרה <math>y_{n_k}</math> יש תת-סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות '''מתכנסות''' המקיימות את התנאים:
			:<math>x'_n-y'_n\to 0</math>
			:<math>\Big\|f(x'_n)-f(y'_n)\Big\|\ge\epsilon</math>
	לפי משפט [[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס\|בולצאנו-ויירשטראס לסדרות]], יש ל<math>x_n</math> תת סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> (כיוון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).		אבל '''כיון שזהו קטע סגור''', נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ל-0). לכן, לפי רציפות,
			:<math>\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)</math>
	בנוסף, לתת הסדרה <math>y_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות '''מתכנסות''' המקיימות את התנאים:		בסתירה. <math>\blacksquare</math>

	::<math>x'_n-y'_n\~~rightarrow~~ 0</math>

	::<math>\|f(x'_n)-f(y'_n)\|\~~geq~~ \epsilon</math>


	אבל '''~~כיוון שזה~~ קטע סגור''', נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף ~~לאפס~~). לכן, לפי רציפות,

	::<math>\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)</math>

	בסתירה.

	[[קטגוריה:אינפי]]		[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו. ב־01:00, 15 בפברואר 2012

2012-02-15T01:00:16Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־01:00, 15 בפברואר 2012
שורה 1:		שורה 1:
	~~חזרה ל[[משפטים/אינפי\|משפטים באינפי]]~~

	==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש==		==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש==
	פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש		פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש
שורה 32:		שורה 30:

	בסתירה.		בסתירה.

			[[קטגוריה:אינפי]]

עוזי ו.: משפטים/אינפי/קנטור הועבר למשפט קנטור על רציפות במידה שווה

2012-02-15T00:58:05Z

משפטים/אינפי/קנטור הועבר למשפט קנטור על רציפות במידה שווה

→ הגרסה הקודמת	גרסה מ־00:58, 15 בפברואר 2012
(אין הבדלים)

ארז שיינר: /* הוכחה */

2012-01-10T10:47:35Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:47, 10 בינואר 2012
שורה 5:		שורה 5:

	==הוכחה==		==הוכחה==
			תהי f רציפה על קטע סגור וסופי <math>[a,b]</math>. נניח בשלילה שהיא '''לא''' רציפה שם במ"ש. לכן קיים אפסילון גדול מאפס, כך שלכל דלתא גדול מאפס, יש שתי נקודות במרחק קטן מדלתא כך שהפרש התמונות שלהן גדול או שווה לאפסילון. ניתן אם כך לבנות סדרה של זוגות של נקודות

			::<math>x_n,y_n</math>

			כך שמתקיים

			::<math>x_n-y_n\rightarrow 0</math>

			אבל

			::<math>\|f(x_n)-f(y_n)\|\geq \epsilon</math>


			לפי משפט [[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס\|בולצאנו-ויירשטראס לסדרות]], יש ל<math>x_n</math> תת סדרה מתכנסת <math>x_{n_k}</math> (כיוון שהקטע סופי, הסדרה חסומה).

			בנוסף, לתת הסדרה <math>y_{n_k}</math> יש תת סדרה מתכנסת. אם כך, בנינו זוג סדרות '''מתכנסות''' המקיימות את התנאים:

			::<math>x'_n-y'_n\rightarrow 0</math>

			::<math>\|f(x'_n)-f(y'_n)\|\geq \epsilon</math>


			אבל '''כיוון שזה קטע סגור''', נקודת הגבול של הסדרות המתכנסות שייכת לקטע (נקודת הגבול בינהן זהה כי המרחק בינהן שואף לאפס). לכן, לפי רציפות,

			::<math>\lim f(x'_n)=\lim f(y'_n)</math>

			בסתירה.

ארז שיינר: יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש== פונקציה רציפה ..."

2012-01-10T10:39:18Z

יצירת דף עם התוכן "חזרה למשפטים באינפי ==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש== פונקציה רציפה ..."

דף חדש

חזרה ל[[משפטים/אינפי|משפטים באינפי]]

==משפט קנטור לגבי פונקציות רציפות במ"ש==
פונקציה רציפה בקטע סגור וסופי, רציפה שם במ"ש

==הוכחה==