משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.4.11 - היסטוריית גרסאות

109.186.198.159 ב־15:25, 27 ביולי 2011

2011-07-27T15:25:54Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:25, 27 ביולי 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה\|(המשך)}}=		=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה\|(המשך)}}=
	בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל המסויים והראנו שהטעות בחישוב בקטע <math>[a,b]</math> חסומה ע"י <math>\max_{x\in[a,b]}\left\|f^{(4)}(x)\right\|\frac{h^4(b-a)}{45}</math> כאשר h המרחק בין שתי נקודות סמוכות בחלוקה שבחרנו. ניתן גישה אחרת למציאת הטעות, שהיא יותר קצרה ונותנת ערך יותר קטן לחסם של הטעות, אבל היא פחות אינטואיטיבית:		בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל המסויים והראנו שהטעות בחישוב בקטע <math>[a,b]</math> חסומה ע"י <math>\max_{x\in[a,b]}\left\|f^{(4)}(x)\right\|\frac{h^4(b-a)}{45}</math> כאשר h המרחק בין שתי נקודות סמוכות בחלוקה שבחרנו. ניתן גישה אחרת למציאת הטעות, שהיא יותר קצרה ונותנת ערך יותר קטן לחסם של הטעות, אבל היא פחות אינטואיטיבית:
			הראנו שמספיק לחשב בקירוב <math>\int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)</math> כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה <math>G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)</math>. G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) <math>G(0)=0</math>. עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי){{left\|<math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13\Big(f(-h)+4f(0)+f(h)\Big)-\frac h3\Big(-f'(-h)+f'(h)\Big)\end{align}</math>}}
	~~ע"י נירמול מספיק~~ לחשב בקירוב <math>\int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math> כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה <math>G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math>. G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) <math>G(0)=0</math>. עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי){{left\|<math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13(f(-h)+4f(0)+f(h))-\frac h3(-f'(-h)+f'(h))\end{align}</math>}}		לכן <math>\lim_{h\to0}G'(h)=f(0)+f(0)-\frac13\Big(f(0)+4f(0)+f(0)\Big)-0=2f(0)-\frac63f(0)=0</math>. ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת <math>G'(0)</math> קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל <math>\lim_{h\to0}G''(h)=0=G''(0)</math>. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל <math>G'''(0)=G^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>G^{(4)}(h)=-\frac13\Big(-f'''(-h)+f'''(h)\Big)-\frac h3\Big(f^{(4)}(-h)+f^{(4)}(h)\Big)</math>. עתה:
	לכן <math>\lim_{h\to0}G'(h)=f(0)+f(0)-\frac13(f(0)+4f(0)+f(0))-0=2f(0)-\frac63f(0)=0</math>. ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת <math>G'(0)</math> קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל ~~<math>\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dh^2}G(h)=\frac13(f'(h)-f'(-h))-\frac h3(f''(-h)+f''(h))</math>. מכאן ש-~~<math>\lim_{h\to0}G''(h)~~=\frac13(f'(0)-f'(0))-0~~=0=G''(0)</math>. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל <math>G'''(0)=G^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>G^{(4)}(h)=-\frac13(-f'''(-h)+f'''(h))-\frac h3(f^{(4)}(-h)+f^{(4)}(h))</math>. עתה:
	{\|		{\|
	{{=\|l=\frac{G(h)}{h^5}		{{=\|l=\frac{G(h)}{h^5}
שורה 23:		שורה 22:
	}}		}}
	\|}		\|}
	כעת נגדיר <math>M:=\max_{x\in[a,b]}\left\|f^{(4)}(x)\right\|</math>. לפי משפט לגראנז' קיים <math>c\in(-h,h)</math> כך ש-<math>\frac{f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)}{2h}=f^{(4)}(c)</math> ולכן <math>\left\|f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)\right\|\le2hM</math>. מכל זה נובע {{left\|<math>\begin{align}\left\|G^{(4)}(h_4)\right\|&\le\left\|-\frac13\~~left~~(f^{(3)}(-h_4)+f^{(3)}(h_4)\~~right~~)\right\|+\left\|\frac{h_4}3\~~left~~(f^{(4)}(-h_4)+f^{(4)}(h_4)\~~right~~)\right\|\\&\le\frac{2h_4}3M+\frac{h_4}32M\\&=\frac43Mh_4\end{align}</math>}}		כעת נגדיר <math>M:=\max_{x\in[a,b]}\left\|f^{(4)}(x)\right\|</math>. לפי משפט לגראנז' קיים <math>c\in(-h,h)</math> כך ש-<math>\frac{f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)}{2h}=f^{(4)}(c)</math> ולכן <math>\left\|f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)\right\|\le2hM</math>. מכל זה נובע {{left\|<math>\begin{align}\left\|G^{(4)}(h_4)\right\|&\le\left\|-\frac13\Big(f^{(3)}(-h_4)+f^{(3)}(h_4)\Big)\right\|+\left\|\frac{h_4}3\Big(f^{(4)}(-h_4)+f^{(4)}(h_4)\Big)\right\|\\&\le\frac{2h_4}3M+\frac{h_4}32M\\&=\frac43Mh_4\end{align}</math>}}
	עתה <math>\left\|\frac{G(h)}{h^5}\right\|=\left\|\frac{G^{(4)}(h_4)}{120h_4}\right\|\le\frac1{120h_4}\frac43Mh_4=\frac M{90}</math> וקיבלנו ש-<math>\|G(h)\|\le\frac{Mh^5}{90}</math>, כלומר הטעות בכל קטע מהסוג <math>[x_{k-1},x_{k+1}]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^5}{90}</math>. ב-<math>[a,b]</math> יש <math>\frac n2=\frac{(b-a)}{2h}</math> ולפיכך הטעות חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{2h}\cdot\frac{Mh^5}{90}=\frac{Mh^4}{180}(b-a)</math>. {{משל}}		עתה <math>\left\|\frac{G(h)}{h^5}\right\|=\left\|\frac{G^{(4)}(h_4)}{120h_4}\right\|\le\frac1{120h_4}\frac43Mh_4=\frac M{90}</math> וקיבלנו ש-<math>\|G(h)\|\le\frac{Mh^5}{90}</math>, כלומר הטעות בכל קטע מהסוג <math>[x_{k-1},x_{k+1}]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^5}{90}</math>. ב-<math>[a,b]</math> יש <math>\frac n2=\frac{(b-a)}{2h}</math> ולפיכך הטעות חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{2h}\cdot\frac{Mh^5}{90}=\frac{Mh^4}{180}(b-a)</math>. {{משל}}
	===דוגמה===		===דוגמה===
שורה 30:		שורה 29:
	* הקירוב לפי סכום רימן הוא <math>\sum_{k=0}^4f(x_k)h=\frac14\left(1+\frac45+\frac23+\frac47+\frac12\right)\approx\underline{0.6}34523809</math>.		* הקירוב לפי סכום רימן הוא <math>\sum_{k=0}^4f(x_k)h=\frac14\left(1+\frac45+\frac23+\frac47+\frac12\right)\approx\underline{0.6}34523809</math>.
	* כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים: {{left\|<math>\frac{f(x_0)+f(x_4)}2h+h\sum_{k=1}^3f(x_k)=\frac18\left(1+\frac12\right)+\frac14\left(\frac45+\frac23+\frac47\right)\approx\underline{0.69}7023792</math>}}		* כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים: {{left\|<math>\frac{f(x_0)+f(x_4)}2h+h\sum_{k=1}^3f(x_k)=\frac18\left(1+\frac12\right)+\frac14\left(\frac45+\frac23+\frac47\right)\approx\underline{0.69}7023792</math>}}
	* ולפי סימפסון: {{left\|<math>\begin{array}{l}\displaystyle\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\~~frac45~~+2\~~frac23~~+4\~~frac47~~+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left\|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left\|24x^{-5}\right\|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>\|R\|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math>		* ולפי סימפסון: {{left\|<math>\begin{array}{l}\displaystyle\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\displaystyle\frac1{12}\left(1+4\tfrac45+2\tfrac23+4\tfrac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left\|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left\|24x^{-5}\right\|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>\|R\|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math>

	=אינטגרל לא אמיתי, סוג I=		=אינטגרל לא אמיתי, סוג I=
	עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי" (improper integral).		עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי" (improper integral). אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math> הם אינטגרלים לא אמיתיים מסוג 1.

	אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math>.

	'''הגדרה''': תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית (locally integrable) בקטע זה אם לכל <math>b>a</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>.		'''הגדרה''': תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית (locally integrable) בקטע זה אם לכל <math>b>a</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>.
שורה 41:		שורה 38:
	למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.		למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.

	'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> נגדיר <math>\int\limits_a^\infty f:=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f</math>. אם הגבול קיים נאמר שהאינטגרל מתכנס, אחרת הוא מתבדר.		'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. נגדיר <math>\int\limits_a^\infty f:=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f</math>. אם הגבול קיים נאמר שהאינטגרל מתכנס, אחרת הוא מתבדר.

	אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה <math>(-\infty,b]</math> ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^b f:=\lim_{R\to-\infty}\int\limits_R^b f</math>.		אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה <math>(-\infty,b]</math> ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^b f:=\lim_{R\to-\infty}\int\limits_R^b f</math>.
שורה 50:		שורה 47:
	# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>.		# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>.
	# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln\|x\|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).		# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln\|x\|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).
	# שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף <math>y=\frac1x</math> סביב ציר ה-x ב-<math>[1,\infty)</math>. ~~איך צובעים אותו~~ מבפנים?<br/>'''פתרון''': לכאורה ~~זה בלתי אפשרי~~, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\mathrm dx>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\mathrm dx=\infty</math>, כלומר אין מספיק צבע ~~בעולם~~. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\pi</math>, יספיקו לנו <math>\pi</math> יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.		# שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף <math>y=\frac1x</math> סביב ציר ה-x ב-<math>[1,\infty)</math>. האם יש מספיק צבע בעולם כדי לצבוע אותה מבפנים?<br/>'''פתרון''': לכאורה התשובה היא לא, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\mathrm dx>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\mathrm dx=\infty</math>, כלומר אין מספיק צבע. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\pi</math>, יספיקו לנו <math>\pi</math> יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.

	----		----

חופית: /* מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}} */

2011-05-05T08:48:36Z

מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־08:48, 5 במאי 2011
שורה 3:		שורה 3:

	ע"י נירמול מספיק לחשב בקירוב <math>\int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math> כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה <math>G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math>. G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) <math>G(0)=0</math>. עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי){{left\|<math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13(f(-h)+4f(0)+f(h))-\frac h3(-f'(-h)+f'(h))\end{align}</math>}}		ע"י נירמול מספיק לחשב בקירוב <math>\int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math> כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה <math>G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math>. G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) <math>G(0)=0</math>. עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי){{left\|<math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13(f(-h)+4f(0)+f(h))-\frac h3(-f'(-h)+f'(h))\end{align}</math>}}
	לכן <math>\lim_{h\to0}G'(h)=f(0)+f(0)-\frac13(f(0)+4f(0)+f(0)-0=2f(0)-\frac63f(0)=0</math>. ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת <math>G'(0)</math> קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל <math>\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dh^2}G(h)=\frac13(f'(h)-f'(-h))-\frac h3(f''(-h)+f''(h))</math>. מכאן ש-<math>\lim_{h\to0}G''(h)=\frac13(f'(0)-f'(0))-0=0=G''(0)</math>. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל <math>G'''(0)=G^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>G^{(4)}(h)=-\frac13(-f'''(-h)+f'''(h))-\frac h3(f^{(4)}(-h)+f^{(4)}(h))</math>. עתה:		לכן <math>\lim_{h\to0}G'(h)=f(0)+f(0)-\frac13(f(0)+4f(0)+f(0))-0=2f(0)-\frac63f(0)=0</math>. ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת <math>G'(0)</math> קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל <math>\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dh^2}G(h)=\frac13(f'(h)-f'(-h))-\frac h3(f''(-h)+f''(h))</math>. מכאן ש-<math>\lim_{h\to0}G''(h)=\frac13(f'(0)-f'(0))-0=0=G''(0)</math>. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל <math>G'''(0)=G^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>G^{(4)}(h)=-\frac13(-f'''(-h)+f'''(h))-\frac h3(f^{(4)}(-h)+f^{(4)}(h))</math>. עתה:
	{\|		{\|
	{{=\|l=\frac{G(h)}{h^5}		{{=\|l=\frac{G(h)}{h^5}

אור שחף: /* אינטגרל לא אמיתי, סוג I */

2011-05-02T11:31:05Z

אינטגרל לא אמיתי, סוג I

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:31, 2 במאי 2011
שורה 45:		שורה 45:
	אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה <math>(-\infty,b]</math> ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^b f:=\lim_{R\to-\infty}\int\limits_R^b f</math>.		אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה <math>(-\infty,b]</math> ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^b f:=\lim_{R\to-\infty}\int\limits_R^b f</math>.

	עבור f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math> נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית ~~מקומית~~ בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> עבור <math>a\in\mathbb R</math> כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.		עבור f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math> נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> עבור <math>a\in\mathbb R</math> כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.

	==דוגמאות==		==דוגמאות==

אור שחף: /* דוגמה */

2011-05-02T11:26:38Z

דוגמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:26, 2 במאי 2011
שורה 30:		שורה 30:
	* הקירוב לפי סכום רימן הוא <math>\sum_{k=0}^4f(x_k)h=\frac14\left(1+\frac45+\frac23+\frac47+\frac12\right)\approx\underline{0.6}34523809</math>.		* הקירוב לפי סכום רימן הוא <math>\sum_{k=0}^4f(x_k)h=\frac14\left(1+\frac45+\frac23+\frac47+\frac12\right)\approx\underline{0.6}34523809</math>.
	* כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים: {{left\|<math>\frac{f(x_0)+f(x_4)}2h+h\sum_{k=1}^3f(x_k)=\frac18\left(1+\frac12\right)+\frac14\left(\frac45+\frac23+\frac47\right)\approx\underline{0.69}7023792</math>}}		* כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים: {{left\|<math>\frac{f(x_0)+f(x_4)}2h+h\sum_{k=1}^3f(x_k)=\frac18\left(1+\frac12\right)+\frac14\left(\frac45+\frac23+\frac47\right)\approx\underline{0.69}7023792</math>}}
	* ולפי סימפסון: {{left\|<math>\begin{array}{l}\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\frac45+2\frac23+4\frac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left\|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left\|24x^{-5}\right\|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>\|R\|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math>		* ולפי סימפסון: {{left\|<math>\begin{array}{l}\displaystyle\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\frac45+2\frac23+4\frac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left\|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left\|24x^{-5}\right\|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>\|R\|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math>

	=אינטגרל לא אמיתי, סוג I=		=אינטגרל לא אמיתי, סוג I=

אור שחף: /* אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(improper integral)}} */

2011-05-02T11:19:07Z

אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(improper integral)}}

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:19, 2 במאי 2011
שורה 32:		שורה 32:
	* ולפי סימפסון: {{left\|<math>\begin{array}{l}\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\frac45+2\frac23+4\frac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left\|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left\|24x^{-5}\right\|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>\|R\|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math>		* ולפי סימפסון: {{left\|<math>\begin{array}{l}\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\frac45+2\frac23+4\frac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left\|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left\|24x^{-5}\right\|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>\|R\|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math>

	=אינטגרל לא אמיתי ~~{{הערה\|(improper integral)}}~~=		=אינטגרל לא אמיתי, סוג I=
	עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי".		עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי" (improper integral).
	~~==סוג א==~~
	אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math>.		אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math>.

שורה 47:		שורה 47:
	עבור f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math> נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית מקומית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> עבור <math>a\in\mathbb R</math> כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.		עבור f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math> נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית מקומית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> עבור <math>a\in\mathbb R</math> כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.

	===דוגמאות===		==דוגמאות==
	# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>.		# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>.
	# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln\|x\|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).		# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln\|x\|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).

אור שחף: /* סוג א */

2011-04-19T12:17:37Z

סוג א

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:17, 19 באפריל 2011
שורה 37:		שורה 37:
	אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math>.		אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math>.

	'''הגדרה''': תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל <math>b>a</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>.		'''הגדרה''': תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית (locally integrable) בקטע זה אם לכל <math>b>a</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>.

	למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.		למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.

אור שחף: /* דוגמאות */

2011-04-16T20:25:18Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:25, 16 באפריל 2011
שורה 48:		שורה 48:

	===דוגמאות===		===דוגמאות===
	# <math>\int\limits_1^\infty{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>.		# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>.
	# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln\|x\|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).		# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln\|x\|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).
	# שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף <math>y=\frac1x</math> סביב ציר ה-x ב-<math>[1,\infty)</math>. איך צובעים אותו מבפנים?<br/>'''פתרון''': לכאורה זה בלתי אפשרי, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\mathrm dx>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\mathrm dx=\infty</math>, כלומר אין מספיק צבע בעולם. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\pi</math>, יספיקו לנו <math>\pi</math> יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.		# שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף <math>y=\frac1x</math> סביב ציר ה-x ב-<math>[1,\infty)</math>. איך צובעים אותו מבפנים?<br/>'''פתרון''': לכאורה זה בלתי אפשרי, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\mathrm dx>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\mathrm dx=\infty</math>, כלומר אין מספיק צבע בעולם. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\pi</math>, יספיקו לנו <math>\pi</math> יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}= בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל ..."

2011-04-14T18:00:14Z

יצירת דף עם התוכן "=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}= בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל ..."

דף חדש

=מבוא לאינטגרציה נומרית {{הערה|(המשך)}}=
בהרצאה הקודמת הצגנו את כלל סימפסון לקירוב האינטגרל המסויים והראנו שהטעות בחישוב בקטע <math>[a,b]</math> חסומה ע"י <math>\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|\frac{h^4(b-a)}{45}</math> כאשר h המרחק בין שתי נקודות סמוכות בחלוקה שבחרנו. ניתן גישה אחרת למציאת הטעות, שהיא יותר קצרה ונותנת ערך יותר קטן לחסם של הטעות, אבל היא פחות אינטואיטיבית:

ע"י נירמול מספיק לחשב בקירוב <math>\int\limits_{-h}^h f\approx\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math> כאשר f גזירה 4 פעמים בסביבת 0. נגדיר פונקציה חדשה <math>G(h):=\int\limits_{-h}^h f-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))</math>. G מוגדרת ורציפה בסביבה של 0 וגם (לפי הצבה) <math>G(0)=0</math>. עבור F קדומה ל-f מתקיים (לפי המשפט היסודי){{left|<math>\begin{align}\frac\mathrm d{\mathrm dh}G(h)&=\frac\mathrm d{\mathrm dh}\left(F(h)-F(-h)-\frac h3(f(-h)+4f(0)+f(h))\right)\\&=f(h)+f(-h)-\frac13(f(-h)+4f(0)+f(h))-\frac h3(-f'(-h)+f'(h))\end{align}</math>}}
לכן <math>\lim_{h\to0}G'(h)=f(0)+f(0)-\frac13(f(0)+4f(0)+f(0)-0=2f(0)-\frac63f(0)=0</math>. ע"פ הלמה השנייה בהרצאה הקודמת <math>G'(0)</math> קיים ושווה ל-0. נגזור שוב את G ונקבל <math>\frac{\mathrm d^2}{\mathrm dh^2}G(h)=\frac13(f'(h)-f'(-h))-\frac h3(f''(-h)+f''(h))</math>. מכאן ש-<math>\lim_{h\to0}G''(h)=\frac13(f'(0)-f'(0))-0=0=G''(0)</math>. נמשיך לגזור פעמיים נוספות ונקבל <math>G'''(0)=G^{(4)}(0)=0</math> וגם <math>G^{(4)}(h)=-\frac13(-f'''(-h)+f'''(h))-\frac h3(f^{(4)}(-h)+f^{(4)}(h))</math>. עתה:
{|
{{=|l=\frac{G(h)}{h^5}
|r=\frac{G(h)-G(0)}{h^5-0^5}
}}
{{=|r=\frac{G'(h_1)}{5h_1^4}
|c=לפי משפט קושי קיים <math>h_1\in(0,h)</math> עבורו:
}}
{{=|r=\frac{G'(h_1)-G'(0)}{5h_1^4-5\cdot0^4}
}}
{{=|r=\frac{G''(h_2)}{20h_2^3}
|c=קיים <math>h_2\in(0,h_1)</math> עבורו:
}}
{{=|r=\frac{G'''(h_3)}{60h_3^2}
|c=קיים <math>h_3\in(0,h_2)</math> עבורו:
}}
{{=|r=\frac{G^{(4)}(h_4)}{120h_4}
|c=קיים <math>h_4\in(0,h_3)</math> עבורו:
}}
|}
כעת נגדיר <math>M:=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|</math>. לפי משפט לגראנז' קיים <math>c\in(-h,h)</math> כך ש-<math>\frac{f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)}{2h}=f^{(4)}(c)</math> ולכן <math>\left|f^{(3)}(h)-f^{(3)}(-h)\right|\le2hM</math>. מכל זה נובע {{left|<math>\begin{align}\left|G^{(4)}(h_4)\right|&\le\left|-\frac13\left(f^{(3)}(-h_4)+f^{(3)}(h_4)\right)\right|+\left|\frac{h_4}3\left(f^{(4)}(-h_4)+f^{(4)}(h_4)\right)\right|\\&\le\frac{2h_4}3M+\frac{h_4}32M\\&=\frac43Mh_4\end{align}</math>}}
עתה <math>\left|\frac{G(h)}{h^5}\right|=\left|\frac{G^{(4)}(h_4)}{120h_4}\right|\le\frac1{120h_4}\frac43Mh_4=\frac M{90}</math> וקיבלנו ש-<math>|G(h)|\le\frac{Mh^5}{90}</math>, כלומר הטעות בכל קטע מהסוג <math>[x_{k-1},x_{k+1}]</math> חסומה ע"י <math>\frac{Mh^5}{90}</math>. ב-<math>[a,b]</math> יש <math>\frac n2=\frac{(b-a)}{2h}</math> ולפיכך הטעות חסומה ע"י <math>\frac{b-a}{2h}\cdot\frac{Mh^5}{90}=\frac{Mh^4}{180}(b-a)</math>. {{משל}}
===דוגמה===
נקרב <math>\int\limits_1^2\frac{\mathrm dx}x=\ln(2)\approx0.69314718</math>. נבחר <math>h=\frac14</math>. נציב:
{{left|<math>\begin{array}{l|l}\underline x&\underline{1/x}\\1&1\\1.25&4/5\\1.5&2/3\\1.75&4/7\\2&1/2\end{array}</math>}}
* הקירוב לפי סכום רימן הוא <math>\sum_{k=0}^4f(x_k)h=\frac14\left(1+\frac45+\frac23+\frac47+\frac12\right)\approx\underline{0.6}34523809</math>.
* כעת נעשה קירוב בשיטת הטרפזים: {{left|<math>\frac{f(x_0)+f(x_4)}2h+h\sum_{k=1}^3f(x_k)=\frac18\left(1+\frac12\right)+\frac14\left(\frac45+\frac23+\frac47\right)\approx\underline{0.69}7023792</math>}}
* ולפי סימפסון: {{left|<math>\begin{array}{l}\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{2}f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{1}f(x_{2k})+f(x_4)\right)\\=\frac1{12}\left(1+4\frac45+2\frac23+4\frac47+\frac12\right)\\\approx\underline{0.693}253968\end{array}</math>}} נחשב את סדר הגודל של הטעות בקירוב סימפסון: {{left|<math>f'(x)=-x^{-2}\implies f''(x)=2x^{-3}\implies f^{(3)}(x)=-6x^{-4}\implies f^{(4)}(x)=24x^{-5}</math>}} ולכן <math>M=\max_{x\in[1,2]}\left|24x^{-5}\right|=24</math> והטעות R בקירוב מקיימת <math>|R|\le\frac{Mh^4}{180}(2-1)=\frac1{1920}<5.21\cdot10^{-4}</math>

=אינטגרל לא אמיתי {{הערה|(improper integral)}}=
עד עתה הגדרנו אינטגרלים מסויימים רק עבור פונקציות חסומות בקטעים סופיים. אם הפונקציה לא חסומה ו/או הקטע לא חסום עדיין ניתן להגדיר "אינטגרל לא אמיתי".
==סוג א==
אינטגרלים של קטעים אינסופיים מהסוג <math>\int\limits_{-\infty}^b f,\ \int\limits_a^\infty f,\ \int\limits_{-\infty}^\infty f</math>.

'''הגדרה''': תהי f פונקציה מוגדרת בקטע מהסוג <math>[a,\infty)</math>. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית בקטע זה אם לכל <math>b>a</math> f אינטגרבילית בקטע <math>[a,b]</math>.

למשל, אם f רציפה למקוטעין אז היא אינטגרבילית מקומית.

'''הגדרה:''' תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> נגדיר <math>\int\limits_a^\infty f:=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f</math>. אם הגבול קיים נאמר שהאינטגרל מתכנס, אחרת הוא מתבדר.

אינטגביליות מקומית מוגדרת באופן דומה עבור קטע מהצורה <math>(-\infty,b]</math> ואם f אינטגרבילית מקומית שם נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^b f:=\lim_{R\to-\infty}\int\limits_R^b f</math>.

עבור f מוגדרת בכל <math>\mathbb R</math> נאמר שהיא אינטגרבילית מקומית אם היא אינטגרבילית מקומית בכל קטע סופי, ואם כן נגדיר <math>\int\limits_{-\infty}^\infty f=\int\limits_{-\infty}^a f+\int\limits_a^\infty f</math> עבור <math>a\in\mathbb R</math> כרצוננו עבורו שני האינטגרלים באגף ימין מתכנסים.

===דוגמאות===
# <math>\int\limits_1^\infty{\mathrm dx}{x^2}</math>. נחשב: {{left|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R\frac{\mathrm dx}{x^2}\\&=\lim_{R\to\infty}\left[-\frac1x\right]_{x=1}^R\\&=\lim_{R\to\infty}\left(-\frac1R+1\right)\\&=1\end{align}</math>}} ניתן גם לכתוב בקיצור: <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{x=1}^\infty=0-(-1)=1</math>.
# <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\ln(\infty)-0=\infty</math>, כלומר האינטגרל מתבדר (אך מתכנס במובן הרחב).
# שאלה מארה"ב מלפני הרבה שנים: חצוצרה אינסופית תתקבל מסיבוב הגרף <math>y=\frac1x</math> סביב ציר ה-x ב-<math>[1,\infty)</math>. איך צובעים אותו מבפנים?<br/>'''פתרון''': לכאורה זה בלתי אפשרי, כי שטח הפנים של החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\sqrt{1+\left(-\frac1{x^2}\right)^2}\mathrm dx>\pi\int\limits_1^\infty\frac2x\mathrm dx=\infty</math>, כלומר אין מספיק צבע בעולם. אך מכיוון שכמות הצבע נמדדת ביחידות נפח ולא שטח, ומכיוון שהנפח בתוך החצוצרה הוא <math>\pi\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}{x^2}=\pi</math>, יספיקו לנו <math>\pi</math> יחידות מעוקבות של צבע ואפילו ישאר לנו עודף.

----

'''שאלה:''' האם התכנסות האינטגרל <math>\int\limits_1^\infty f</math> גוררת ש-<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=0</math> (בדומה לטורים)?

'''תשובה:''' לא. נגדיר פונקציה f שהגרף שלה הוא
[[קובץ:גרף פונקצית משולשים.png|600px]]
אזי {{left|<math>\int\limits_0^\infty f=</math> השטח שמתחת לגרף <math>=\lim_{n\to\infty}\frac12\left(1+\frac12+\frac14+\frac18+\dots+\frac1{2^n}\right)=\frac22=1</math>}}
כלומר האינטגרל מתכנס, אבל <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> לא קיים.