משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף ב־13:27, 11 ביולי 2011

2011-07-11T13:27:24Z

אור שחף: /* שברים חלקיים */

2011-04-18T15:49:29Z

שברים חלקיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:49, 18 באפריל 2011
שורה 22:		שורה 22:
	# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div>		# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div>
	}}		}}
	באופן כללי נהפוך את השבר ל-<math>\frac{Bx}{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}+\frac C{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}</math>. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש <math>Bx</math>) נחשב ע"י הצבת <math>y=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4</math>, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל. לחלופין, את שני השברים הללו אפשר ~~להמשיך~~ לחשב לפי שברים חלקיים.		באופן כללי נהפוך את השבר ל-<math>\frac{Bx}{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}+\frac C{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}</math>. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש <math>Bx</math>) נחשב ע"י הצבת <math>y=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4</math>, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל. לחלופין, את שני השברים הללו אפשר לחשב לפי שברים חלקיים.

	עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם <math>p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]</math> אז קיים לו פירוק <math>p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)</math> (כאשר <math>\forall i:\ x_i\in\mathbb C</math>). חלק מה-<math>x_i</math>-ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל: {{left\|<math>\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}</math>}}		עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם <math>p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]</math> אז קיים לו פירוק <math>p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)</math> (כאשר <math>\forall i:\ x_i\in\mathbb C</math>). חלק מה-<math>x_i</math>-ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל: {{left\|<math>\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}</math>}}

אור שחף: /* שברים חלקיים */

2011-04-18T15:48:06Z

שברים חלקיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:48, 18 באפריל 2011
שורה 22:		שורה 22:
	# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div>		# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div>
	}}		}}
	באופן כללי נהפוך את השבר ל-<math>\frac{Bx}{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}+\frac C{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}</math>. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש <math>Bx</math>) נחשב ע"י הצבת <math>y=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4</math>, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל.		באופן כללי נהפוך את השבר ל-<math>\frac{Bx}{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}+\frac C{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}</math>. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש <math>Bx</math>) נחשב ע"י הצבת <math>y=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4</math>, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל. לחלופין, את שני השברים הללו אפשר להמשיך לחשב לפי שברים חלקיים.

	עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם <math>p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]</math> אז קיים לו פירוק <math>p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)</math> (כאשר <math>\forall i:\ x_i\in\mathbb C</math>). חלק מה-<math>x_i</math>-ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל: {{left\|<math>\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}</math>}}		עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם <math>p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]</math> אז קיים לו פירוק <math>p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)</math> (כאשר <math>\forall i:\ x_i\in\mathbb C</math>). חלק מה-<math>x_i</math>-ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל: {{left\|<math>\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}</math>}}

אור שחף: /* שברים חלקיים */

2011-04-18T15:43:11Z

שברים חלקיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:43, 18 באפריל 2011
שורה 19:		שורה 19:
	{{left\|1=<span></span>		{{left\|1=<span></span>
	# <math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+10}&=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+3^2+1}\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+3\right)^2+1}\\&=\arctan(x+3)+?\end{align}</math>		# <math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+10}&=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+3^2+1}\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+3\right)^2+1}\\&=\arctan(x+3)+?\end{align}</math>
	# <math>\begin{align}\int\frac{5x+2}{x^2+10x+34}\mathrm dx&=\int\frac{5x+2}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm dx\\&=\int\frac{5(x+5)-23}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm d(x+5)\\&=\frac52\ln\left(\left(x+5\right)^2+9\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\\&=\frac52\ln\left(x^2+10x+34\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\end{align}</math>		# <math>\begin{align}\int\frac{5x+2}{x^2+10x+34}\mathrm dx&=\int\frac{5x+2}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm dx\\&=\int\frac{5(x+5)-23}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm d(x+5)\\&=\frac52\ln\left(\left(x+5\right)^2+9\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\\&=\frac52\ln\left(x^2+10x+34\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\end{align}</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>\frac{\mathrm d(x+5)}{\mathrm dx}=1</math> ולכן <math>\mathrm dx=\mathrm d(x+5)</math>.</div>
	# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div>		# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div>
	}}		}}

חופית: /* דוגמאות */

2011-04-14T18:59:04Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:59, 14 באפריל 2011
שורה 2:		שורה 2:
	==דוגמאות==		==דוגמאות==
	בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-<math>\int</math>.		בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-<math>\int</math>.
	# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln\|t\|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+x^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}		# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln\|t\|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+e^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
	#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}}		#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}}
	# <math>\int\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln\|t\|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}}		# <math>\int\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln\|t\|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}}

אור שחף: /* דוגמאות */

2011-03-18T12:00:45Z

דוגמאות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:00, 18 במרץ 2011
שורה 4:		שורה 4:
	# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln\|t\|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+x^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}		# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln\|t\|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+x^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
	#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}}		#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}}
	# <math>\int\frac{e^2x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln\|t\|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}}		# <math>\int\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln\|t\|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}}
	# <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}		# <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
	# <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}		# <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}

אור שחף: /* שברים חלקיים */

2011-03-18T11:56:48Z

שברים חלקיים

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:56, 18 במרץ 2011
שורה 12:		שורה 12:

	==שברים חלקיים==		==שברים חלקיים==
	נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי <math>\frac pq</math> ~~כאשר~~ <math>p,q</math> פולינומים. כבר ראינו [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11#partial_fraction_example\|דוגמה פרטית]] של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.		נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי <math>\frac pq</math> (<math>p,q</math> פולינומים). כבר ראינו [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11#partial_fraction_example\|דוגמה פרטית]] של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.

	נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math>		נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math>
	כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק כסכום של שברים חלקיים: <math>\frac A{\left(x-x_0\right)^n}+\frac{Bx+C}{\left(x^2+bx+c\right)^k}</math>, כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> קבועים ולמכנה <math>\left(x^2+bx+c\right)^k</math> אין שורשים ממשיים (כלומר <math>b^2-4c<0</math>).		כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים: <math>\frac A{\left(x-x_0\right)^n}+\frac{Bx+C}{\left(x^2+bx+c\right)^k}</math>, כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> קבועים ולמכנה <math>\left(x^2+bx+c\right)^k</math> אין שורשים ממשיים (כלומר <math>b^2-4c<0</math>).
	האינטגרציה של השבר הראשון קלה: <math>\int\frac{A\mathrm dx}{\left(x-x_0\right)^n}=\frac{A\left(x-x_0\right)^{-n+1}}{-n+1}+?</math>. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:		האינטגרציה של השבר הראשון קלה: <math>\int\frac{A\mathrm dx}{\left(x-x_0\right)^n}=\frac{A\left(x-x_0\right)^{-n+1}}{-n+1}+?</math>. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
	{{left\|1=<span></span>		{{left\|1=<span></span>

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה= ==דוגמאות== בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ- $\int$ . ..."

2011-03-17T18:19:19Z

יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה= ==דוגמאות== בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-<math>\int</math>. ..."

דף חדש

=שיטות אינטגרציה=
==דוגמאות==
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-<math>\int</math>.
# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln|t|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+x^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}}
# <math>\int\frac{e^2x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln|t|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}}
# <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
# <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
# <math>\int\sec(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{1-\sin^2(x)}\mathrm dx</math>: <math>y=\sin(x)\implies\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math> ומכאן נובע {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}\\&=\int\frac{\mathrm dy}{(1-y)(1+y)}\\&=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy\\&=-\frac12\ln|1-y|+\frac12\ln|1+y|+c\\&=\frac12\ln\left(\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
# <math>\int\frac\sqrt{x-1}{x^2\sqrt{x+1}}\mathrm dx</math>: אם <math>t=\frac1x=\implies\mathrm dt=-\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> אז {{left|<math>\begin{align}\int&=-\int\frac\sqrt{\frac1t-1}\sqrt{\frac1t+1}\mathrm dt\\&=-\int\frac\sqrt{1-t}\sqrt{1+t}\mathrm dt\\&=\int\frac{t-1}\sqrt{1-t^2}\mathrm dt\\&=\int\frac{t\mathrm dt}\sqrt{1-t^2}-\int\frac{\mathrm dt}\sqrt{1-t^2}\end{align}</math>}}נציב <math>y=1-t^2\implies\frac{\mathrm dy}{-2}=t\mathrm dt</math> ואז {{left|<math>\begin{align}\int&=-\int\frac{\mathrm dy/2}{y^{1/2}}-\arcsin(t)\\&=-y^{1/2}-\arcsin(t)+c\\&=-\sqrt{1-\frac1{x^2}}-\arcsin\left(\frac1x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
# נתון <math>a>0</math> קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל-<math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>. ברור כי <math>I_1=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)+c</math>. כעת <math>\forall 1<n\in\mathbb N:\ I_n=\int\frac{x'\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}</math>. לפיכך {{left|<math>\begin{align}I_n&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}-\int(-n)\left(x^2+a^2\right)^{-n-1}2x\cdot x\mathrm dx\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2n\int\frac{x^2+a^2-a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{n+1}}\mathrm dx\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2n\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}-2na^2\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^{n+1}}\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2nI_n-2na^2I_{n+1}\end{align}</math>}} לכן <math>I_{n+1}=\frac x{2na^2\left(x^2+a^2\right)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n</math>. {{משל}} למשל, עבור <math>a=2</math> נחשב <math>I_3</math>: <math>I_2=\frac x{8\left(x^2+4\right)}+\frac18I_1</math> וכן <math>I_3=\frac x{16\left(x^2+4\right)^2}+\frac3{16}I_2</math>. לבסוף: <math>I_3=\frac x{16\left(x^2+4\right)^2}+\frac3{16}\left(\frac x{8\left(x^2+4\right)}+\frac18\cdot\frac12\arctan\left(\frac x2\right)\right)+c</math> {{משל}}

==שברים חלקיים==
נפתח שיטה לביצוע אינטגרציה של פונקציה רציונלית כלשהי <math>\frac pq</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. כבר ראינו [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11#partial_fraction_example|דוגמה פרטית]] של השיטה, כאשר פירקנו פונקציה רציונלית לסכום של פונקציות רציונליות פשוטות, וזה יסוד השיטה.

נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math>
כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק כסכום של שברים חלקיים: <math>\frac A{\left(x-x_0\right)^n}+\frac{Bx+C}{\left(x^2+bx+c\right)^k}</math>, כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> קבועים ולמכנה <math>\left(x^2+bx+c\right)^k</math> אין שורשים ממשיים (כלומר <math>b^2-4c<0</math>).
האינטגרציה של השבר הראשון קלה: <math>\int\frac{A\mathrm dx}{\left(x-x_0\right)^n}=\frac{A\left(x-x_0\right)^{-n+1}}{-n+1}+?</math>. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
{{left|1=<span></span>
# <math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+10}&=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+3^2+1}\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+3\right)^2+1}\\&=\arctan(x+3)+?\end{align}</math>
# <math>\begin{align}\int\frac{5x+2}{x^2+10x+34}\mathrm dx&=\int\frac{5x+2}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm dx\\&=\int\frac{5(x+5)-23}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm d(x+5)\\&=\frac52\ln\left(\left(x+5\right)^2+9\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\\&=\frac52\ln\left(x^2+10x+34\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\end{align}</math>
# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div>
}}
באופן כללי נהפוך את השבר ל-<math>\frac{Bx}{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}+\frac C{\left(\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4\right)^k}</math>. את האינטגרל של השבר השמאלי (זה שבמונהו יש <math>Bx</math>) נחשב ע"י הצבת <math>y=\left(x+\frac b2\right)^2+c-\frac{b^2}4</math>, ואת השבר הימני לפי סעיף 8 בדוגמאות הנ"ל.

עתה נשאר לנו ללמוד את השיטה לפירוק פונקציה נתונה לסכום של שברים חלקיים. נעזר במשפט היסודי של האלגברה: אם <math>p(x)=\sum_{k=0}^n a_kx^k\in\mathbb R_n[x]</math> אז קיים לו פירוק <math>p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)</math> (כאשר <math>\forall i:\ x_i\in\mathbb C</math>). חלק מה-<math>x_i</math>-ים יכולים להיות ממשיים, אבל בכל אופן מספר השורשים הלא ממשיים יהא זוגי. למשל: {{left|<math>\begin{align}\Big(x-(a+bi)\Big)\Big(x-(a-bi)\Big)&=x^2-(a+bi+a-bi)x+(a+bi)(a-bi)\\&=x^2-2ax+\left(a^2+b^2\right)\\&\in\mathbb R_2[x]\end{align}</math>}}
כעת, בהינתן האינטגרל <math>\int\frac{p(x)}{q(x)}\mathrm dx</math> כאשר <math>\deg(p)<\deg(q)</math> נפרק את <math>q(x)</math> ל-<math>\left(x^2+bx+c\right)^k</math> ו-<math>\left(x-x_0\right)^n</math> כנ"ל, נמצא <math>A,B,C</math> כנזכר למעלה ונחשב את האינטגרל.

===דוגמאות===
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-1}=\int\frac{\mathrm dx}{(x-1)(x+1)}=\int\left(\frac A{x-1}+\frac B{x+1}\right)\mathrm dx</math>. A ו-B מקיימים {{left|<math>\begin{align}A(x+1)+B(x-1)=1&\implies x(A+B)+(A-B)=1\\&\implies\begin{cases}A+B=0\\A-B=1\end{cases}\\&\implies A=\frac12\ \and\ B=-\frac12\end{align}</math>}} ונקבל <math>\int=\frac12\ln|x-1|-\frac12\ln|x+1|+c</math>
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{1-x^4}</math>: האינטגרנד שווה ל-<math>\frac{-\mathrm dx}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=\frac A{x-1}+\frac B{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}</math>. נמצא את A,B,C,D: מתקיים <math>-1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+(Cx+D)\left(x^2-1\right)</math>.<br />נציב <math>x=1</math> ואז <math>-1=A\cdot2\cdot2\implies A=-\frac14</math>.<br />נציב <math>x=-1</math>: <math>-1=B\cdot(-2)\cdot2\implies B=\frac14</math>.<br />נציב <math>x=0</math> ונקבל <math>-1=A-B-D\implies D=\frac12</math>.<br /> לבסוף נציב <math>x=2</math> ואז <math>-1=-15\cdot\frac14+5\cdot\frac14+\left(\frac12+2C\right)3\implies C=0</math>.<br /> לפיכך {{left|<math>\begin{align}\int&=\int\left(\frac{-1/4}{x-1}+\frac{1/4}{x+1}+\frac{1/2}{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=-\frac14\ln|x-1|+\frac14\ln|x+1|+\frac12\arctan(x)+c\end{align}</math>}}

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:27, 11 ביולי 2011
שורה 3:		שורה 3:
	בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-<math>\int</math>.		בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-<math>\int</math>.
	# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln\|t\|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+e^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}		# <math>\int=\int\frac{\mathrm dx}{1+e^{2x}}</math>: נציב <math>t=e^x\implies\frac{\mathrm dt}t=\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac1{1+t^2}\cdot\frac{\mathrm dt}t\\&=\int\left(\frac{-t}{1+t^2}+\frac1t\right)\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+\ln\|t\|+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+x+c\end{align}</math>}}{{משל}}<br />דרך אחרת: <math>\int=\int\frac{e^{-x}}{e^{-x}+e^x}\mathrm dx</math>, נציב <math>t=e^{-x}\implies-\mathrm dt=e^{-x}\mathrm dx</math> ולכן {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{-\mathrm dt}{t+1/t}\\&=\int\frac{-t}{1+t^2}\mathrm dt\\&=-\frac12\ln\left(1+t^2\right)+c\\&=-\frac12\ln\left(1+e^{-2x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
	#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math> {{משל}}		#<math>\int\frac{e^x}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=e^x</math> ולכן <math>\int=\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}=\arctan(t)+c=\arctan\left(e^x\right)+c</math>. {{משל}}
	# <math>\int\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{1+t^2}=\frac12\ln\|t\|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math> {{משל}}		# <math>\int\frac{e^{2x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נגדיר <math>t=1+e^{2x}\implies\mathrm dt=2e^{2x}\mathrm dx</math> ואז <math>\int=\int\frac{\mathrm dt/2}{t}=\frac12\ln\|t\|+c=\frac12\ln\left(1+e^{2x}\right)+c</math>. {{משל}}
	# <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}		# <math>\int\frac{e^{3x}}{1+e^{2x}}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=e^x\implies\mathrm dy=e^x\mathrm dx</math> לקבל {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{y^2}{1+y^2}\mathrm dy\\&=\int\left(\frac{y^2+1}{y^2+1}-\frac1{1+y^2}\right)\mathrm dy\\&=y-\arctan(y)+c\\&=e^x-\arctan\left(e^x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
	# <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}		# <math>\int\frac{\mathrm dx}\sqrt{x-x^2}</math>: <math>t=\sqrt{1-x}\implies x=1-t^2\implies\mathrm dx=-2t\mathrm dt</math>. לפיכך {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt x\sqrt{1-x}}\\&=\int\frac{-2t\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}t}\\&=-2\arcsin(t)+c\\&=-2\arcsin\left(\sqrt{1-x}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
	# <math>\int\sec(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{1-\sin^2(x)}\mathrm dx</math>: <math>y=\sin(x)\implies\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math> ומכאן נובע {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}\\&=\int\frac{\mathrm dy}{(1-y)(1+y)}\\&=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy\\&=-\frac12\ln\|1-y\|+\frac12\ln\|1+y\|+c\\&=\frac12\ln\left(\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}		# <math>\int\sec(x)\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{\cos^2(x)}\mathrm dx=\int\frac{\cos(x)}{1-\sin^2(x)}\mathrm dx</math>: <math>y=\sin(x)\implies\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math> ומכאן נובע {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\mathrm dy}{1-y^2}\\&=\int\frac{\mathrm dy}{(1-y)(1+y)}\\&=\int\left(\frac{1/2}{1-y}+\frac{1/2}{1+y}\right)\mathrm dy\\&=-\frac12\ln\|1-y\|+\frac12\ln\|1+y\|+c\\&=\frac12\ln\left(\frac{1+\sin(x)}{1-\sin(x)}\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
	# <math>\int\frac\sqrt{x-1}{x^2\sqrt{x+1}}\mathrm dx</math>: אם <math>t=\frac1x=\implies\mathrm dt=-\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> אז {{left\|<math>\begin{align}\int&=-\int\frac\sqrt{\frac1t-1}\sqrt{\frac1t+1}\mathrm dt\\&=-\int\frac\sqrt{1-t}\sqrt{1+t}\mathrm dt\\&=\int\frac{t-1}\sqrt{1-t^2}\mathrm dt\\&=\int\frac{t\mathrm dt}\sqrt{1-t^2}-\int\frac{\mathrm dt}\sqrt{1-t^2}\end{align}</math>}}נציב <math>y=1-t^2\implies\frac{\mathrm dy}{-2}=t\mathrm dt</math> ואז {{left\|<math>\begin{align}\int&=-\int\frac{\mathrm dy/2}{y^{1/2}}-\arcsin(t)\\&=-y^{1/2}-\arcsin(t)+c\\&=-\sqrt{1-\frac1{x^2}}-\arcsin\left(\frac1x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}		# <math>\int\frac\sqrt{x-1}{x^2\sqrt{x+1}}\mathrm dx</math>: אם <math>t=\frac1x\implies\mathrm dt=-\frac{\mathrm dx}{x^2}</math> אז {{left\|<math>\begin{align}\int&=-\int\frac\sqrt{\frac1t-1}\sqrt{\frac1t+1}\mathrm dt\\&=-\int\frac\sqrt{1-t}\sqrt{1+t}\mathrm dt\\&=\int\frac{t-1}\sqrt{1-t^2}\mathrm dt\\&=\int\frac{t\mathrm dt}\sqrt{1-t^2}-\int\frac{\mathrm dt}\sqrt{1-t^2}\end{align}</math>}}נציב <math>y=1-t^2\implies\frac{\mathrm dy}{-2}=t\mathrm dt</math> ואז {{left\|<math>\begin{align}\int&=-\int\frac{\mathrm dy/2}{y^{1/2}}-\arcsin(t)\\&=-y^{1/2}-\arcsin(t)+c\\&=-\sqrt{1-\frac1{x^2}}-\arcsin\left(\frac1x\right)+c\end{align}</math>}} {{משל}}
	# נתון <math>a>0</math> קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל-<math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>. ברור כי <math>I_1=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)+c</math>. כעת <math>\forall 1<n\in\mathbb N:\ I_n=\int\frac{x'\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}</math>. לפיכך {{left\|<math>\begin{align}I_n&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}-\int(-n)\left(x^2+a^2\right)^{-n-1}2x\cdot x\mathrm dx\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2n\int\frac{x^2+a^2-a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{n+1}}\mathrm dx\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2n\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}-2na^2\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^{n+1}}\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2nI_n-2na^2I_{n+1}\end{align}</math>}} לכן <math>I_{n+1}=\frac x{2na^2\left(x^2+a^2\right)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n</math>. {{משל}} למשל, עבור <math>a=2</math> נחשב <math>I_3</math>: <math>I_2=\frac x{8\left(x^2+4\right)}+\frac18I_1</math> וכן <math>I_3=\frac x{16\left(x^2+4\right)^2}+\frac3{16}I_2</math>. לבסוף: <math>I_3=\frac x{16\left(x^2+4\right)^2}+\frac3{16}\left(\frac x{8\left(x^2+4\right)}+\frac18\cdot\frac12\arctan\left(\frac x2\right)\right)+c</math> {{משל}}		# נתון <math>a>0</math> קבוע וצריך למצוא נוסחת נסיגה ל-<math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math>. ברור כי <math>I_1=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}=\frac1a\arctan\left(\frac xa\right)+c</math>. כעת <math>\forall 1<n\in\mathbb N:\ I_n=\int\frac{x'\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}</math>. לפיכך {{left\|<math>\begin{align}I_n&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}-\int(-n)\left(x^2+a^2\right)^{-n-1}2x\cdot x\mathrm dx\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2n\int\frac{x^2+a^2-a^2}{\left(x^2+a^2\right)^{n+1}}\mathrm dx\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2n\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^n}-2na^2\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+a^2\right)^{n+1}}\\&=\frac x{\left(x^2+a^2\right)^n}+2nI_n-2na^2I_{n+1}\end{align}</math>}} לכן <math>I_{n+1}=\frac x{2na^2\left(x^2+a^2\right)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n</math>. {{משל}} למשל, עבור <math>a=2</math> נחשב <math>I_3</math>: <math>I_2=\frac x{8\left(x^2+4\right)}+\frac18I_1</math> וכן <math>I_3=\frac x{16\left(x^2+4\right)^2}+\frac3{16}I_2</math>. לבסוף: <math>I_3=\frac x{16\left(x^2+4\right)^2}+\frac3{16}\left(\frac x{8\left(x^2+4\right)}+\frac18\cdot\frac12\arctan\left(\frac x2\right)\right)+c</math>. {{משל}}

	==שברים חלקיים==		==שברים חלקיים==
שורה 16:		שורה 16:
	נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math>		נסתמך ללא הוכחה על משפט מאלגברה: כל פונקציה רציונלית <math>\frac pq</math>
	כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים: <math>\frac A{\left(x-x_0\right)^n}+\frac{Bx+C}{\left(x^2+bx+c\right)^k}</math>, כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> קבועים ולמכנה <math>\left(x^2+bx+c\right)^k</math> אין שורשים ממשיים (כלומר <math>b^2-4c<0</math>).		כך ש-<math>\deg(p)<\deg(q)</math> ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים: <math>\frac A{\left(x-x_0\right)^n}+\frac{Bx+C}{\left(x^2+bx+c\right)^k}</math>, כאשר <math>A,B,C,x_0\in\mathbb R</math> קבועים ולמכנה <math>\left(x^2+bx+c\right)^k</math> אין שורשים ממשיים (כלומר <math>b^2-4c<0</math>).
	האינטגרציה של השבר הראשון קלה: <math>\int\frac{A\mathrm dx}{\left(x-x_0\right)^n}=\frac{A\left(x-x_0\right)^{-n+1}}{-n+1}+?</math>. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:		האינטגרציה של השבר הראשון קלה: <math>\int\frac{A\mathrm dx}{\left(x-x_0\right)^n}=\frac{A\left(x-x_0\right)^{-n+1}}{-n+1}+c</math>. לשבר השני יותר קשה למצוא אינטגרל. ניתן כמה דוגמאות:
	{{left\|1=<span></span>		{{left\|1=<span></span>
	# <math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+10}&=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+3^2+1}\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+3\right)^2+1}\\&=\arctan(x+3)+?\end{align}</math>		# <math>\begin{align}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+10}&=\int\frac{\mathrm dx}{x^2+6x+3^2+1}\\&=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+3\right)^2+1}\\&=\arctan(x+3)+c\end{align}</math>
	# <math>\begin{align}\int\frac{5x+2}{x^2+10x+34}\mathrm dx&=\int\frac{5x+2}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm dx\\&=\int\frac{5(x+5)-23}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm d(x+5)\\&=\frac52\ln\left(\left(x+5\right)^2+9\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\\&=\frac52\ln\left(x^2+10x+34\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+?\end{align}</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>\frac{\mathrm d(x+5)}{\mathrm dx}=1</math> ולכן <math>\mathrm dx=\mathrm d(x+5)</math>.</div>		# <math>\begin{align}\int\frac{5x+2}{x^2+10x+34}\mathrm dx&=\int\frac{5x+2}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm dx\\&=\int\frac{5(x+5)-23}{\left(x+5\right)^2+9}\mathrm d(x+5)\\&=\frac52\ln\left(\left(x+5\right)^2+9\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+c\\&=\frac52\ln\left(x^2+10x+34\right)-\frac{23}3\arctan\left(\frac{x+5}3\right)+c\end{align}</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>\frac{\mathrm d(x+5)}{\mathrm dx}=1</math> ולכן <math>\mathrm dx=\mathrm d(x+5)</math>.</div>
	# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div>		# <math>\int=\int\frac{6x-5}{\left(x^2+4x+8\right)^3}\mathrm dx=\int\frac{6x-5}{\left(\left(x+2\right)^2+4\right)^3}\mathrm dx</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>t=x+2</math> ואז <math>\mathrm dt=\mathrm dx</math>:</div><math>\int=\int\frac{6t-17}{\left(t^2+4\right)^3}\mathrm dt=\int\frac{6t\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}-17\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+4\right)^3}</math><div dir="rtl" align="right">נציב <math>y=t^2+4\implies\mathrm dy=2t\mathrm dt</math> ונסמן <math>I_n=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4\right)^n}</math>:</div><math>\int=\int\frac{3\mathrm dy}{y^3}-17I_3=-\frac3{2y^2}-17I_3=-\frac32\cdot\frac1{\left(x^2+4x+8\right)^2}-17I_3</math><div dir="rtl" align="right">כאשר <math>I_3</math> הוא בדיוק אותו <math>I_3</math> שמצאנו בסעיף 8 בדוגמאות מקודם.</div>
	}}		}}
שורה 28:		שורה 28:

	===דוגמאות===		===דוגמאות===
	# <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-1}=\int\frac{\mathrm dx}{(x-1)(x+1)}=\int\left(\frac A{x-1}+\frac B{x+1}\right)\mathrm dx</math>. A ו-B מקיימים {{left\|<math>\begin{align}A(x+1)+B(x-1)=1&\implies x(A+B)+(A-B)=1\\&\implies\begin{cases}A+B=0\\A-B=1\end{cases}\\&\implies A=\frac12\ \and\ B=-\frac12\end{align}</math>}} ונקבל <math>\int=\frac12\ln\|x-1\|-\frac12\ln\|x+1\|+c</math>		# <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2-1}=\int\frac{\mathrm dx}{(x-1)(x+1)}=\int\left(\frac A{x-1}+\frac B{x+1}\right)\mathrm dx</math>. A ו-B מקיימים {{left\|<math>\begin{align}A(x+1)+B(x-1)=1&\implies x(A+B)+(A-B)=1\\&\implies\begin{cases}A+B=0\\A-B=1\end{cases}\\&\implies A=\frac12\ \and\ B=-\frac12\end{align}</math>}} ונקבל <math>\int=\frac12\ln\|x-1\|-\frac12\ln\|x+1\|+c</math>.
	# <math>\int\frac{\mathrm dx}{1-x^4}</math>: האינטגרנד שווה ל-<math>\frac{-\mathrm dx}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=\frac A{x-1}+\frac B{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}</math>. נמצא את A,B,C,D: מתקיים <math>-1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+(Cx+D)\left(x^2-1\right)</math>.<br />נציב <math>x=1</math> ואז <math>-1=A\cdot2\cdot2\implies A=-\frac14</math>.<br />נציב <math>x=-1</math>: <math>-1=B\cdot(-2)\cdot2\implies B=\frac14</math>.<br />נציב <math>x=0</math> ונקבל <math>-1=A-B-D\implies D=\frac12</math>.<br /> לבסוף נציב <math>x=2</math> ואז <math>-1=-15\cdot\frac14+5\cdot\frac14+\left(\frac12+2C\right)3\implies C=0</math>.<br /> לפיכך {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\left(\frac{-1/4}{x-1}+\frac{1/4}{x+1}+\frac{1/2}{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=-\frac14\ln\|x-1\|+\frac14\ln\|x+1\|+\frac12\arctan(x)+c\end{align}</math>}}		# <math>\int\frac{\mathrm dx}{1-x^4}</math>: האינטגרנד שווה ל-<math>\frac{-\mathrm dx}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}=\frac A{x-1}+\frac B{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}</math>. נמצא את A,B,C,D: מתקיים <math>-1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+(Cx+D)\left(x^2-1\right)</math>.<br />נציב <math>x=1</math> ואז <math>-1=A\cdot2\cdot2\implies A=-\frac14</math>.<br />נציב <math>x=-1</math>: <math>-1=B\cdot(-2)\cdot2\implies B=\frac14</math>.<br />נציב <math>x=0</math> ונקבל <math>-1=A-B-D\implies D=\frac12</math>.<br /> לבסוף נציב <math>x=2</math> ואז <math>-1=-15\cdot\frac14+5\cdot\frac14+\left(\frac12+2C\right)3\implies C=0</math>.<br /> לפיכך {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\left(\frac{-1/4}{x-1}+\frac{1/4}{x+1}+\frac{1/2}{x^2+1}\right)\mathrm dx\\&=-\frac14\ln\|x-1\|+\frac14\ln\|x+1\|+\frac12\arctan(x)+c\end{align}</math>}}

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.3.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף ב־13:27, 11 ביולי 2011

אור שחף: /* שברים חלקיים */

אור שחף: /* שברים חלקיים */

אור שחף: /* שברים חלקיים */

חופית: /* דוגמאות */

אור שחף: /* דוגמאות */

אור שחף: /* שברים חלקיים */

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה= ==דוגמאות== בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-\int. ..."

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=שיטות אינטגרציה= ==דוגמאות== בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ- $\int$ . ..."