משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* משפט 4 */ הכללה לקטע לא סגור

2011-08-28T17:52:37Z

משפט 4: הכללה לקטע לא סגור

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־17:52, 28 באוגוסט 2011
שורה 52:		שורה 52:

	==משפט 4==		==משפט 4==
	תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע ~~<math>[a,b]</math>~~. נניח שהסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in~~[a,b]~~</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-~~<math>[a,b]</math>~~. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in~~[a,b]~~</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-~~<math>[a,b]</math>~~. יתר על כן <math>\forall x\in~~[a,b]~~:\ f'(x)=g(x)</math>.		תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרות רציפות <math>f_n'</math> בקטע I. נניח שהסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in I</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-I. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in I</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-I. יתר על כן <math>\forall x\in I:\ f'(x)=g(x)</math>.

	===הוכחה===		===הוכחה===
	נקח <math>x\in~~[a,b]~~</math> כלשהו. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-~~<math>[a,b]</math>~~ וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in~~[a,b]~~</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על ~~<math>[a,b]</math>~~. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-~~<math>[a,b]</math>~~ וכיוון שלכל <math>x\in~~[a,b]~~</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in~~[a,b]~~</math>. {{משל}}		נקח <math>x\in I</math> כלשהו. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-I וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in I</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על I. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-I וכיוון שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in I</math>. {{משל}}

80.74.111.178: /* משפט 1 */

2011-05-15T12:33:28Z

משפט 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:33, 15 במאי 2011
שורה 9:		שורה 9:
	יהיו קבוצת הפונקציות <math>\{f_n\}</math> והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:		יהיו קבוצת הפונקציות <math>\{f_n\}</math> והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
	* <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> במ"ש ב-I		* <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> במ"ש ב-I
	* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\|f(x)-f_n(x)\|~~<\varepsilon~~</math>		* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\|f(x)-f_n(x)\|=0</math>
	===הוכחה===		===הוכחה===
	ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}\|f(x)-f_n(x)\|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\|f(x)-f_n(x)\|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}\|f(x)-f_n(x)\|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ \|a_n-0\|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש.		ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}\|f(x)-f_n(x)\|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\|f(x)-f_n(x)\|<\frac\varepsilon2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}\|f(x)-f_n(x)\|\le\frac\varepsilon2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ \|a_n-0\|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש.

חופית: /* הוכחה */

2011-05-12T15:01:16Z

הוכחה

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־15:01, 12 במאי 2011
שורה 55:		שורה 55:

	===הוכחה===		===הוכחה===
	נקח <math>x\in[a,b]</math> ~~כלשהי~~. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in[a,b]</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> וכיוון שלכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. {{משל}}		נקח <math>x\in[a,b]</math> כלשהו. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math>, נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in[a,b]</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>. לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> וכיוון שלכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. {{משל}}

אור שחף ב־19:23, 9 במאי 2011

2011-05-09T19:23:05Z

הצגת שינויים

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}= ==הערה== אם $f_n\to f$ במ"ש על I אז לכל $x\in I$ ברור שמת..."

2011-05-08T13:46:39Z

יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}= ==הערה== אם <math>f_n\to f</math> במ"ש על I אז לכל <math>x\in I</math> ברור שמת..."

דף חדש

=התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}=
==הערה==
אם <math>f_n\to f</math> במ"ש על I אז לכל <math>x\in I</math> ברור שמתקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>, כלומר התכנסות במ"ש גוררת התכנסות נקודתית. ההיפך אינו נכון.

==משפט 1==
יהיו קבוצת הפונקציות <math>\{f_n\}</math> והפונקציה f מוגדרות בקטע I. אז התנאים הבאים שקולים:
* <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> במ"ש ב-I
* <math>\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math>
===הוכחה===
ראשית נוכיח שהתנאי הראשון גורר את השני: אם נגדיר לכל n את <math>a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|</math> אז יש להוכיח כי <math>\lim_{n\to\infty} a_n=0</math>. אבל אם <math>\varepsilon>0</math> ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/2</math> לכל <math>x\in I</math>. נובע מיד שאם <math>n>n_0</math> אז <math>0\le a_n=\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/2<\varepsilon</math> ולכן <math>\forall n>n_0:\ |a_n-0|<\varepsilon</math> והוכחנו <math>a_n\to0</math>, כדרוש.

לצד השני יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. ידוע כי קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך שלכל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> ולכן לכל <math>n>n_0</math>, <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon</math> לכל <math>x\in I</math>. {{משל}}

==דוגמה==
בקטע <math>[0,1)</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}x^n=0</math>. טענה: הגבול נקודתי ולא במ"ש. הוכחה: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,1)}|x^n-0|<1</math>. {{משל}} נעיר כי בקטע <math>[0,r]</math> עבור <math>r<1</math> דווקא '''יש''' התכנסות במ"ש. הוכחה: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in[0,r]}|x^n-0|=r^n</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}r^n=0</math>, כדרוש. {{משל}}

==משפט 2==
נניח ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=f(x)</math> במ"ש ב-I. עוד נניח שעבור איזה <math>x_0\in I</math> כל <math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math>. אזי גם f רציפה ב-<math>x_0</math>.
===הוכחה===
יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I קיים n טבעי מסויים כך שלכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f(x)-f_n(x)|<\varepsilon/3</math>. כעת נתון ש-<math>f_n</math> רציפה ב-<math>x_0</math> ולכן קיים <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|x-x_0|<\delta</math> אז <math>|f_n(x)-f_n(x_0)|<\varepsilon/3</math> נובע שאם <math>|x_0-x|<\delta</math> אז <math>|f(x)-f(x_0)|\le|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-f(x_0)|<\varepslon/3+\varepslon/3+\varepslon/3=\varepsilon</math>. {{משל}}

===מסקנה===
בתנאים של משפט 2, אם כל <math>f_n</math> רציפה בקטע I כולו, אז גם f רציפה ב-I כולו.
====דוגמה====
בקטע <math>[0,1]</math> ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}=\begin{cases}0&0\le x<1\\1&x=1\end{cases}</math>. כאן כל <math>x^n</math> רציפה ב-<math>[0,1]</math> ואילו הפונקציה הגבולית לא רציפה. זה אינו סותר את משפט 2 כי כבר ראינו שההתכנסות אינה במ"ש.

==משפט 3==
נניח שלכל n <math>f_n</math> מוגדרת ואינטגרבילית ב-<math>I=[a,b]</math> ונניח שקיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> במ"ש ב-I. אזי f אינטגרבילית ב-I ומתקיים <math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>.

===הוכחה===
לא נוכיח שבתנאים הללו f אינטגרבילית (בד"כ זה יתקיים אוטומטית אם כל ה-<math>f_n</math> רציפות למקוטעין). נוכיח רק ש-<math>\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n</math>. שקול להוכיח ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f-\int\limits_a^b f_n=0</math>. ובכן יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-<math>f_n\to f</math> במ"ש על I <math>\exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \sup_{x\in[a,b]}|f(x)-f_n(x)|<\frac\varepsilon{b-a}</math>. נובע שלכל <math>n>n_0</math> <math>\left|\int\limits_a^b(f-f_n)\right|\le\int\limits_a^b|f-f_n|\le(b-a)\sup_{x\in I}|f(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac\varepsilon{b-a}=\varepsilon</math>. מכאן נובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}\left|\int\limits_a^b (f-f_n)\right|=0</math>. {{משל}}
===דוגמה===
גרף (0,0), (1/n,n), (2/n,0), (...,0)

טענה: לעל <math>x\in[0,1]</math> אז <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. הוכחה: עבור <math>x=0</math> לכל n <math>f_n(0)=0</math> ולכן <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math>. אם <math>x\in(0,1]</math> אז קיים <math>n_0\in\mathbb N</math> כך ש-<math>2/n_0<x</math> עבור כל <math>n>n_0</math> מתקיים <math>2/n<2/n_0<x</math> ולכן <math>f_n(x)=0</math> לכל <math>n\in\mathbb N</math> ונובע ש-<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0</math>. בזה הוכחנו את הטענה ש-<math>0=\lim_{n\to\infty}f_n(x)</math> נקודתית ב-<math>[0,1]</math>. נעיר שההתכנסות מאוד לא במ"ש כי עבור n כלשהו <math>a_n=\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-0|=n\to\infty</math>.

טענה: <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n\ne\int\limits_0^1 0\mathrm dx</math> (כאשר <math>f(x)=0</math> היא הפונקציה הגבולית).

הוכחה: לכל n השטח מתחת לגרף = <math>\int\limits_0^1 f_n</math> = 1 = <math>n\frac2n\frac12</math> שלא שואף ל-0.

השערה סבירה אבל מאוד לא נכונה: אם <math>f_n\to f</math> במ"ש ב-I אז <math>f_n'\to f'</math> ב-I.

דוגמה נגדית: <math>f_n(x)=\frac{\sin\left(n^2x\right)}n</math> טענה: <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0</math> במ"ש בכל <math>\mathbb R</math>. הוכחה: <math>\forall n\in\mathbb N:\ a_n=\sup_{x\in\mathbb R}\left|\frac{\sin\left(n^2x\right)}n-0\right|=\sup_{x\in\mathbb R}\left{|\sin\left(n^2x\right)|}n=\frac1n\to0</math>. טענה: <math>f_n'\not\to0'=0</math>. הוכחה: לכל n ולכל <math>x\in\mathbb R</math> מתקיים <math>f_n'(x)=n\cos\left(n^2x\right)</math> ועבור <math>x\in\mathbb R</math> כלשהו <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=\lim_{n\to\infty} n\cos\left(n^2x\right)</math> שאינו קיים. {{משל}}

==משפט 4==
תהי <math>\{f_n\}</math> סדרת פונקציות בעלות נגזרת רציפה <math>f_n'</math> בקטע <math>[a,b]</math>. הסדרה <math>\{f_n\}</math> מתכנסת בנקודה אחת (לפחות) <math>x_0\in[a,b]</math> והסדרה <math>\{f_n'\}</math> מתכנסת במ"ש ל-g ב-<math>[a,b]</math>. אזי <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math> קיים לכל <math>x\in[a,b]</math> ומגדיר פונקציה גבולית f שהיא גזירה ב-<math>[a,b]</math>. יתר על כן <math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math>.

===הוכחה===
נקח <math>x\in[a,b]</math> כלשהי. לכל n הפונקציה <math>f_n'</math> רציפה (נתון) ונוכל להפעיל את המשפט היסודי לומר <math>f_n(x)-f_n(x_0)=\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. נעביר אגף: <math>f_n(x)=f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'</math>. כעת נתון שקיים <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x)</math>. נקרא לו <math>\alpha</math>. יתר על כן נתון ש-<math>\lim_{n\to\infty} f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש ב-<math>[a,b]</math> וכל שכן <math>\lim_{n\to\infty}f_n'(t)=g(t)</math> במ"ש בתת הקטע בין <math>x_0</math> ל-x. נסיק ממשפט 3 ש-<math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_{x_0}^x f_n'=\int\limits_{x_0}^x g</math> נובע שלכל <math>x\in[a,b]</math> קיים <math>f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\left(f_n(x_0)+\int\limits_{x_0}^x f_n'\right)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math> והוכחנו את קיום הפונקציה הגבולית f. נותר להוכיח שהיא גזירה וש-<math>\forall x\in[a,b]:\ f'(x)=g(x)</math> לפי הנתון כל <math>f_n'</math> רציפה ו-<math>g(t)=\lim_{n\to\infty} f_n'(t)</math> במ"ש על <math>[a,b]</math>. לכן משפט 2 נותן ש-<math>g</math> רציפה ב-<math>[a,b]</math> וכיוון שלכל <math>x\in[a,b]</math> מתקיים <math>f(x)=\alpha+\int\limits_{x_0}^x g</math>. החלק הראשון של המשפט היסודי נותן <math>f'=g</math> לכל <math>x\in[a,b]</math>. {{משל}}

משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/8.5.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* משפט 4 */ הכללה לקטע לא סגור

80.74.111.178: /* משפט 1 */

חופית: /* הוכחה */

אור שחף ב־19:23, 9 במאי 2011

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}= ==הערה== אם f_n\to f במ"ש על I אז לכל x\in I ברור שמת..."

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במידה שווה {{הערה|(המשך)}}= ==הערה== אם $f_n\to f$ במ"ש על I אז לכל $x\in I$ ברור שמת..."