משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.3.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* דוגמה */

2011-10-26T17:24:51Z

דוגמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:24, 26 באוקטובר 2011
שורה 6:		שורה 6:

	===דוגמה===		===דוגמה===
	נחשב את שטח המעטפת (השווה לשטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים <math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2}</math> ולכן <math>f'(x)=-\frac x\sqrt{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left\|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}}		נחשב את שטח המעטפת (השווה לשטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים <math>f(x)=\sqrt{r^2-x^2}</math> ולכן <math>f'(x)=-\frac x\sqrt{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left\|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}}{{משל}}

	[[קובץ:היקף מעגל הוא נגזרת השטח.png\|ימין\|200px]]נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2=2\pi r</math> כמו כן נפח כדור הוא <math>\frac43\pi r^3</math> ושטחו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\frac43\pi r^3=4\pi r^2</math>. נתבונן בסרטוט משמאל. אם A הוא שטח המעגל הפנימי ו-<math>\Delta A</math> היא תוספת השטח הדרושה ליצירת המעגל החיצוני אזי <math>\Delta A\approx2\pi r\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה מדוייק: <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dr}=2\pi r</math>. ההסבר לכך שנגזרת נפח הכדור היא שטח הפנים דומה. לעומת זאת, עבור הריבוע [[קובץ:היקף ריבוע אינו נגזרת השטח.png\|100px]] ההיקף הוא <math>4a</math> והשטח - <math>a^2</math>: ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל עבור <math>b=\frac a2</math> ההיקף הינו <math>8b</math> והשטח - <math>4b^2</math>, ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.

			[[קובץ:היקף מעגל הוא נגזרת השטח.png\|ימין\|200px]]נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2=2\pi r</math> כמו כן נפח כדור הוא <math>\frac43\pi r^3</math> ושטחו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\frac43\pi r^3=4\pi r^2</math>. נסביר זאת באמצעות הסרטוט משמאל. אם A הוא שטח המעגל הפנימי ו-<math>\Delta A</math> היא תוספת השטח הדרושה ליצירת המעגל החיצוני אזי <math>\Delta A\approx2\pi r\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה מדוייק: <math>\frac{\mathrm dA}{\mathrm dr}=2\pi r</math>. ההסבר לכך שנגזרת נפח הכדור היא שטח הפנים דומה. לעומת זאת, עבור הריבוע [[קובץ:היקף ריבוע אינו נגזרת השטח.png\|100px]] ההיקף הוא <math>4a</math> והשטח - <math>a^2</math>: ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל עבור <math>b=\frac a2</math> ההיקף הינו <math>8b</math> והשטח - <math>4b^2</math>, ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.

	[[קובץ:חישוב שטח פנים של כדור.png\|ימין\|400px]]נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: עפ"י דימיון משולשים <math>\frac ar=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>aS=r\Delta x</math>. אותה חתיכת הגרף S מסתובבת סביב ציר ה-x ליצור שטח <math>\pi(2a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}S=2\pi r\Delta x-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math> (כי רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הם <math>a,a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math>). ז"א, בכל קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> שבו נבנה חרוט קטום ע"י סיבוב קו באורך <math>S</math> יווצר שטח <math>2\pi r\Delta x_k-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math>. כעת, אם נסכם אינסוף קטעים לאורך הקטע <math>[-r,r]</math> כך שלכל קטע <math>\Delta x_k\to0</math> יבנה שטח כולל <math>2\pi r\sum\Delta x-\sum0=2\pi r(2r)=4\pi r^2</math>, כפי שציפינו.
			[[קובץ:חישוב שטח פנים של כדור.png\|ימין\|400px]]נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: עפ"י דימיון משולשים <math>\frac ar=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>aS=r\Delta x</math>. אותה חתיכת הגרף S מסתובבת סביב ציר ה-x ליצור שטח <math>\pi\left(2a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}\right)S=2\pi r\Delta x-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math> (כי רדיוסי הבסיסים של החרוט הקטום הם <math>a,a-\sqrt{S^2-(\Delta x)^2}</math>). ז"א, בכל קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> שבו נבנה חרוט קטום ע"י סיבוב קו באורך <math>S</math> יווצר שטח <math>2\pi r\Delta x_k-\pi S\sqrt{S^2-(\Delta x_k)^2}</math>. כעת, אם נסכם אינסוף קטעים לאורך הקטע <math>[-r,r]</math> כך שלכל קטע <math>\Delta x_k\to0</math> יבנה שטח כולל <math>2\pi r\sum\Delta x-\sum0=2\pi r(r-(-r))=4\pi r^2</math>, כפי שציפינו.
	</li>		</li>
	<li>		<li>

	==חישוב עבודה==		==חישוב עבודה==
	בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>. כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math> בציר הזמן. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> וכאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.		בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>. כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math> בציר הזמן. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> וכאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.

אור שחף ב־19:56, 24 ביולי 2011

2011-07-24T19:56:37Z

הצגת שינויים

חופית: /* מבוא לאינטגרציה נומרית */

2011-05-12T15:49:52Z

מבוא לאינטגרציה נומרית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:49, 12 במאי 2011
שורה 22:		שורה 22:
	=מבוא לאינטגרציה נומרית=		=מבוא לאינטגרציה נומרית=
	נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:		נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:
	# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left\|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right\|=\left\|\int\limits_0^1\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right\|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left\|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right\|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. אכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left\|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{14}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.~~4626369~~\end{align}</math>}} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו.</li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.</li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol>		# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left\|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right\|=\left\|\int\limits_0^1\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right\|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left\|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right\|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. אכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left\|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{14}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.4626501\end{align}</math>}} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו.</li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.</li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol>
	# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math> (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} \|f'(x)\|</math> נוכל להסיק {{left\|<math>\begin{align}\|R_k\|&=\left\|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right\|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \|f'(c)\|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>}}		# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math> (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} \|f'(x)\|</math> נוכל להסיק {{left\|<math>\begin{align}\|R_k\|&=\left\|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right\|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \|f'(c)\|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>}}

אור שחף: /* מבוא לאינטגרציה נומרית */

2011-05-04T15:50:08Z

מבוא לאינטגרציה נומרית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:50, 4 במאי 2011
שורה 22:		שורה 22:
	=מבוא לאינטגרציה נומרית=		=מבוא לאינטגרציה נומרית=
	נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:		נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:
	# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left\|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right\|=\left\|\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right\|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left\|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right\|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. אכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left\|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{14}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.4626369\end{align}</math>}} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו.</li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.</li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol>		# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left\|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right\|=\left\|\int\limits_0^1\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right\|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left\|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right\|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. אכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left\|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{14}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.4626369\end{align}</math>}} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו.</li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.</li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol>
	# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math> (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} \|f'(x)\|</math> נוכל להסיק {{left\|<math>\begin{align}\|R_k\|&=\left\|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right\|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \|f'(c)\|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>}}		# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math> (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} \|f'(x)\|</math> נוכל להסיק {{left\|<math>\begin{align}\|R_k\|&=\left\|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right\|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \|f'(c)\|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>}}

חופית: /* מבוא לאינטגרציה נומרית */

2011-05-02T18:38:58Z

מבוא לאינטגרציה נומרית

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:38, 2 במאי 2011
שורה 22:		שורה 22:
	=מבוא לאינטגרציה נומרית=		=מבוא לאינטגרציה נומרית=
	נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:		נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:
	# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left\|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right\|=\left\|\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right\|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left\|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right\|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. אכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left\|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{12}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.4626369\end{align}</math>}} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו.</li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.</li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol>		# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left\|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right\|=\left\|\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right\|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left\|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right\|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. אכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left\|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{14}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.4626369\end{align}</math>}} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו.</li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.</li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol>
	# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math> (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} \|f'(x)\|</math> נוכל להסיק {{left\|<math>\begin{align}\|R_k\|&=\left\|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right\|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \|f'(c)\|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>}}		# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math> (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} \|f'(x)\|</math> נוכל להסיק {{left\|<math>\begin{align}\|R_k\|&=\left\|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right\|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \|f'(c)\|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>}}

אור שחף ב־12:47, 6 באפריל 2011

2011-04-06T12:47:05Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:47, 6 באפריל 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=~~ישומים~~ של אינטגרציה {{הערה\|(המשך)}}=		=יישומים של אינטגרציה {{הערה\|(המשך)}}=
	<ol start="5">		<ol start="5">
	<li>שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את הקטע <math>[a,b]</math> לתתי קטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור כמה k-ים. שטח הפנים הוא <math>2\pi rS</math> (כאשר r רדיוס הבסיס הגדול יותר של הקונוס הנוצר בקטע=<math>f(x_k)</math> וכן <math>S=\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. לפי זה ~~שטטח~~ המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום <math>\sum_{k=1}^n2\pi f(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> ביטוי זה שואף לאינטגרל <math>\int\limits_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> והוא שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x.		<li>שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את הקטע <math>[a,b]</math> לתתי קטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור כמה k-ים. שטח הפנים הוא <math>2\pi rS</math> (כאשר r רדיוס הבסיס הגדול יותר של הקונוס הנוצר בקטע=<math>f(x_k)</math> וכן <math>S=\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. לפי זה שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום <math>\sum_{k=1}^n2\pi f(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> ביטוי זה שואף לאינטגרל <math>\int\limits_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> והוא שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x.

	==דוגמה==		==דוגמה==
	נחשב את שטח המעטפת (=שטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: ~~תשובה~~ <math>f'(x)=-\frac x{r^2-x^2}</math>. השטח הוא <math>\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx=4\pi r^2</math>		נחשב את שטח המעטפת (=שטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים <math>f'(x)=-\frac x{r^2-x^2}</math>. השטח הוא {{left\|<math>\begin{align}\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx\\&=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx\\&=2\pi[rx]_{x=-r}^r\\&=4\pi r^2\end{align}</math>}}

	נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2}=2\pi r</math> כמו כן ~~שטח~~ כדור הוא <math>4\pi r^2</math> ~~ונפחו~~ <math>\frac43\pi r^2</math>. הסבר גרף 1. מכאן שתוספת השטח <math>\Delta A</math> בערך שווה ל-<math>2\~~pir~~\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה ~~מדוייק~~: <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}=2\pi r</math>.		נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2=2\pi r</math> כמו כן נפח כדור הוא <math>\frac43\pi r^3</math> ושטחו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\frac43\pi r^3=4\pi r^2</math>. הסבר גרף 1. מכאן שתוספת השטח <math>\Delta A</math> בערך שווה ל-<math>2\pi r\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה מדויק: <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}=2\pi r</math>.
	לעומת זאת, עבור ריבוע גרף 2 ההיקף הוא <math>4a</math> והשטח - <math>a^2</math> - ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל גרף 3 היקף: <math>8a</math>, שטח: <math>4a^2</math> ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.		לעומת זאת, עבור ריבוע גרף 2 ההיקף הוא <math>4a</math> והשטח - <math>a^2</math> - ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל גרף 3 היקף: <math>8a</math>, שטח: <math>4a^2</math> ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.

שורה 12:		שורה 12:
	נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: גרף 4 עפ"י שיוויון משולשים <math>\frac ra=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>rS=a\Delta x</math> אותה חתיכת הגרף 'S' מסתובבת ליצור שטח <math>2\pi r S=2\pi a\Delta x</math>. ז"א בכל מקום שנבנה שטח ע"י סיבוב קטע באורך <math>\Delta x</math> יווצר שטח באורך <math>2\pi a\Delta x</math>. כעת אם נסכם על כל הקטעים לאורך הקטע <math>[-a,a]</math> נבנה שטח כולל <math>2\pi a\sum\Delta x=2\pi a(2a)=4\pi a^2</math>, כפי שציפינו.		נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: גרף 4 עפ"י שיוויון משולשים <math>\frac ra=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>rS=a\Delta x</math> אותה חתיכת הגרף 'S' מסתובבת ליצור שטח <math>2\pi r S=2\pi a\Delta x</math>. ז"א בכל מקום שנבנה שטח ע"י סיבוב קטע באורך <math>\Delta x</math> יווצר שטח באורך <math>2\pi a\Delta x</math>. כעת אם נסכם על כל הקטעים לאורך הקטע <math>[-a,a]</math> נבנה שטח כולל <math>2\pi a\sum\Delta x=2\pi a(2a)=4\pi a^2</math>, כפי שציפינו.
	</li>		</li>
	<li>בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>.כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math>. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> ~~כאשר~~ <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.		<li>בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>.כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math> בציר הזמן. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> וכאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.
	</li>		</li>
	<li>ניוטון אומר <math>F=ma</math> ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה <math>x=x(t)</math> (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא <math>v(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}</math> ותאוצתו <math>a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}</math>. לפי ניוטון <math>F=ma=m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}</math>. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math> ולכן <math>F=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v</math>. לכן העבודה שנעשית ע"י <math>F(x)</math> בין a ל-b היא <math>W=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx~~=\int~~\~~limits_a^b ma(x)~~\~~mathrm dx~~=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\mathrm dx=\~~int~~\~~limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v\mathrm dx~~=\left[\frac{mv^2}2\right]_{x=a}^b</math>. ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.		<li>החוק השני של ניוטון אומר <math>F=ma</math> ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה <math>x=x(t)</math> (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא <math>v(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}</math> ותאוצתו <math>a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}</math>. לפי ניוטון <math>F=ma=m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}</math>. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math> ולכן <math>F=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v</math>. לכן העבודה שנעשית ע"י <math>F(x)</math> בין a ל-b היא {{left\|<math>\begin{align}W&=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx\\&=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v\mathrm dx\\&=\left[\frac{mv^2}2\right]_{x=a}^b\end{align}</math>}} ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.

	''הסבר לנוסחה'': <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>. כאן מניחים ש-<math>x(t)=x</math> ו-<math>v(x)=v</math>. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת <math>v(x(t))</math>. למדנו את כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}v(x(t))=v'(x(t))x'(t)</math> כלומר <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>.		''הסבר לנוסחה'': <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>. כאן מניחים ש-<math>x(t)=x</math> ו-<math>v(x)=v</math>. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת <math>v(x(t))</math>. למדנו את כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}v(x(t))=v'(x(t))x'(t)</math> כלומר <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>.
שורה 21:		שורה 21:

	=מבוא לאינטגרציה נומרית=		=מבוא לאינטגרציה נומרית=
	נביא כאן 4 שיטות:		נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:
	# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2}</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n(x^2)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n(x^2)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left\|\int\limits_0^1 R_n(x^2)\mathrm dx\right\|=\left\|\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right\|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left\|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right\|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. ~~ואכן~~, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{12}}{7!}\right)\mathrm dx=\dots\approx1.4626369</math>. השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי 1) לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו. 2) יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך. 3) יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.		# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n\left(x^2\right)</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n\left(x^2\right)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left\|\int\limits_0^1 R_n\left(x^2\right)\mathrm dx\right\|=\left\|\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right\|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left\|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right\|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. אכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה {{left\|<math>\begin{align}\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx&\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{12}}{7!}\right)\mathrm dx\\&=\dots\\&\approx1.4626369\end{align}</math>}} השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי <ol><li>לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו.</li><li>יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.</li><li>יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.</li></ol>
	# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math>. (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה. הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-~~X_k~~)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k}\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>m=\max_{x\in[a,b]} \|f'(x)\|</math> ~~ונוכל~~ להסיק <math>\|R_k\|=\left\|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right\|\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \|f'(c)\|(x-x_k)\mathrm dx\le\frac{nMh^2}2=\frac{b-a}{2h}Mh^2=\frac{b-a}2 Mh</math>.		# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math> (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-x_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>M=\max_{x\in[a,b]} \|f'(x)\|</math> נוכל להסיק {{left\|<math>\begin{align}\|R_k\|&=\left\|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right\|\\&\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} \|f'(c)\|(x-x_k)\mathrm dx\\&\le\frac{nMh^2}2\\&=\frac{b-a}{2h}Mh^2\\&=\frac{b-a}2 Mh\end{align}</math>}}

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=ישומים של אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=

שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את ה..."

2011-03-27T14:59:29Z

יצירת דף עם התוכן "=ישומים של אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= <ol start="5"> <li>שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את ה..."

דף חדש

=ישומים של אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=
<ol start="5">
<li>שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את הקטע <math>[a,b]</math> לתתי קטעים <math>[x_{k-1},x_k]</math> עבור כמה k-ים. שטח הפנים הוא <math>2\pi rS</math> (כאשר r רדיוס הבסיס הגדול יותר של הקונוס הנוצר בקטע=<math>f(x_k)</math> וכן <math>S=\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. לפי זה שטטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום <math>\sum_{k=1}^n2\pi f(x_k)\sqrt{1+f'(x_k)^2}\Delta x_k</math>. כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> ביטוי זה שואף לאינטגרל <math>\int\limits_a^b2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx</math> והוא שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב <math>y=f(x)</math> בין a ל-b סביב ציר ה-x.

==דוגמה==
נחשב את שטח המעטפת (=שטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: תשובה <math>f'(x)=-\frac x{r^2-x^2}</math>. השטח הוא <math>\int\limits_{-r}^r 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\mathrm dx=\int\limits_{-r}^r2\pi\sqrt{r^2-x^2+x^2}\mathrm dx=4\pi r^2</math>

נשים לב כי שטח עיגול הוא <math>\pi r^2</math> והיקפו <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dr}\pi r^2}=2\pi r</math> כמו כן שטח כדור הוא <math>4\pi r^2</math> ונפחו <math>\frac43\pi r^2</math>. הסבר גרף 1. מכאן שתוספת השטח <math>\Delta A</math> בערך שווה ל-<math>2\pir\Delta r</math>, ז"א <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}\approx\frac{2\pi r\Delta r}{\Delta r}=2\pi r</math>. בגבול <math>\Delta r\to0</math> זה מדוייק: <math>\frac{\Delta A}{\Delta r}=2\pi r</math>.
לעומת זאת, עבור ריבוע גרף 2 ההיקף הוא <math>4a</math> והשטח - <math>a^2</math> - ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל גרף 3 היקף: <math>8a</math>, שטח: <math>4a^2</math> ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.

נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: גרף 4 עפ"י שיוויון משולשים <math>\frac ra=\frac{\Delta x}S</math> ולכן <math>rS=a\Delta x</math> אותה חתיכת הגרף 'S' מסתובבת ליצור שטח <math>2\pi r S=2\pi a\Delta x</math>. ז"א בכל מקום שנבנה שטח ע"י סיבוב קטע באורך <math>\Delta x</math> יווצר שטח באורך <math>2\pi a\Delta x</math>. כעת אם נסכם על כל הקטעים לאורך הקטע <math>[-a,a]</math> נבנה שטח כולל <math>2\pi a\sum\Delta x=2\pi a(2a)=4\pi a^2</math>, כפי שציפינו.
</li>
<li>בפיזיקה, כאשר כוח <math>\vec F</math> קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה <math>W=\vec Fs</math>.כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה <math>F(x)</math> לאורך הקטע <math>x\in[a,b]</math>. נעשה חלוקה <math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math>. בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math>, <math>F(x)</math> תקבל מקסימום <math>M_k</math> ומינימום <math>m_k</math> ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> (נקרא לה <math>W_k</math>) מקיימת <math>m_k\Delta x_k\le W_k\le M_k\Delta x</math>. בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא <math>W=\sum_{k=1}^n W_k</math> כאשר <math>\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k\le W\le\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k</math>. יש כאן <math>\underline S(F,P)\le W\le \overline S(F,P)</math> כאשר <math>\lambda(P)\to0</math> זה שואף לגבול אחד <math>W=\int\limits_a^b F(x)\mathrm dx</math>.
</li>
<li>ניוטון אומר <math>F=ma</math> ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה <math>x=x(t)</math> (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא <math>v(t)=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}</math> ותאוצתו <math>a(t)=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}</math>. לפי ניוטון <math>F=ma=m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}</math>. לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math> ולכן <math>F=\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v</math>. לכן העבודה שנעשית ע"י <math>F(x)</math> בין a ל-b היא <math>W=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\int\limits_a^b ma(x)\mathrm dx=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}\mathrm dx=\int\limits_a^b m\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}v\mathrm dx=\left[\frac{mv^2}2\right]_{x=a}^b</math>. ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.

''הסבר לנוסחה'': <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>. כאן מניחים ש-<math>x(t)=x</math> ו-<math>v(x)=v</math>. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת <math>v(x(t))</math>. למדנו את כלל השרשרת <math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}v(x(t))=v'(x(t))x'(t)</math> כלומר <math>\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\cdot\frac{\mathrm dv}{\mathrm dx}</math>.
</li>
</ol>

=מבוא לאינטגרציה נומרית=
נביא כאן 4 שיטות:
# אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx</math> בדיוק של <math>10^{-6}</math>: כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה <math>e^t</math>: <math>e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots+\frac{t^n}{n!}+R_n(t)</math> כאשר <math>R_n(t)=\frac{f^{(n+1)}(c)t^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{e^ct^{n+1}}{(n+1)!}</math> לאיזה c בין 0 ל-t. נציב <math>t=x^2</math>: <math>e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\dots+\frac{x^{2n}}{n!}+R_n(x^2}</math>. לכן <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx=\int\limits_0^1 P_n(x^2)\mathrm dx+\int\limits_0^1 R_n(x^2)\mathrm dx</math>. אנו זקוקים ל-n כך ש-<math>\left|\int\limits_0^1 R_n(x^2)\mathrm dx\right|=\left|\frac{e^cx^{2n+2}}{(n+1)!}\right|<10^{-6}</math>. לכל <math>x\in[0,1]</math> מתקיים <math>e^0\le e^c\le e^1<3</math> ולכן השארית חסומה ע"י <math>3\left|\int\limits_0^1\frac{x^{2n+2}}{(n+1)!}\mathrm dx\right|=\frac3{(2n+3)(n+1)!}</math>. ואכן, עבור <math>n=7</math> זה מספיק קטן. לפי זה <math>\int\limits_0^1 e^{x^2}\mathrm dx\approx\int\limits_0^1\left(1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\frac{x^8}{4!}+\frac{x^{10}}{5!}+\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{12}}{7!}\right)\mathrm dx=\dots\approx1.4626369</math>. השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי 1) לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב <math>P_n(x)</math> ל-n כלשהו. 2) יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך. 3) יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.
# קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע <math>[a,b]</math>. נקח <math>n\in\mathbb N</math> כלשהו ונעשה חלוקה שווה של <math>[a,b]</math>: <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> כאשר לכל k נגדיר <math>h=\frac{b-a}n=x_k-x_{k-1}</math>. (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה. הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן <math>\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x_k=h\sum_{k-1}^n f(x_k)</math>. כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה <math>f'</math> ב-<math>[a,b]</math> ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: <math>\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k)\mathrm dx</math>. בתוך הקטע הקטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נסתמך על משפט לגראנז' לומר <math>f'(c)=\frac{f(x)-f(x_k)}{x-x_k}</math> עבור c בין x ל-<math>x_k</math>. נעביר אגף לומר <math>f(x)=f(x_k)+f'(c)(x-X_k)</math> ולכן <math>\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f(x_k}\mathrm dx+\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx=f(x_k)(x_k-x_{k-1})+R_k</math>. <math>f(x_k)h</math> היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל <math>R_k</math> = הטעות. כעת, אם נסמן <math>m=\max_{x\in[a,b]} |f'(x)|</math> ונוכל להסיק <math>|R_k|=\left|\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f'(c)(x-x_k)\mathrm dx\right|\le\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} |f'(c)|(x-x_k)\mathrm dx\le\frac{nMh^2}2=\frac{b-a}{2h}Mh^2=\frac{b-a}2 Mh</math>.

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.3.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* דוגמה */

אור שחף ב־19:56, 24 ביולי 2011

חופית: /* מבוא לאינטגרציה נומרית */

אור שחף: /* מבוא לאינטגרציה נומרית */

חופית: /* מבוא לאינטגרציה נומרית */

אור שחף ב־12:47, 6 באפריל 2011

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=ישומים של אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את ה..."

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=ישומים של אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=

שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את ה..."