משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/3.5.11 - היסטוריית גרסאות

ארז שיינר: /* דוגמה */

2016-04-06T11:23:15Z

דוגמה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:23, 6 באפריל 2016
שורה 5:		שורה 5:
	<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?		<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?

	נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי-רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{\|x-\pi\|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש נקודת אי-רציפות ממין שני רק ב-<math>\pi</math> ולכן ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>.		נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי-רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}{x}\cdot\frac {x}{\sqrt x}\cdot\frac1{\sqrt{\|x-\pi\|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש נקודת אי-רציפות ממין שני רק ב-<math>\pi</math> ולכן ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>.

	f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}\sqrt{x-\pi}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}		f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1{\sqrt{x-\pi}}</math> ונחשב
			<math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}
			\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1{\sqrt\pi}\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}
			{\pi-x}=\frac1{\sqrt\pi}\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1{\sqrt\pi}\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}{\sqrt{x-\pi}}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}


שורה 21:		שורה 24:

	'''הגדרה:''' נניח שיש לנו סדרת פונקציות <math>\{u_n\}_{n=1}^\infty</math> על I. אפשר לבנות טור <math>\sum_{n=1}^\infty u_n(x)</math> כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N u_n(x)</math> וה-<math>\{S_N\}_{N=1}^\infty</math> סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-<math>S_N</math>, לפי ההגדרה, <math>J=\left\{x\in I:\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\in\mathbb R\right\}</math>. כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}S_N(x)</math>.		'''הגדרה:''' נניח שיש לנו סדרת פונקציות <math>\{u_n\}_{n=1}^\infty</math> על I. אפשר לבנות טור <math>\sum_{n=1}^\infty u_n(x)</math> כאשר התכנסות הטור נקבעת עפ"י הסכומים החלקיים <math>S_N(x)=\sum_{n=1}^N u_n(x)</math> וה-<math>\{S_N\}_{N=1}^\infty</math> סדרת פונקציות על I. תחום ההתכנסות ל-<math>S_N</math>, לפי ההגדרה, <math>J=\left\{x\in I:\lim_{N\to\infty}S_N(x)=\sum_{n=1}^\infty u_n(x)\in\mathbb R\right\}</math>. כמו כן הפונקציה הגבולית של הסדרה היא <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}S_N(x)</math>.

	==דוגמאות==		==דוגמאות==
	# <math>\forall n\in\mathbb N:\ f_n(x)=x^n</math>. זאת סדרת פונקציות על <math>\mathbb R</math> ומתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&\|x\|<1\\1&x=1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע <math>J=(-1,1]</math>. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-<math>x=1</math> אעפ"י שכל ה-<math>f_n</math> רציפות בנקודה זו.		# <math>\forall n\in\mathbb N:\ f_n(x)=x^n</math>. זאת סדרת פונקציות על <math>\mathbb R</math> ומתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&\|x\|<1\\1&x=1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע <math>J=(-1,1]</math>. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-<math>x=1</math> אעפ"י שכל ה-<math>f_n</math> רציפות בנקודה זו.

אור שחף ב־20:44, 29 ביולי 2012

2012-07-29T20:44:25Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:44, 29 ביולי 2012
שורה 1:		שורה 1:
	{{~~הערה~~\|את רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II ~~לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-3.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/~~1.5.11~~#continue\|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.~~}}		{{המשך הגיע\|תיאור=רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II\|תאריך=1.5.11}}

	=אינטגרל לא אמיתי, סוג II {{הערה\|(המשך)}}=		=אינטגרל לא אמיתי, סוג II {{הערה\|(המשך)}}=
שורה 5:		שורה 5:
	<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?		<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?

	נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי-רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{\|x-\pi\|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש נקודת אי-~~ראציפות~~ ממין שני רק ב-<math>\pi</math> ולכן ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>.		נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי-רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{\|x-\pi\|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש נקודת אי-רציפות ממין שני רק ב-<math>\pi</math> ולכן ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>.

	f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}\sqrt{x-\pi}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}		f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}\sqrt{x-\pi}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}

אור שחף ב־16:38, 31 ביולי 2011

2011-07-31T16:38:03Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:38, 31 ביולי 2011
שורה 5:		שורה 5:
	<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?		<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?

	נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{\|x-\pi\|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש ~~סינגולריות~~ רק ב-<math>\pi</math> ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>.		נסמן <math>f(x)=\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{\|x-\pi\|}^3}</math>. לפונקציה יש נקודת אי-רציפות סליקה באפס כי <math>\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(x)}x\cdot\frac x\sqrt x\cdot\frac1{\sqrt{\|x-\pi\|}^3}=1\cdot0\cdot\frac1{\sqrt \pi^3}=0</math>. כמו כן יש נקודת אי-ראציפות ממין שני רק ב-<math>\pi</math> ולכן ונרשום: <math>I_1:=\int\limits_0^\pi f\ \and\ I_2:=\int\limits_\pi^{2\pi} f</math>.

	f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}\sqrt{x-\pi}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}		f אי-שלילית בקטע <math>[0,\pi]</math>. לכן נגדיר <math>g(x):=\frac1\sqrt{x-\pi}</math> ונחשב <math>\lim_{x\to\pi^-}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\sqrt x(\pi-x)}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\sin(x)}{\pi-x}=\frac1\sqrt\pi\lim_{x\to\pi^-}\frac{\cos(x)}{-1}=\frac1\sqrt\pi\in\mathbb R</math> ולכן <math>I_1</math> מתכנס אם <math>\int\limits_0^\pi g</math> מתכנס, מה שאכן מתקיים: <math>\int\limits_0^\pi g=\int\limits_0^\pi(\pi-x)^{-1/2}\mathrm dx=\left[-2\sqrt{\pi-x}\right]_{x=0}^\pi=2\sqrt\pi</math>. באותו אופן אפשר להוכיח התכנסות <math>I_2</math> (השוואה עם <math>\frac{-1}\sqrt{x-\pi}</math>). מכאן שאינטגרל הנתון מתכנס. {{משל}}
שורה 24:		שורה 24:
	# <math>\forall n\in\mathbb N:\ f_n(x)=x^n</math>. זאת סדרת פונקציות על <math>\mathbb R</math> ומתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&\|x\|<1\\1&x=1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע <math>J=(-1,1]</math>. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-<math>x=1</math> אעפ"י שכל ה-<math>f_n</math> רציפות בנקודה זו.		# <math>\forall n\in\mathbb N:\ f_n(x)=x^n</math>. זאת סדרת פונקציות על <math>\mathbb R</math> ומתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}x^n=\begin{cases}0&\|x\|<1\\1&x=1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. לפיכך תחום ההתכנסות הוא הקטע <math>J=(-1,1]</math>. נשים לב כי יש לפונקציה הגבולית נקודת אי-רציפות ב-<math>x=1</math> אעפ"י שכל ה-<math>f_n</math> רציפות בנקודה זו.
	# נחשב את הפונקציה הגבולית עבור <math>f_n(x)=\frac{n^2x}{1+(nx)^2}</math>. עבור <math>x=0</math> מתקיים <math>\forall n:\ f_n(0)=0</math>. עבור <math>x\ne0</math> נקבל <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^2x}{1+(nx)^2}=\lim\frac x{\frac1{n^2}+x^2}=\frac1x</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\begin{cases}0&x=0\\\frac1x&x\ne0\end{cases}</math>.		# נחשב את הפונקציה הגבולית עבור <math>f_n(x)=\frac{n^2x}{1+(nx)^2}</math>. עבור <math>x=0</math> מתקיים <math>\forall n:\ f_n(0)=0</math>. עבור <math>x\ne0</math> נקבל <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^2x}{1+(nx)^2}=\lim\frac x{\frac1{n^2}+x^2}=\frac1x</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\begin{cases}0&x=0\\\frac1x&x\ne0\end{cases}</math>.
	# הטור ~~הנדסי~~ <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> שווה ל-<math>\begin{cases}\frac1{1-x}&\|x\|<1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>.		# הטור ההנדסי <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> שווה ל-<math>\begin{cases}\frac1{1-x}&\|x\|<1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math> (לפי נוסחת הסכום של טורים הנדסיים). תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>.
	# נבדוק למה שווה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n</math> עבור <math>\|x\|<1</math>:{{left\|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}</math>}} {{משל}}<br/>''גישה אחרת (מבט פונקציונלי):'' נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>. אם יש צדק בעולם <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}</math>, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>), ~~ועוד לא~~ הוכחנו כזה דבר (אך נעיר ~~שזה~~ נכון).		# נבדוק למה שווה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n</math> עבור <math>\|x\|<1</math>:{{left\|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}</math>}} {{משל}}<br/>''גישה אחרת (מבט פונקציונלי):'' נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>. אם יש צדק בעולם <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}</math>, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>), ולא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שעבור הטור הזה זה נכון).
	# נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0</math>. אם יש צדק בעולם אז <math>f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0</math>, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)</math> לא קיים לאף <math>x\in\mathbb R</math>.		# נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0</math>. אם יש צדק בעולם אז <math>f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0</math>, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)</math> לא קיים לאף <math>x\in\mathbb R</math>.
	# נתבונן בטור <math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math> ונוכיח כי <math>\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x</math>. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: <math>e^x=P_N(x)+R_N(x)</math> וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-<math>\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}</math> עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)</math>. כדי להראות ש-<math>S(x)=e^x</math> נותר להוכיח ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math>. ובכן נקח <math>x\in\mathbb R</math> כרצונינו ונשים לב כי לכל N כך ש-<math>x<N\in\mathbb N</math> מתקיים <math>0\le\|R_N(x)\|\le\frac{e^{\|x\|}\|x\|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{\|x\|}\frac{\|x\|}1\frac{\|x\|}2\frac{\|x\|}3\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor}\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0</math>~~<br/>~~ וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. {{משל}} עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: <math>S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots</math> ולכן <math>S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)</math>. נגדיר <math>f(x)=S(x)\cdot e^{-x}</math> ולכן <math>f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0</math> ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן <math>c=f(x)</math> ונובע ש-<math>S(x)=f(x)e^x=ce^x</math>. מהגדרת S נובע כי <math>S(0)=1</math> ז"א <math>1=S(0)=ce^0=c</math>, ולכן <math>S(x)=e^x</math> ובפרט <math>e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math>. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).		# נתבונן בטור <math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math> ונוכיח כי <math>\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x</math>. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: <math>e^x=P_N(x)+R_N(x)</math> וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-<math>\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}</math> עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)</math>. כדי להראות ש-<math>S(x)=e^x</math> נותר להוכיח ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math>. ובכן נקח <math>x\in\mathbb R</math> כרצונינו ונשים לב כי לכל N כך ש-<math>x<N\in\mathbb N</math> מתקיים {{left\|<math>0\le\|R_N(x)\|\le\frac{e^{\|x\|}\|x\|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{\|x\|}\frac{\|x\|}1\frac{\|x\|}2\frac{\|x\|}3\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor}\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0</math>}}וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. {{משל}} עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: <math>S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots</math> ולכן <math>S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)</math>. נגדיר <math>f(x)=S(x)\cdot e^{-x}</math> ולכן <math>f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0</math> ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן <math>c=f(x)</math> ונובע ש-<math>S(x)=f(x)e^x=ce^x</math>. מהגדרת S נובע כי <math>S(0)=1</math> ז"א <math>1=S(0)=ce^0=c</math>, ולכן <math>S(x)=e^x</math> ובפרט <math>e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math>. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).

חופית: /* דוגמאות */

2011-05-10T16:26:47Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:26, 10 במאי 2011
שורה 25:		שורה 25:
	# נחשב את הפונקציה הגבולית עבור <math>f_n(x)=\frac{n^2x}{1+(nx)^2}</math>. עבור <math>x=0</math> מתקיים <math>\forall n:\ f_n(0)=0</math>. עבור <math>x\ne0</math> נקבל <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^2x}{1+(nx)^2}=\lim\frac x{\frac1{n^2}+x^2}=\frac1x</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\begin{cases}0&x=0\\\frac1x&x\ne0\end{cases}</math>.		# נחשב את הפונקציה הגבולית עבור <math>f_n(x)=\frac{n^2x}{1+(nx)^2}</math>. עבור <math>x=0</math> מתקיים <math>\forall n:\ f_n(0)=0</math>. עבור <math>x\ne0</math> נקבל <math>\lim_{n\to\infty}\frac{n^2x}{1+(nx)^2}=\lim\frac x{\frac1{n^2}+x^2}=\frac1x</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\begin{cases}0&x=0\\\frac1x&x\ne0\end{cases}</math>.
	# הטור הנדסי <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> שווה ל-<math>\begin{cases}\frac1{1-x}&\|x\|<1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>.		# הטור הנדסי <math>\sum_{n=0}^\infty x^n</math> שווה ל-<math>\begin{cases}\frac1{1-x}&\|x\|<1\\\text{undefined}&\text{else}\end{cases}</math>. תחום ההתכנסות הוא <math>(-1,1)</math>.
	# נבדוק למה שווה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n</math> עבור <math>\|x\|<1</math>:{{left\|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}</math>}} {{משל}}<br/>''גישה אחרת (מבט פונקציונלי):'' נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>. אם יש צדק בעולם <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n~~=S(x)~~=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}</math>, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון).		# נבדוק למה שווה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n</math> עבור <math>\|x\|<1</math>:{{left\|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}</math>}} {{משל}}<br/>''גישה אחרת (מבט פונקציונלי):'' נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>. אם יש צדק בעולם <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}</math>, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון).
	# נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0</math>. אם יש צדק בעולם אז <math>f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0</math>, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)</math> לא קיים לאף <math>x\in\mathbb R</math>.		# נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0</math>. אם יש צדק בעולם אז <math>f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0</math>, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)</math> לא קיים לאף <math>x\in\mathbb R</math>.
	# נתבונן בטור <math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math> ונוכיח כי <math>\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x</math>. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: <math>e^x=P_N(x)+R_N(x)</math> וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-<math>\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}</math> עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)</math>. כדי להראות ש-<math>S(x)=e^x</math> נותר להוכיח ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math>. ובכן נקח <math>x\in\mathbb R</math> כרצונינו ונשים לב כי לכל N כך ש-<math>x<N\in\mathbb N</math> מתקיים <math>0\le\|R_N(x)\|\le\frac{e^{\|x\|}\|x\|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{\|x\|}\frac{\|x\|}1\frac{\|x\|}2\frac{\|x\|}3\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor}\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0</math><br/> וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. {{משל}} עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: <math>S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots</math> ולכן <math>S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)</math>. נגדיר <math>f(x)=S(x)\cdot e^{-x}</math> ולכן <math>f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0</math> ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן <math>c=f(x)</math> ונובע ש-<math>S(x)=f(x)e^x=ce^x</math>. מהגדרת S נובע כי <math>S(0)=1</math> ז"א <math>1=S(0)=ce^0=c</math>, ולכן <math>S(x)=e^x</math> ובפרט <math>e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math>. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).		# נתבונן בטור <math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math> ונוכיח כי <math>\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x</math>. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: <math>e^x=P_N(x)+R_N(x)</math> וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-<math>\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}</math> עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)</math>. כדי להראות ש-<math>S(x)=e^x</math> נותר להוכיח ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math>. ובכן נקח <math>x\in\mathbb R</math> כרצונינו ונשים לב כי לכל N כך ש-<math>x<N\in\mathbb N</math> מתקיים <math>0\le\|R_N(x)\|\le\frac{e^{\|x\|}\|x\|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{\|x\|}\frac{\|x\|}1\frac{\|x\|}2\frac{\|x\|}3\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor}\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0</math><br/> וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. {{משל}} עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: <math>S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots</math> ולכן <math>S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)</math>. נגדיר <math>f(x)=S(x)\cdot e^{-x}</math> ולכן <math>f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0</math> ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן <math>c=f(x)</math> ונובע ש-<math>S(x)=f(x)e^x=ce^x</math>. מהגדרת S נובע כי <math>S(0)=1</math> ז"א <math>1=S(0)=ce^0=c</math>, ולכן <math>S(x)=e^x</math> ובפרט <math>e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math>. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).

אור שחף: /* דוגמאות */

2011-05-09T19:23:16Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:23, 9 במאי 2011
שורה 27:		שורה 27:
	# נבדוק למה שווה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n</math> עבור <math>\|x\|<1</math>:{{left\|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}</math>}} {{משל}}<br/>''גישה אחרת (מבט פונקציונלי):'' נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>. אם יש צדק בעולם <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n=S(x)=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}</math>, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון).		# נבדוק למה שווה הטור <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n</math> עבור <math>\|x\|<1</math>:{{left\|<math>\begin{align}\sum_{n=1}^\infty nx^n&=\left(x+x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^2+x^3+\dots\right)+\left(x^3+\dots\right)+\dots\\&=\frac x{1-x}+\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^3}{1-x}+\dots\\&=\frac x{1-x}\sum_{n=0}^\infty x^n\\&=\frac x{(1-x)^2}\end{align}</math>}} {{משל}}<br/>''גישה אחרת (מבט פונקציונלי):'' נגדיר <math>S(x)=\sum_{n=1}^\infty x^n=\frac1{1-x}</math>. אם יש צדק בעולם <math>S'(x)=\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}</math> ולכן <math>\sum_{n=1}^\infty nx^n=S(x)=x\cdot S'(x)=x\cdot\frac1{(1-x)^2}</math>, אלא שאנו זקוקים למשפט כדי להצדיק את גזירת הטור איבר-איבר אינסוף פעמים (כלומר משפט האומר ש-<math>\left(\sum_{n=1}^\infty f_n(x)\right)'=\sum_{n=1}^\infty f_n'(x)</math>), ועוד לא הוכחנו כזה דבר (אך נעיר שזה נכון).
	# נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0</math>. אם יש צדק בעולם אז <math>f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0</math>, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)</math> לא קיים לאף <math>x\in\mathbb R</math>.		# נגדיר <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math>. לכן הפונקציה הגבולית היא <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}\sin\left(n^2x\right)\frac1n=0</math>. אם יש צדק בעולם אז <math>f_n(x)\to0\implies f_n'(x)\to0'=0</math>, אלא שצדק נמצא בחלל ובפרט <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)</math> לא קיים לאף <math>x\in\mathbb R</math>.
	# נתבונן בטור <math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math> ונוכיח כי <math>\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x</math>. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: <math>e^x=P_N(x)+R_N(x)</math> וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-<math>\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}</math> עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים <math>S(x)=\~~lim~~{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)</math>. כדי להראות ש-<math>S(x)=e^x</math> נותר להוכיח ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math>. ובכן נקח <math>x\in\mathbb R</math> כרצונינו ונשים לב כי <math>\~~forall~~ N:\ 0\le\|R_N(x)\|\le\frac{e^{\|x\|}\|x\|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{\|x\|}\frac{\|x\|}1\frac{\|x\|}2\frac{\|x\|}3\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor}\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0</math><br/> וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. {{משל}} עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: <math>S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots</math> ולכן <math>S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)</math>. נגדיר <math>f(x)=S(x)\cdot e^{-x}</math> ולכן <math>f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0</math> ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן <math>c=f(x)</math> ונובע ש-<math>S(x)=f(x)e^x=ce^x</math>. מהגדרת S נובע כי <math>S(0)=1</math> ז"א <math>1=S(0)=ce^0=c</math>, ~~ומכאן נובע ש-~~<math>S(x)=e^x</math> ובפרט <math>e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math>. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).		# נתבונן בטור <math>S(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}</math> ונוכיח כי <math>\forall x\in\mathbb R:\ S(x)=e^x</math>. נעשה זאת באמצעות טורי טיילור: <math>e^x=P_N(x)+R_N(x)</math> וכבר הראנו בקורס אינפי 1 ש-<math>\forall x\in\mathbb R:\ P_N(x)=\sum_{n=0}^N\frac{x^n}{n!}\ \and\ R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1}=\frac{e^c}{(N+1)!}x^{N+1}</math> עבור c כלשהו בין 0 ל-x. כעת הטור הנתון מקיים <math>S(x)=\lim_{N\to\infty}P_N(x)=\lim_{N\to\infty} e^x-R_N(x)</math>. כדי להראות ש-<math>S(x)=e^x</math> נותר להוכיח ש-<math>\lim_{N\to\infty}R_N(x)=0</math>. ובכן נקח <math>x\in\mathbb R</math> כרצונינו ונשים לב כי לכל N כך ש-<math>x<N\in\mathbb N</math> מתקיים <math>0\le\|R_N(x)\|\le\frac{e^{\|x\|}\|x\|^{N+1}}{(N+1)!}=e^{\|x\|}\frac{\|x\|}1\frac{\|x\|}2\frac{\|x\|}3\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor}\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+1}\cdots\frac{\|x\|}{\lfloor x\rfloor+(N+1-\lfloor x\rfloor)}\to0</math><br/> וכך הוכחנו בעזרת המבט הנקודתי. {{משל}} עתה ננסה להוכיח גם מנקודת מבט פונקציונלית: <math>S(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots</math> ולכן <math>S'(x)=0+1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots=S(x)</math>. נגדיר <math>f(x)=S(x)\cdot e^{-x}</math> ולכן <math>f'(x)=S'(x)e^{-x}+S(x)\left(-e^{-x}\right)=S(x)e^{-x}-S(x)e^{-x}=0</math> ומכאן ש-f פונקציה קבועה. נסמן <math>c=f(x)</math> ונובע ש-<math>S(x)=f(x)e^x=ce^x</math>. מהגדרת S נובע כי <math>S(0)=1</math> ז"א <math>1=S(0)=ce^0=c</math>, ולכן <math>S(x)=e^x</math> ובפרט <math>e=e^1=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}</math>. ו"הוכחנו" את הטענה (לצערנו גזרנו טור אינסופי איבר-איבר, אבל כאמור, אין לנו משפט שאומר שזה נכון).


שורה 37:		שורה 37:
	'''הוכחה:''' נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן <math>e=\frac pq</math> עבור <math>p,q\in\mathbb N</math>. לכן <math>q!e=(q-1)!p\in\mathbb N</math>, אבל <math>q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{q-1}<1}</math>, כלומר <math>q!e</math> הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. {{משל}}		'''הוכחה:''' נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן <math>e=\frac pq</math> עבור <math>p,q\in\mathbb N</math>. לכן <math>q!e=(q-1)!p\in\mathbb N</math>, אבל <math>q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{q-1}<1}</math>, כלומר <math>q!e</math> הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. {{משל}}

			=התכנסות במידה שווה=

	'''הגדרה:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>. ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של <math>f_n</math> ל-f במידה שווה ב-I:		'''הגדרה:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>. ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של <math>f_n</math> ל-f במידה שווה ב-I:
	* לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>\|f(x)-f_n(x)\|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>.		* לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>\|f(x)-f_n(x)\|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>.
	* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I} \|f(x)-f_n(x)\|=0</math>.		* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I} \|f(x)-f_n(x)\|=0</math>.

אור שחף: ביטול גרסה 10476 של אור שחף (שיחה)

2011-05-06T17:09:59Z

ביטול גרסה 10476 של אור שחף (שיחה)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:09, 6 במאי 2011
שורה 35:		שורה 35:
	'''טענה:''' e אינו רציונלי.		'''טענה:''' e אינו רציונלי.

	'''הוכחה:''' נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן <math>e=\frac pq</math> עבור <math>p,q\in\mathbb N</math>. לכן <math>q!e=(q-1)!p\in\mathbb N</math>, אבל <math>q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{1-q}<1}</math>, כלומר <math>q!e</math> הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. {{משל}}		'''הוכחה:''' נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן <math>e=\frac pq</math> עבור <math>p,q\in\mathbb N</math>. לכן <math>q!e=(q-1)!p\in\mathbb N</math>, אבל <math>q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{q-1}<1}</math>, כלומר <math>q!e</math> הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. {{משל}}

אור שחף: /* דוגמאות */

2011-05-06T17:02:48Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:02, 6 במאי 2011
שורה 35:		שורה 35:
	'''טענה:''' e אינו רציונלי.		'''טענה:''' e אינו רציונלי.

	'''הוכחה:''' נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן <math>e=\frac pq</math> עבור <math>p,q\in\mathbb N</math>. לכן <math>q!e=(q-1)!p\in\mathbb N</math>, אבל <math>q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{q-1}<1}</math>, כלומר <math>q!e</math> הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. {{משל}}		'''הוכחה:''' נניח בשלילה ש-e רצינלי ונסמן <math>e=\frac pq</math> עבור <math>p,q\in\mathbb N</math>. לכן <math>q!e=(q-1)!p\in\mathbb N</math>, אבל <math>q!e=\underbrace{q!+q!+\frac{q!}{2!}+\frac{q!}{3!}+\dots+\frac{q!}{q!}}_{\in\mathbb N}+\underbrace{\frac1{q+1}+\frac1{(q+1)(q+2)}+\dots}_{<\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n}=\frac1{1-q}<1}</math>, כלומר <math>q!e</math> הוא מספר טבעי השווה למספר טבעי ועוד מספר לא שלם, בסתירה. {{משל}}

אור שחף: /* דוגמאות */

2011-05-06T17:00:52Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:00, 6 במאי 2011
שורה 38:		שורה 38:


	'''הגדרה:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>. ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של <math>f_n</math> ל-f במידה ~~ושווה~~ ב-I:		'''הגדרה:''' תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בקטע I כך שלכל <math>x\in I</math> קיים הגבול <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>. ניתן שתי הגדרות שקולות לשאיפה של <math>f_n</math> ל-f במידה שווה ב-I:
	* לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>\|f(x)-f_n(x)\|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>.		* לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שאם <math>n>n_0</math> אז <math>\|f(x)-f_n(x)\|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>.
	* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I} \|f(x)-f_n(x)\|=0</math>.		* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I} \|f(x)-f_n(x)\|=0</math>.

אור שחף ב־19:01, 5 במאי 2011

2011-05-05T19:01:14Z

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-{{הערה|את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}
+{{הערה|את רשימת המשפטים לאינטגרלים לא אמיתיים מסוג II לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-3.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}
 =אינטגרל לא אמיתי, סוג II {{הערה|(המשך)}}=
 ==דוגמה==
 <math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?

אור שחף: המשך יבוא

2011-05-05T14:28:29Z

המשך יבוא

דף חדש

{{הערה|את משפט 10 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.5.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.5.11#continue|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}}

=אינטגרל לא אמיתי, סוג II {{הערה|(המשך)}}=
==דוגמה==
<math>\int\limits_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{\sqrt x\sqrt{|x-\pi|}^3}\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר?