משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* דוגמאות חישוב */

2011-08-18T14:16:39Z

דוגמאות חישוב

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:16, 18 באוגוסט 2011
שורה 7:		שורה 7:
	# נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-<math>(1,\infty)</math> ו-<math>\int\limits_1^\infty f</math> מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-<math>\int\limits_1^\infty g</math> מתכנס.<br/>''בנייה:'' נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math>, לכן <math>F'=f</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f</math> קיים ושווה ל-L. אם נגדיר <math>g(x)=2F(x)f(x)</math> אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר <math>F(x)=\int\limits_x^\infty f</math> אז <math>F'=-f</math> וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=0</math>. נגדיר <math>g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}</math>. חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן{{left\|<math>\begin{align}\int\limits_1^\infty g=&\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\int\limits_1^\infty\frac{-F'(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\left[-2\sqrt{F(x)}\right]_{x=1}^\infty\\&=2\sqrt{F(1)}\\&=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}\end{align}</math>}} {{משל}}		# נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-<math>(1,\infty)</math> ו-<math>\int\limits_1^\infty f</math> מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-<math>\int\limits_1^\infty g</math> מתכנס.<br/>''בנייה:'' נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math>, לכן <math>F'=f</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f</math> קיים ושווה ל-L. אם נגדיר <math>g(x)=2F(x)f(x)</math> אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר <math>F(x)=\int\limits_x^\infty f</math> אז <math>F'=-f</math> וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=0</math>. נגדיר <math>g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}</math>. חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן{{left\|<math>\begin{align}\int\limits_1^\infty g=&\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\int\limits_1^\infty\frac{-F'(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\left[-2\sqrt{F(x)}\right]_{x=1}^\infty\\&=2\sqrt{F(1)}\\&=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}\end{align}</math>}} {{משל}}
	# <math>\int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=[\sin(x)]_{x=0}^\infty\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין. {{משל}}		# <math>\int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=[\sin(x)]_{x=0}^\infty\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין. {{משל}}
	# נתבונן באינטגרל <math>\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר <math>\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x</math>): <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. נסמן <math>\forall k\in\{1,\dots,N\}:\ a_k:=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. ''טענה:'' המספרים <math>a_k</math> מקיימים <ul><li><math>(-1)^{k+1}a_k>0</math></li><li><math>\|a_1\|>\|a_2\|>\|a_3\|>\dots</math> (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).</li></ul>''הוכחה:''<ul><li>אם k אי-זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\ge0</math> בקטע <math>[(k-1)\pi,k\pi]</math> ואם k זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\le0</math> בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.</li><li>לכל k טבעי <math>\|a_k\|=\left\|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math> כי <math>\mbox{sinc}(x)</math> בעלת סימן קבוע ב-<math>[(k-1)\pi,k\pi]</math>. נציב <math>t=x+\pi</math> על מנת לקבל <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k~~-1)~~\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(t-\pi)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ומכיוון ש-<math>\sin(t-\pi)=-\sin(t)</math> זה שווה ל-<math>\|a_k\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(t)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ואילו <math>\|a_{k+1}\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math>, ומכיוון ש-<math>x-\pi<x\implies~~\forall x>\pi:\~~ \frac{\|\sin(x)\|}{x-\pi}>\frac{\|\sin(x)\|}x</math> הטענה השנייה מתקיימת.</li></ul>נותר לנו לבדוק ש-<math>\lim_{k\to\infty} \|a_k\|=0</math>. ואכן <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x=\ln\left\|\frac{k\pi}{(k-1)\pi}\right\|\to\ln\|1\|=0</math>. לסיכום <math>\int\limits_0^{N\pi}=\sum_{k=1}^N a_k</math> וה-<math>a_k</math> יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, נאמר ל-L. ''טענה:'' <math>\int\limits_0^\infty \mbox{sinc}(x)\mathrm dx=L</math>. ''הוכחה:'' יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\left\|\sum_{k=1}^n a_k-L\right\|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן <math>a_k\to0</math> ולכן קיים <math>n_1\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>\|a_k\|<\frac\varepsilon2</math>. אם <math>R\pi>\pi\cdot\max\{n_1,n_0\}</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}\left\|\int\limits_0^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|&=\left\|\int\limits_0^{\lfloor R\rfloor\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|\\&=\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&\le\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L\right\|+\left\|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&<\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor+1}\\&<\varepsilon\end{align}</math>}} {{משל}}		# נתבונן באינטגרל <math>\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר <math>\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x</math>): <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. נסמן <math>\forall k\in\{1,\dots,N\}:\ a_k:=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. ''טענה:'' המספרים <math>a_k</math> מקיימים <ul><li><math>(-1)^{k+1}a_k>0</math></li><li><math>\|a_1\|>\|a_2\|>\|a_3\|>\dots</math> (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).</li></ul>''הוכחה:''<ul><li>אם k אי-זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\ge0</math> בקטע <math>[(k-1)\pi,k\pi]</math> ואם k זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\le0</math> בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.</li><li>לכל k טבעי <math>\|a_k\|=\left\|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math> כי <math>\mbox{sinc}(x)</math> בעלת סימן קבוע ב-<math>[(k-1)\pi,k\pi]</math>. נציב <math>t=x+\pi</math> על מנת לקבל <math>\|a_k\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(t-\pi)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ומכיוון ש-<math>\sin(t-\pi)=-\sin(t)</math> זה שווה ל-<math>\|a_k\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(t)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ואילו <math>\|a_{k+1}\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math>, ומכיוון ש-<math>0<x-\pi<x\implies\frac{\|\sin(x)\|}{x-\pi}>\frac{\|\sin(x)\|}x</math> הטענה השנייה מתקיימת.</li></ul>נותר לנו לבדוק ש-<math>\lim_{k\to\infty} \|a_k\|=0</math>. ואכן <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x=\ln\left\|\frac{k\pi}{(k-1)\pi}\right\|\to\ln\|1\|=0</math>. לסיכום <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N a_k</math> וה-<math>a_k</math> יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, נאמר ל-L. ''טענה:'' <math>\int\limits_0^\infty \mbox{sinc}(x)\mathrm dx=L</math>. ''הוכחה:'' יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\left\|\sum_{k=1}^n a_k-L\right\|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן <math>a_k\to0</math> ולכן קיים <math>n_1\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>\|a_k\|<\frac\varepsilon2</math>. אם <math>R\pi>\pi\cdot\max\{n_1,n_0\}</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}\left\|\int\limits_0^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|&=\left\|\int\limits_0^{\lfloor R\rfloor\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|\\&=\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&\le\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L\right\|+\left\|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&<\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor+1}\\&<\varepsilon\end{align}</math>}} {{משל}}

	==משפט 1==		==משפט 1==

אור שחף ב־16:24, 27 ביולי 2011

2011-07-27T16:24:00Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:24, 27 ביולי 2011
שורה 2:		שורה 2:
	==דוגמאות חישוב==		==דוגמאות חישוב==
	# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left\|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}}		# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left\|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}}
	# <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{0.5\mathrm dy}{1+y^2}~~\mathrm dy~~=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}}		# <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{0.5\mathrm dy}{1+y^2}=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}}
	# עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln\|x\|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. הערה: עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>. ~~{{משל}}~~		# עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln\|x\|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. {{משל}} ''הערה:'' עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>.
	# נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math> נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math> ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}}		# נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math>, ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}}
	# נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-<math>(1,\infty)</math> ו-<math>\int\limits_1^\infty f</math> מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-<math>\int\limits_1^\infty g</math> מתכנס.<br/>בנייה: נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> לכן <math>F'=f</math> ~~לכן~~ <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f</math> קיים ושווה ל-L. אם נגדיר <math>g(x)=2F(x)f(x)</math> אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר <math>F(x)=\int\limits_x^\infty f</math> אז <math>F'=-f</math> וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=0</math>. נגדיר <math>g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}</math> חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן{{left\|<math>\begin{align}\int\limits_1^\infty g=&\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\int\limits_1^\infty\frac{-F'(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\left[-2\sqrt{F(x)}\right]_{x=1}^\infty\\&=2\sqrt{F(1)}\\&=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}\end{align}</math>}} {{משל}}		# נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-<math>(1,\infty)</math> ו-<math>\int\limits_1^\infty f</math> מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-<math>\int\limits_1^\infty g</math> מתכנס.<br/>''בנייה:'' נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math>, לכן <math>F'=f</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f</math> קיים ושווה ל-L. אם נגדיר <math>g(x)=2F(x)f(x)</math> אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר <math>F(x)=\int\limits_x^\infty f</math> אז <math>F'=-f</math> וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=0</math>. נגדיר <math>g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}</math>. חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן{{left\|<math>\begin{align}\int\limits_1^\infty g=&\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\int\limits_1^\infty\frac{-F'(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\left[-2\sqrt{F(x)}\right]_{x=1}^\infty\\&=2\sqrt{F(1)}\\&=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}\end{align}</math>}} {{משל}}
	# <math>\int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=[\sin(x)]_{x=0}^\infty\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין. {{משל}}		# <math>\int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=[\sin(x)]_{x=0}^\infty\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין. {{משל}}
	# נתבונן באינטגרל <math>\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר <math>\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x</math>): <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. נסמן <math>\forall k\in\{1,\dots,N\}:\ a_k:=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. טענה: המספרים <math>a_k</math> מקיימים <ul><li><math>(-1)^{k+1}a_k>0</math></li><li><math>\|a_1\|>\|a_2\|>\|a_3\|>\dots</math> (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).</li></ul>הוכחה:<ul><li>אם k אי-זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\ge0</math> בקטע <math>[(k-1)\pi,k\pi]</math> ואם k זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\le0</math> בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.</li><li>לכל k טבעי <math>\|a_k\|=\left\|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math> כי <math>\mbox{sinc}(x)</math> בעלת סימן קבוע ב-<math>[(k-1)\pi,k\pi]</math>. נציב <math>t=x+\pi</math> על מנת לקבל <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(t-\pi)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ומכיוון ש-<math>\sin(t-\pi)=-\sin(t)</math> זה שווה ל-<math>\|a_k\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(t)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ואילו <math>\|a_{k+1}\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math>, ומכיוון ש-<math>x-\pi<x\implies\forall x>\pi:\ \frac{\|\sin(x)\|}{x-\pi}>\frac{\|\sin(x)\|}x</math> הטענה השנייה מתקיימת.</li></ul>נותר לנו לבדוק ש-<math>\lim_{k\to\infty} \|a_k\|=0</math>. ואכן <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x=\ln\left\|\frac{k\pi}{(k-1)\pi}\right\|\to\ln\|1\|=0</math>. לסיכום <math>\int\limits_0^{N\pi}=\sum_{k=1}^N a_k</math> וה-<math>a_k</math> יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, נאמר ל-L. טענה: <math>\int\limits_0^\infty \mbox{sinc}(x)\mathrm dx=L</math>. הוכחה: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\left\|\sum_{k=1}^n a_k-L\right\|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן <math>a_k\to0</math> ולכן קיים <math>n_1\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>\|a_k\|<\frac\varepsilon2</math>. אם <math>R\pi>\pi\cdot\max\{n_1,n_0\}</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}\left\|\int\limits_0^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|&=\left\|\int\limits_0^{\lfloor R\rfloor\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|\\&=\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&\le\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L\right\|+\left\|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&~~\le~~\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor+1}\\&<\varepsilon\end{align}</math>}} {{משל}}		# נתבונן באינטגרל <math>\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר <math>\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x</math>): <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. נסמן <math>\forall k\in\{1,\dots,N\}:\ a_k:=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. ''טענה:'' המספרים <math>a_k</math> מקיימים <ul><li><math>(-1)^{k+1}a_k>0</math></li><li><math>\|a_1\|>\|a_2\|>\|a_3\|>\dots</math> (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).</li></ul>''הוכחה:''<ul><li>אם k אי-זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\ge0</math> בקטע <math>[(k-1)\pi,k\pi]</math> ואם k זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\le0</math> בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.</li><li>לכל k טבעי <math>\|a_k\|=\left\|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math> כי <math>\mbox{sinc}(x)</math> בעלת סימן קבוע ב-<math>[(k-1)\pi,k\pi]</math>. נציב <math>t=x+\pi</math> על מנת לקבל <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(t-\pi)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ומכיוון ש-<math>\sin(t-\pi)=-\sin(t)</math> זה שווה ל-<math>\|a_k\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(t)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ואילו <math>\|a_{k+1}\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math>, ומכיוון ש-<math>x-\pi<x\implies\forall x>\pi:\ \frac{\|\sin(x)\|}{x-\pi}>\frac{\|\sin(x)\|}x</math> הטענה השנייה מתקיימת.</li></ul>נותר לנו לבדוק ש-<math>\lim_{k\to\infty} \|a_k\|=0</math>. ואכן <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x=\ln\left\|\frac{k\pi}{(k-1)\pi}\right\|\to\ln\|1\|=0</math>. לסיכום <math>\int\limits_0^{N\pi}=\sum_{k=1}^N a_k</math> וה-<math>a_k</math> יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, נאמר ל-L. ''טענה:'' <math>\int\limits_0^\infty \mbox{sinc}(x)\mathrm dx=L</math>. ''הוכחה:'' יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\left\|\sum_{k=1}^n a_k-L\right\|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן <math>a_k\to0</math> ולכן קיים <math>n_1\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>\|a_k\|<\frac\varepsilon2</math>. אם <math>R\pi>\pi\cdot\max\{n_1,n_0\}</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}\left\|\int\limits_0^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|&=\left\|\int\limits_0^{\lfloor R\rfloor\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|\\&=\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&\le\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L\right\|+\left\|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&<\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor+1}\\&<\varepsilon\end{align}</math>}} {{משל}}

	==משפט 1==		==משפט 1==
שורה 14:		שורה 14:
	לפי הגדרה <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+c\int\limits_a^R g=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. {{משל}}		לפי הגדרה <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+c\int\limits_a^R g=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>. {{משל}}
	==משפט 2==		==משפט 2==
	תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס, ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>. ההוכחה פשוטה ~~מדי~~.		תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס, ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>. ההוכחה פשוטה.

	==משפט 3==		==משפט 3==
שורה 20:		שורה 20:
	# תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. עוד נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> בקטע זה, אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל.		# תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. עוד נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> בקטע זה, אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל.
	===הוכחות===		===הוכחות===
	# נניח <math>\sup_{x>a} f(x)=m\in\mathbb R</math>. טענה: <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם <math>\varepsilon>0</math> אזי קיים <math>x_0\in[a,\infty)</math> כך ש-<math>m-\varepsilon<f(x_0)\le m<m+\varepsilon</math> לכן עבור כל <math>x>x_0</math> מתקיים (מכיוון ש-f עולה) <math>m-\varepsilon<f(x_0)\le f(x)\le m<m+\varepsilon</math>. בפרט, לכל <math>x>x_0</math> מתקיים <math>\|f(x)-m\|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=m</math> ואם <math>\sup_{x>a} f(x)=\infty</math> (לא חסום) אז לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיים <math>x_0</math> כך ש-<math>f(x_0)>n</math>. כעת, אם <math>x>x_0</math> אז <math>f(x)\ge f(x_0)>n</math>. נובע ש-<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> ואין גבול במובן הצר. {{משל}}		# נניח <math>\sup_{x>a} f(x)=m\in\mathbb R</math>. ''טענה:'' <math>\lim_{x\to\infty} f(x)</math> קיים ושווה ל-m. ''הוכחה:'' לפי אפיון החסם העליון, אם <math>\varepsilon>0</math> אזי קיים <math>x_0\in[a,\infty)</math> כך ש-<math>m-\varepsilon<f(x_0)\le m<m+\varepsilon</math> לכן עבור כל <math>x>x_0</math> מתקיים (מכיוון ש-f עולה) <math>m-\varepsilon<f(x_0)\le f(x)\le m<m+\varepsilon</math>. בפרט, לכל <math>x>x_0</math> מתקיים <math>\|f(x)-m\|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty} f(x)=m</math> ואם <math>\sup_{x>a} f(x)=\infty</math> (לא חסום) אז לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיים <math>x_0</math> כך ש-<math>f(x_0)>n</math>. כעת, אם <math>x>x_0</math> אז <math>f(x)\ge f(x_0)>n</math>. נובע ש-<math>\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty</math> ואין גבול במובן הצר. {{משל}}
	# לכל <math>R>a</math> נגדיר <math>F(R)=\int\limits_a^R f</math>. כיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> לכל <math>x\ge a</math>, <math>F(R)</math> עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי מקיים <math>\int\limits_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f=\lim_{R\to\infty} F(R)</math> וראינו בסעיף 1 שהגבול של <math>F(R)</math> קיים אם"ם <math>F(R)</math> חסומה מלעיל, ז"א אם"ם <math>\int\limits_a^R f</math> חסום מלעיל כאשר <math>R\to\infty</math>. {{משל}}		# לכל <math>R>a</math> נגדיר <math>F(R)=\int\limits_a^R f</math>. כיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> לכל <math>x\ge a</math>, <math>F(R)</math> עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי מקיים <math>\int\limits_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f=\lim_{R\to\infty} F(R)</math> וראינו בסעיף 1 שהגבול של <math>F(R)</math> קיים אם"ם <math>F(R)</math> חסומה מלעיל, ז"א אם"ם <math>\int\limits_a^R f</math> חסום מלעיל כאשר <math>R\to\infty</math>. {{משל}}
	===מסקנה===		===מסקנה===
	מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל הלא אמיתי של פונקציה אינטגרבילית מקומית אי-שלילית מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-<math>\infty</math>.		מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל הלא אמיתי של פונקציה אינטגרבילית מקומית אי-שלילית מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-<math>\infty</math>.

חופית: /* דוגמאות חישוב */

2011-05-05T17:00:51Z

דוגמאות חישוב

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:00, 5 במאי 2011
שורה 7:		שורה 7:
	# נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-<math>(1,\infty)</math> ו-<math>\int\limits_1^\infty f</math> מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-<math>\int\limits_1^\infty g</math> מתכנס.<br/>בנייה: נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> לכן <math>F'=f</math> לכן <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f</math> קיים ושווה ל-L. אם נגדיר <math>g(x)=2F(x)f(x)</math> אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר <math>F(x)=\int\limits_x^\infty f</math> אז <math>F'=-f</math> וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=0</math>. נגדיר <math>g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}</math> חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן{{left\|<math>\begin{align}\int\limits_1^\infty g=&\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\int\limits_1^\infty\frac{-F'(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\left[-2\sqrt{F(x)}\right]_{x=1}^\infty\\&=2\sqrt{F(1)}\\&=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}\end{align}</math>}} {{משל}}		# נניח ש-f אי-שלילית ורציפה ב-<math>(1,\infty)</math> ו-<math>\int\limits_1^\infty f</math> מתכנס. נוכיח שקיימת g אי-שלילת מסדר גודל גדול מ-f כך ש-<math>\int\limits_1^\infty g</math> מתכנס.<br/>בנייה: נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> לכן <math>F'=f</math> לכן <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f</math> קיים ושווה ל-L. אם נגדיר <math>g(x)=2F(x)f(x)</math> אז g מסדר גודל כמו של f וזה לא עוזר, לכן יש להגדיר <math>F(x)=\int\limits_x^\infty f</math> אז <math>F'=-f</math> וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=0</math>. נגדיר <math>g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}</math> חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן{{left\|<math>\begin{align}\int\limits_1^\infty g=&\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\int\limits_1^\infty\frac{-F'(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx\\&=\left[-2\sqrt{F(x)}\right]_{x=1}^\infty\\&=2\sqrt{F(1)}\\&=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}\end{align}</math>}} {{משל}}
	# <math>\int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=[\sin(x)]_{x=0}^\infty\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין. {{משל}}		# <math>\int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=[\sin(x)]_{x=0}^\infty\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין. {{משל}}
	# נתבונן באינטגרל <math>\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר <math>\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x</math>): <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. נסמן <math>\forall k\in\{1,\dots,N\}:\ a_k:=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. טענה: המספרים <math>a_k</math> מקיימים <ul><li><math>(-1)^{k+1}a_k>0</math></li><li><math>\|a_1\|>\|a_2\|>\|a_3\|>\dots</math> (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).</li></ul>הוכחה:<ul><li>אם k אי-זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\ge0</math> בקטע <math>[(k-1)\pi,k\pi]</math> ואם k זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\le0</math> בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.</li><li>לכל k טבעי <math>\|a_k\|=\left\|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math> כי <math>\mbox{sinc}(x)</math> בעלת סימן קבוע ב-<math>[(k-1)\pi,k\pi]</math>. נציב <math>t=x+\pi</math> על מנת לקבל <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(t-\pi)\|}{t-\pi}\mathrm dx</math> ומכיוון ש-<math>\sin(t-\pi)=-\sin(t)</math> זה שווה ל-<math>\|a_k\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(t)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ואילו <math>\|a_{k+1}\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math>, ומכיוון ש-<math>x-\pi<x\implies\forall x>\pi:\ \frac{\|\sin(x)\|}{x-\pi}>\frac{\|\sin(x)\|}x</math> הטענה השנייה מתקיימת.</li></ul>נותר לנו לבדוק ש-<math>\lim_{k\to\infty} \|a_k\|=0</math>. ואכן <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x=\ln\left\|\frac{k\pi}{(k-1)\pi}\right\|\to\ln\|1\|=0</math>. לסיכום <math>\int\limits_0^{N\pi}=\sum_{k=1}^N a_k</math> וה-<math>a_k</math> יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, נאמר ל-L. טענה: <math>\int\limits_0^\infty \mbox{sinc}(x)\mathrm dx=L</math>. הוכחה: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\left\|\sum_{k=1}^n a_k-L\right\|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן <math>a_k\to0</math> ולכן קיים <math>n_1\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>\|a_k\|<\frac\varepsilon2</math>. אם <math>R\pi>\pi\cdot\max\{n_1,n_0\}</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}\left\|\int\limits_0^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|&=\left\|\int\limits_0^{\lfloor R\rfloor\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|\\&=\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&\le\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L\right\|+\left\|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&\le\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor+1}\\&<\varepsilon\end{align}</math>}} {{משל}}		# נתבונן באינטגרל <math>\int\limits_0^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נוכיח שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ונבטא את האינטגרל החלקי (כאשר <math>\mbox{sinc}(x)=\frac{\sin(x)}x</math>): <math>\int\limits_0^{N\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. נסמן <math>\forall k\in\{1,\dots,N\}:\ a_k:=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx</math>. טענה: המספרים <math>a_k</math> מקיימים <ul><li><math>(-1)^{k+1}a_k>0</math></li><li><math>\|a_1\|>\|a_2\|>\|a_3\|>\dots</math> (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ).</li></ul>הוכחה:<ul><li>אם k אי-זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\ge0</math> בקטע <math>[(k-1)\pi,k\pi]</math> ואם k זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\le0</math> בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.</li><li>לכל k טבעי <math>\|a_k\|=\left\|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math> כי <math>\mbox{sinc}(x)</math> בעלת סימן קבוע ב-<math>[(k-1)\pi,k\pi]</math>. נציב <math>t=x+\pi</math> על מנת לקבל <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\|\sin(t-\pi)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ומכיוון ש-<math>\sin(t-\pi)=-\sin(t)</math> זה שווה ל-<math>\|a_k\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(t)\|}{t-\pi}\mathrm dt</math> ואילו <math>\|a_{k+1}\|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx</math>, ומכיוון ש-<math>x-\pi<x\implies\forall x>\pi:\ \frac{\|\sin(x)\|}{x-\pi}>\frac{\|\sin(x)\|}x</math> הטענה השנייה מתקיימת.</li></ul>נותר לנו לבדוק ש-<math>\lim_{k\to\infty} \|a_k\|=0</math>. ואכן <math>\|a_k\|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{\|\sin(x)\|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x=\ln\left\|\frac{k\pi}{(k-1)\pi}\right\|\to\ln\|1\|=0</math>. לסיכום <math>\int\limits_0^{N\pi}=\sum_{k=1}^N a_k</math> וה-<math>a_k</math> יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, נאמר ל-L. טענה: <math>\int\limits_0^\infty \mbox{sinc}(x)\mathrm dx=L</math>. הוכחה: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\left\|\sum_{k=1}^n a_k-L\right\|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן <math>a_k\to0</math> ולכן קיים <math>n_1\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>\|a_k\|<\frac\varepsilon2</math>. אם <math>R\pi>\pi\cdot\max\{n_1,n_0\}</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}\left\|\int\limits_0^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|&=\left\|\int\limits_0^{\lfloor R\rfloor\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx-L\right\|\\&=\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&\le\left\|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L\right\|+\left\|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \mbox{sinc}(x)\mathrm dx\right\|\\&\le\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor+1}\\&<\varepsilon\end{align}</math>}} {{משל}}

	==משפט 1==		==משפט 1==

אור שחף ב־11:20, 2 במאי 2011

2011-05-02T11:20:04Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:20, 2 במאי 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=אינטגרל לא אמיתי {{הערה\|(המשך)}}=		=אינטגרל לא אמיתי, סוג I {{הערה\|(המשך)}}=
	==דוגמאות חישוב==		==דוגמאות חישוב==
	# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left\|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}}		# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left\|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}}

חופית: /* דוגמאות חישוב */

2011-04-20T14:40:18Z

דוגמאות חישוב

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:40, 20 באפריל 2011
שורה 2:		שורה 2:
	==דוגמאות חישוב==		==דוגמאות חישוב==
	# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left\|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}}		# נחשב <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx</math>:{{left\|<math>\begin{align}\int&=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx\\&=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R\\&=\frac2e\end{align}</math>}}דרך קיצור:{{left\|<math>\int=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>}} {{משל}}
	# <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dy}{1+y^2}\mathrm dy=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}}		# <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty\frac{0.5\mathrm dy}{1+y^2}\mathrm dy=\left[\frac12\arctan(y)\right]_{y=1}^\infty=...</math>. {{משל}}
	# עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln\|x\|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. הערה: עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>. {{משל}}		# עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math>: אם <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty\frac{\mathrm dx}x=[\ln\|x\|]_{x=1}^\infty=\infty</math>, כלומר מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>\left[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}\right]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{-p+1}}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. הערה: עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x\ln(x)}=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>. {{משל}}
	# נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math> נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math> ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}}		# נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניח ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נוכיח כי קיימת פונקציה g אי-שלילית ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f, ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty</math>, ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math> נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math> ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>. {{משל}}

אור שחף ב־15:25, 19 באפריל 2011

2011-04-19T15:25:33Z

הצגת שינויים

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=אינטגרל לא אמיתי= הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע מהסוג $[a,\infty)$ \. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית ..."

2011-04-05T14:19:27Z

יצירת דף עם התוכן "=אינטגרל לא אמיתי= הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע מהסוג <math>[a,\infty)</math> \. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית ..."

דף חדש

=אינטגרל לא אמיתי=
הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע מהסוג <math>[a,\infty)</math> \. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> אם לכל <math>b>a</math> f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> (locally integrable function).
הגדרה: תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. נגדיר <math>\int\limits_a^\infty f(x)\mathrm dx=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f(x)\mathrm dx</math>.
אם הגבול קיים אומרים שהאינטגרל מתכנס ו-f אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ואם הגגבול לא קים אומרים שהאינטגרל מתבדר \, ו-f לא אינטגרבילית בקטע.

==דוגמאות חישוב==
# <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx=\lim_{R\to\infty}\int\limits_1^R xe^{-x}\mathrm dx=\lim_{R\to\infty}\left[x'\cdot(-x)e^{-x}\right]_{x=1}^R-\int\limits_1^R -e^{-x}\mathrm dx=\lim_{R\to\infty}-Re^{-R}+e^{-1}-[e^x]_{x=1}^R=\frac2e</math>. דרך קיצור: <math>\int\limits_1^\infty xe^{-x}\mathrm dx=[-xe^{-x}]_{x=1}^\infty+\int\limits_1^\infty -e^{-x}\mathrm dx=e^{-1}-[e^{-x}]_{x=1}^\infty=\frac2e</math>.
# <math>\int\limits_1^\infty \frac x{1+x^4}\mathrm dx</math>. נציב <math>y=x^2</math> ואז כאשר <math>x=1</math> נקבל <math>y=1</math> וכאשר <math>x\to\infty</math> נקבל <math>y\to\infty</math> ולכן <math>\int=\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dy}{1+y^2}\mathrm dy=[\frac12\arctan(y)]_{y=1}^\infty=...</math>.
# עבור <math>p>0</math> נחשב <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}{x^p}</math> עבור <math>p=1</math> זה <math>\int\limits_1^\infty \frac{\mathrm dx}x=[\ln|x|]_{x=1}^\infty=\infty</math> - מתבדר. עבור <math>p\ne1</math> נקבל <math>[\frac{x^{-p+1}}{-p+1}]_1^\infty=\lim_{x\to\infty}\frac{x-p+1}{-p+1}-\frac1{-p+1}=\begin{cases}\frac1{p-1}&p>1\\\infty&p<1\end{cases}</math>, כלומר האינטגרל מתכנס <math>p>1\ \iff</math>. הערה: עבור <math>p<1</math> מתקבל <math>\frac1{x^p}>\frac1x</math> בקטע <math>(1,\infty)</math>. לכן מבין הפונקציות <math>\frac1{x^p}</math>, הפונקציה המינימלית שעבורה האינטגרל על <math>[1,\infty)</math> מתבדר היא <math>\frac1x</math>. אבל יש פונקציה מסדר גודל יותר קטן מ-<math>\frac1x</math> שעבורן האינטגרל מתבדר, למשל <math>\int\limits_2^\infty\frac x{x\ln(x)}\mathrm dx=\int\limits_2^\infty\frac{1/x}{\ln(x)}\mathrm dx=[\ln(\ln(x))]_{x=2}^\infty=\infty</math>. "קל לבדוק" שעבור <math>p>0</math> האינטגרל <math>\int\limits_2^\infty\frac{\mathrm dx}{x(\ln(x))^p}</math> מתכנס אם"ם <math>p>1</math>.
# נניח ש-f מוגדרת ורציפה ב-<math>[1,\infty)</math> ונניחי ש-<math>\int\limits_1^\infty f=\infty</math>. נבנה פונקציה <math>g(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>[1,\infty)</math> מסדר גודל יותר קטן מ-f: ז"א <math>\lim_{x\to\infty}\frac fg=\infty</math> ועדיין <math>\int\limits_1^\infty g(x)\mathrm dx=\infty</math>. ובכן נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> אז כמובן ש-<math>F'(x)=f(x)</math> ולפי הנתון <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f=\infty</math> נגדיר <math>g(x)=\frac {f(x)}{F(x)}</math> וכן <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac {f(x)}{f(x)/F(x)}=\lim_{x\to\infty}F(x)=\infty</math> ז"א g מסדר גודל קטן מ-f. כעת <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty \frac{F'(x)}{F(x)}}\mathrm dx=[\ln(F(x))]_{x=1}^\infty=\infty</math>.
# נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> רציפה ב-<math>(1,\infty)</math> ו-<math>\int\limits_1^\infty f</math> מתכנס. אז קיימת <math>g(x)\ge0</math> מסדר גודל דגול מ-F כך ש-<math>\int\limits_1^\infty g</math> מתכנס.
בנייה: נגדיר <math>F(x)=\int\limits_1^x f</math> לכן <math>F'(x)=f(x)</math> לכן <math>\lim_{x\to\infty}F(x)=\int\limits_1^\infty f</math> קיים ושווה ל-L. נגדיר <math>g(x)=2F(x) f(x)</math> אז g מגדר גודל כמו f וזה לא עוזר, אלא יש להגדיר <math>F(x)=\int\limits_x^\infty f</math> אז שוב <math>F'=-f</math> וכיוון שהאינטגרל של f מתכנס, <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=0</math>. נגדיר <math>g:x\mapsto\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}</math> חילקנו את f בפונקציה ששואפת ל-0 באינסוף, ולכן g מסדר גודל יותר גדול מ-f. יתר על כן <math>\int\limits_1^\infty g=\int\limits_1^\infty\frac{f(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx=\int\limits_1^\infty\frac{-F(x)}\sqrt{F(x)}\mathrm dx=[-2\sqrt{F(x)}]_{x=1}^\infty=2\sqrt{F(x)}=2\sqrt{\int\limits_1^\infty f}</math>
# <math>\int\limits_0^\infty \cos(x)\mathrm dx=\not\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}</math>, כלומר האינטגרל מתבדר לחלוטין.
# נתבונן באינטגרל <math>\int\limits_1^\infty \frac{\sin(x)}x\mathrm dx</math> - מתכנס או מתבדר? נוכיך שמתכנס בעזרת משפט לייבניץ על טורים. נבחר N טבעי ןנבטא את האינטגרל החלקי <math>\int\limits_1^{N\pi}\sinc(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N \int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\sinc(x)\mathrm dx=\sum_{k=1}^N a_k</math>. טענה: המספרים <math>a_k</math> מקיימים:
* <math>(-1)^{k+1}a_k>0</math>
* <math>|a_1|>|a_2|>|a_3|>\dots</math> (ולכן הטור שמתפתח הוא טור לייבניץ. הוכחה:
* <math>\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\sinc(x)\mathrm dx</math>. אם k א"ז אז <math>\frac{\sin(x)}x\ge0</math> בקטע <math>[(k-1)\pi,k\pi]</math> ואם k זוגי אז <math>\frac{\sin(x)}x\le0</math> בקטע. לכן הטענה הראשונה מתקיימת.
* לכל k טבעי <math>|a_k|=\left|\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\sinc(x)\mathrm dx\right|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx</math> כי <math>\sinc(x)</math> בעלת סימן קבוע ב-<math>[(k-1)\pi,k\pi]</math>. נציב <math>t=x+\pi</math> על מנת לקבל <math>|a_k|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(t-\pi)|}{t-\pi}\mathrm dx</math> ומכיוון ש-<math>\sin(t-\pi)=-\sin(t)</math> זה שווה ל-<math>|a_k|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{|\sin(t)|}{t-\pi}\mathrm dx</math> ואילו <math>|a_{k+1}|=\int\limits_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin(t)|}{t-\pi}\mathrm dx</math>, לכן הטענה השנייה מתקיימת. נותר לנו לבדוק ש-<math>\lim_{k\to\infty} |a_k|=0</math>. ואכן <math>|a_k|=\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi} \frac{|\sin(x)|}x\mathrm dx\le\int\limits_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\mathrm dx}x\le\frac1{(k-1)}\pi\to0</math>. לסיכום <math>\int\limits_0^{N\pi}=\sum_{k=1}^N a_k</math> וה-<math>a_k</math> יוצרים טור לייבניץ. ע"פ משפט ליבניץ הטור <math>\sum_{k=1}^\infty a_k</math> מתכנס, נאמר ל-L. טענה - <math>\int_1^\infty \sinc(x)\mathrm dx=L</math>. הוכחה: יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. לפי הנתון קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n a_k-L\right|<\frac\varepsilon2</math>. כמו כן <math>a_k\to0</math> ולכן קיים <math>n_1\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_1</math> מתקיים <math>|a_k|\le\frac\varepsilon2</math>. כעת נגדיר <math>n_2=\max\{n_1,n_0\}</math>. אם <math>R\pi>n_2\pi</math> אזי <math>|\int_1^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx-L|=|\int\limits_1^{\lfloor R\rfloor\pi} \sinc(x)\mathrm dx+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx-L|=|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L+\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx|\le|\sum_{k=1}^{\lfloor R\rfloor} a_k-L|+|\int\limits_{\lfloor R\rfloor\pi}^{R\pi} \sinc(x)\mathrm dx|</math>\le\frac\varepsilon2+a_{\lfloor R\rfloor}<\varepsilon

==משפט 1==
נניח שהפונקציות f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות בקטע <math>[a,\infty)</math> ו-c מספר קבוע. אזי הפונקציה <math>f+cg</math> אינטגרבילית ב-<math>[a,\infty)</math> ומתקיים <math>\int\limits_a^\infty (f+cg)=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math>.
===הוכחה===
לפי הגדרה <math>\int\limits_a^\infty f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+cg=\lim_{R\to\infty} \int\limits_a^R f+c\int\limits_a^R g=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g</math> {{משל}}
==משפט 2==
תהי f מוגדר ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math> ויהי <math>b>a</math>. אזי האינטגרל <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם <math>\int\limits_b^\infty f</math> מתכנס, ואם כן <math>\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f</math>. ההוכחה פשוטה מדי.

==משפט 3==
# תהי f מוגדרת ועולה בקטע <math>[a,\infty)</math> אזי <math>\lim_{x\to\infty} F(x)</math> קיים אם"ם <math>\sup_x F(x)<\infty</math>, ואם כן <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=\sup_{x>a} F(x)</math>.
# תהי f מוגדרת ואינטגרבילית מקומית ב-<math>[a,\infty)</math>. עוד נניח ש-<math>f(x)\ge0</math> בקטע זה, אזי <math>\int\limits_a^\infty f</math> מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים <math>\int\limits_a^R f</math> חסומים מלעיל.
===הוכחות===
# נניח <math>\sup_{x>a} f(x)=m\in\mathbb R</math>. טענה: <math>\lim_{x\to\infty} F(x)</math> קיים ושווה ל-m. הוכחה: לפי אפיון החסם העליון, אם <math>\varepsilon>0</math> נתון אזי קיים <math>x_0\in[a,\infty)</math> כך ש-<math>m-\varepsilon<F(x_0)\le m<m+\varepsilon</math> לכן עבור כל <math>x>x_0</math> מתקיים (מכיוון ש-f עולה) <math>m-\varepsilon<F(x_0)\le F(x)\le m<m+\varepsilon</math>. בפרט, לכל <math>x>x_0</math> מתקיים <math>|F(x)-m|<\varepsilon</math> ולכן <math>\lim_{x\to\infty} F(x)=m</math> ואם <math>\sup_{x>a} F(x)=\infty</math> (לא חסום) אז לכל <math>n\in\mathbb N</math> קיים <math>x_0</math> כך ש-<math>F(x_0)>n</math>. כעת, אם <math>x>x_0</math> אז <math>F(x)\ge F(x_0)>n</math>. נובע ש-<math>\lim_{x\to\infty} F(x)=\infty</math> ואין גבול במובן הצר.
# לכל <math>R>a</math> נגדיר <math>F(R)=\int\limits_a^R f</math>. כיוון ש-<math>f(x)\ge0</math> לכל <math>x\ge a</math>, <math>F(R)</math> עולה עם R. האינטגרל הלא אמיתי <math>\int\limits_a^\infty f=\lim_{R\to\infty}\int\limits_a^R f=\lim_{R\to\infty} F(R)</math> וראינו בחלק 1 שהגבול של <math>F(R)</math> קיים אם"ם <math>F(R)</math> חסומה מלעיל, ז"א אם"ם <math>\int\limits_a^R f</math> חסום מלעיל כאשר <math>R\to\infty</math>. {{משל}}
===מסקנה===
מתוך ההוכחה ראינו שאם האינטגרל מתבדר אז הוא מתכנס במובן הרחב ל-<math>\infty</math>.

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/5.4.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* דוגמאות חישוב */

אור שחף ב־16:24, 27 ביולי 2011

חופית: /* דוגמאות חישוב */

אור שחף ב־11:20, 2 במאי 2011

חופית: /* דוגמאות חישוב */

אור שחף ב־15:25, 19 באפריל 2011

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=אינטגרל לא אמיתי= הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע מהסוג [a,\infty) \. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית ..."

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=אינטגרל לא אמיתי= הגדרה: תהי f מוגדרת בקטע מהסוג $[a,\infty)$ \. נאמר ש-f אינטגרבילית מקומית ..."