משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף ב־14:35, 21 ביולי 2011

2011-07-21T14:35:12Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:35, 21 ביולי 2011
שורה 12:		שורה 12:
	=יישומים של אינטגרציה=		=יישומים של אינטגרציה=
	<ol>		<ol>
	<li>אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.</li>		<li>
	<li>נפח של גוף סיבוב ~~גרף (1)~~. נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ~~ובכן:~~ נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k~~-x_{x-1})~~\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k~~-x_{x-1})~~</math>. ~~נעיר~~ שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור ~~חלוקה~~ P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.		==שטח==
	==דוגמאות==		אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.</li>
			<li>
			==נפח של גוף סיבוב==
			[[קובץ:נפח גוף סיבוב.png\|ימין\|ממוזער\|250px]]
			נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו: <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2\Delta x_k\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2\Delta x_k</math>. נשים לב שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור החלוקה P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>V=\int\limits_a^b \pi f^2</math>.
			===דוגמאות===
	# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}		# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}
	# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. ~~גרף (3) זהו~~ גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. ~~גרף (4)~~ <math>y=\frac rhx+0</math>~~. לפי זה~~ הנפח הוא {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}		# [[קובץ:נפח חרוט.png\|ימין\|ממוזער\|300px]]נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. בסרטוט משמאל יש גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. הפונקציה היא <math>y=\frac rhx+0</math> ולפיכך הנפח הוא {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}
	</li>		</li>
	<li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>		<li>
	<li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן אורך הגרף L מקיים <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>~~.<br />גרף (5)~~.		==ממוצע==
			תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>
			<li>
			==אורך הגרף==
			[[קובץ:קירוב אורך גרף.png\|ימין\|300px]]
			עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן אורך הגרף L מקיים <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />''דוגמה:'' נגדיר <math>f(x)=\begin{cases}x\sin\left(\frac1x\right)&x\ne 0\\0&x=0\end{cases}</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.

	נניח ש-{{ltr\|f'}} ~~רציפה~~ ב-<math>[a,b]</math> ונקח חלוקה P כלשהי. כבר ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I~~-L\|=\|I-S+S~~-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>		נניח ש-{{ltr\|f'}} קיימת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונקח חלוקה P כלשהי. כבר ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>
	</ol>		</ol>

אור שחף ב־17:23, 20 באפריל 2011

2011-04-20T17:23:46Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:23, 20 באפריל 2011
שורה 19:		שורה 19:
	</li>		</li>
	<li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>		<li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>
	<li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים ~~שלכל~~ <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5).		<li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן אורך הגרף L מקיים <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5).

	נניח שf'~~(x)~~ רציפה ב[a,b] ~~. ניקח~~ חלוקה P כלשהי . כבר ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>		נניח ש-{{ltr\|f'}} רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונקח חלוקה P כלשהי. כבר ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math>) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>
	</ol>		</ol>

חופית: /* דוגמאות */

2011-04-20T14:01:49Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:01, 20 באפריל 2011
שורה 19:		שורה 19:
	</li>		</li>
	<li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>		<li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>
	<li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5). ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>		<li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5).

			נניח שf'(x) רציפה ב[a,b] . ניקח חלוקה P כלשהי . כבר ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>
	</ol>		</ol>

אור שחף: /* דוגמאות */

2011-04-06T16:29:15Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:29, 6 באפריל 2011
שורה 19:		שורה 19:
	</li>		</li>
	<li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>		<li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>
	<li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5). ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>		<li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5). ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)^2}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>
	</ol>		</ol>

אור שחף: /* יישומים של אינטגרציה */

2011-04-06T11:10:47Z

יישומים של אינטגרציה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:10, 6 באפריל 2011
שורה 11:		שורה 11:

	=יישומים של אינטגרציה=		=יישומים של אינטגרציה=
	# אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.		<ol>
	# נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור חלוקה P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.		<li>אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.</li>
			<li>נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור חלוקה P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.
	==דוגמאות==		==דוגמאות==
	# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}		# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}
	# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}		# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}
	# תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.		</li>
	# אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5). ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}		<li>תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.</li>
			<li>אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5). ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}</li>
			</ol>

אור שחף: /* יישומים של אינטגרציה */

2011-04-06T11:05:46Z

יישומים של אינטגרציה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:05, 6 באפריל 2011
שורה 10:		שורה 10:
	</ol>		</ol>

	==יישומים של אינטגרציה==		=יישומים של אינטגרציה=
	# אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.		# אם בקטע <math>[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)\le g(x)</math> כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא <math>\int\limits_a^b(g(x)-f(x))\mathrm dx</math>.
	# נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור חלוקה P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.		# נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור <math>f(x)=c</math> קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - <math>\pi c^2(b-a)</math>. כעת נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של <math>[a,b]</math>, <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל <math>[x_{k-1},x_k]</math> מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> בקטע זה. נסמן ב-<math>V_k</math> הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים <math>\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V_k\le\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. יוצא שהנפח בסה"כ הוא <math>V=\sum_{k=1}^n V_k</math> ומתקיים <math>\sum_{k=1}^n\pi m_k^2(x_k-x_{x-1})\le V\le\sum_{k=1}^n\pi M_k^2(x_k-x_{x-1})</math>. נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק <math>\overline S(\pi f^2,P)</math> ובצד שמאל <math>\underline S(\pi f^2,P)</math> עבור חלוקה P. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> וכיוון ש-f רציפה גם <math>\pi f^2</math> רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: <math>\int\limits_a^b \pi f^2=V</math>.
	===דוגמאות===		==דוגמאות==
	# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}		# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_{-r}^r f^2\\&=\pi\int\limits_{-r}^r \left(r^2-x^2\right)\mathrm dx\\&=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r\\&=2\pi\left(r^3-\frac{r^3}3\right)\\&=\frac43\pi r^3\end{align}</math>}} {{משל}}
	# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}		# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}
	# תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.		# תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
	# אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5). ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}		# אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5). ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}

אור שחף: /* דוגמאות */

2011-03-23T17:04:38Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:04, 23 במרץ 2011
שורה 17:		שורה 17:
	# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}		# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא {{left\|<math>\begin{align}V&=\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx\\&=\pi\left(\frac rh\right)^2\left[\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h\\&=\frac{\pi r^2h}3\end{align}</math>}}כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים. {{משל}}
	# תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.		# תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר <math>\forall k:\ x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n</math>. הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא <math>\frac1n\sum_{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. ''גישה אחרת (אינטואיטיבית):'' אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
	# אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5). ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0<L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}		# אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>\forall n:\ L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>.<br />דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>.<br />גרף (5). ראינו ש-{{left\|<math>\begin{align}L(P)&=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2}\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}\ (x_k-x_{k-1})\\&=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k\end{align}</math>}}(ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כאלה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\ \mathrm dx</math>. השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. אם {{ltr\|Q'}} עידון של Q אז <math>L(Q)\le L(Q')\le L</math> ולכן <math>0\le L-L(Q')<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לפיכך קיימת <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S-L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> ומכאן נובע שהם שווים. {{משל}}

אור שחף ב־16:47, 23 במרץ 2011

2011-03-23T16:47:57Z

הצגת שינויים

אור שחף ב־15:24, 22 במרץ 2011

2011-03-22T15:24:37Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:24, 22 במרץ 2011
שורה 1:		שורה 1:
	===דוגמאות===		===דוגמאות===
	# <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}}\mathrm dx</math>. שיטה א - נתעלם מהגבולות עד ~~סוף החישוב.~~ נציב <math>t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx</math>. לכן <math>\int=\int e^t~~\frac{~~\mathrm dt}3=\frac{e^t}3=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3</math>. דרך ב - נחליף את הגבולות ~~בדרך~~: <math>t=x^3\implies t(0)=0,\ t(2)=8</math> ולכן <math>\int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3</math>		# <math>\int\limits_0^2 x^2e^{x^3}\mathrm dx</math>.<ul><li>שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב <math>t=x^3\implies\frac{\mathrm dt}3=\mathrm dx</math>. לכן <math>\int=\int\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{x=0}^2=\left[\frac{e^{x^3}}3\right]_{x=0}^2=\frac{e^8-1}3</math>.</li><li> דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב: <math>t=x^3\implies t\|_{x=0}=0,\ t\|_{x=2}=8</math> ולכן <math>\int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3</math><li></ul>
	# נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. <math>x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. לכן השטח הוא <math>2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm dx</math>. נציב <math>x=r\sin(\theta)</math>... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה <math>x=r\sin(\theta)</math> היינו צריכים לבחור <math>\theta</math> כך ש-<math>x=r</math>, אבל יכולנו לבחור <math>\theta=\frac{r\pi}2</math> כי אז <math>x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r</math>, ועבור <math>x=-r</math> יכולנו לבחור <math>-\frac{r\pi}2</math>. אם כן היינו מוצאים <math>S=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta=r\pi r^2</math>. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-<math>\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)</math>, מה שנכון רק כאשר <math>\cos(\theta)\ge0</math>. הטווח של האינטגרציה היה <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math>, שכולל תחומים בהם <math>\cos(\theta)<0</math>. בתחומים אלה צריך לבחור <math>\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)</math> ולחלק את הקטע <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math> לתחומים שונים לפי הסימן של <math>\cos(\theta)</math>.		# נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. <math>x^2+y^2=r^2\implies y=\sqrt{r^2-x^2}</math>. לכן השטח הוא <math>2\int\limits_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm dx</math>. נציב <math>x=r\sin(\theta)</math>... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה <math>x=r\sin(\theta)</math> היינו צריכים לבחור <math>\theta</math> כך ש-<math>x=r</math>, אבל יכולנו לבחור <math>\theta=\frac{r\pi}2</math> כי אז <math>x=r\sin(\theta)=r\sin\left(\frac{r\pi}2\right)=r</math>, ועבור <math>x=-r</math> יכולנו לבחור <math>-\frac{r\pi}2</math>. אם כן היינו מוצאים <math>S=\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2 \sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}\ r\cos(\theta)\mathrm d\theta=2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2r^2\cos^2(\theta)\mathrm d\theta=2r^2\int\limits_{-\frac{r\pi}2}^\frac{r\pi}2\frac{1+\cos(2\theta)}2\mathrm d\theta=r\pi r^2</math>. הטעות נובעת מכך שקבענו ש-<math>\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta)}=\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=r\cos(\theta)</math>, מה שנכון רק כאשר <math>\cos(\theta)\ge0</math>. הטווח של האינטגרציה היה <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math>, שכולל תחומים בהם <math>\cos(\theta)<0</math>. בתחומים אלה צריך לבחור <math>\sqrt{r^2\cos^2(\theta)}=-r\cos(\theta)</math> ולחלק את הקטע <math>\left[-\frac{r\pi}2,\frac{r\pi}2\right]</math> לתחומים שונים לפי הסימן של <math>\cos(\theta)</math>.

אור שחף ב־15:00, 22 במרץ 2011

2011-03-22T15:00:45Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:00, 22 במרץ 2011
שורה 9:		שורה 9:
	# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: <math>V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3</math>.		# נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: <math>V=\pi\int\limits_{-r}^r f^2=\pi\int\limits_{-r}^r (r^2-x^2)\mathrm dx=\pi\left[r^2x-\frac{x^3}3\right]_{x=-r}^r=2\pi(r^3-\frac{r^3}3)=\frac43\pi r^3</math>.
	# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא <math>\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3</math>, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.		# נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) <math>y=\frac rhx+0</math>. לפי זה הנפח הוא <math>\pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3</math>, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
	# נגדיר ממוצע של פונקציה רציפה: ~~תהא~~ f ~~מוגדרת ורציפה~~		# תהא f מוגדרת ורציפה ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל <math>n\in\mathbb N</math> נגדיר חלוקה <math>P_n</math> של הקטע לקטעים שווים <math>a=x_0<x_1<x_2<\dots<x_n=b</math>. כאשר לכל k <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}</math>. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא <math>\frac1n\sum{k=1}^n f(x_k)</math>. לפי בחירת <math>P_n</math>, לכל k מתקיים <math>x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}n\implies\frac1n=\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}</math> ונובע: <math>\sum_{k=1}^n\frac1n f(x_k)=\sum_{k=1}^nf(x_k)\frac{x_k-x_{k-1}}{b-a}=\frac1{b-a}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> (כאשר <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k</math> הוא סכום רימן). נשאיף <math>n\to\infty</math> ומכיוון שבמקרה כזה <math>\lambda(P_n)\to0</math> מצאנו שהממוצע של f שואף ל-<math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math>. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת: אם <math>f(x)\ge0</math> רציפה אז <math>\frac1{b-a}\int\limits_a^b f</math> הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
			# אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב-<math>[a,b]</math> נעשה חלוקה <math>P_n</math> של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות <math>q_0,q_1,\dots,q_n</math>, כאשר לכל k <math>q_k=(x_k,f(x_k))</math>. קירוב סביר לאורת הגרף נתון ע"י <math>L(P)=\sum_{k=1}^n d(q_{k-1},q_k)</math>, כאשר <math>d(A,B)</math> הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-<math>\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2</math>. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל <math>P_n</math> <math>L(P_n)\le L</math> ואפשר להגדיר את L ע"י <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. לפי זה L תמיד מוגדר <math>0<L\le\infty</math>. דוגמה: נגדיר <math>f(x)=x\sin\left(\frac1x\right)</math>. היא רציפה בקטע הסגור <math>[0,1]</math> אבל אורך הגרף הוא <math>\infty</math>. גרף (5). כאשר ראינו ש-<math>L(P)=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k</math> (ע"פ משפט לגראנז' יש <math>c_k</math> כזה כך ש-<math>\forall k:\ c_k\in(x_{k-1},x_k)</math> והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math>. היה נתון ש-<math>f'(x)</math> רציפה ולכן גם <math>\sqrt{1+f'(x)^2}</math> רציפה וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל <math>\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> והשערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף <math>L=\sup_n L(P_n)</math>. נוכיח זאת: נגדיר <math>I=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> וכן <math>L=\sup_n L(P_n)</math> ונניח <math>L<\infty</math>. יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת <math>P'</math> של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>0<L-L(P')<\frac\varepsilon2</math>. אם Q עידון של <math>P'</math> אז <math>L(P')\le L(Q)\le L</math> ולכן <math>0<L-L(Q)<\frac\varepsilon2</math>. כעת נתון ש-<math>f'</math> רציפה ולכן <math>\sqrt{1+f'^2(x)}</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. לכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math> ואם S סכום רימן כלשהו הבנו על P <math>\|I-S\|<\frac\varepsilon2</math>. לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של <math>P'</math> כך ש-<math>\lambda(P)<\delta</math>. כבר למדנו ש-<math>L(P)</math> הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק <math>\|I-L\|=\|I-S+S_L\|=\|I-S+L(P)-L\|\le\|I-S\|+\|L(P)-L\|<\varepsilon</math> ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ-<math>\varepsilon</math> לכן הם שווים. {{משל}}