משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11 - היסטוריית גרסאות

89.139.218.143 ב־16:18, 2 במרץ 2011

2011-03-02T16:18:03Z

Gordo6: /* דוגמה 6 */ תיקון הגדרת ה-tg לsin/cos במקום cos/sin

2011-02-23T09:38:49Z

דוגמה 6: תיקון הגדרת ה-tg לsin/cos במקום cos/sin

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־09:38, 23 בפברואר 2011
שורה 129:		שורה 129:
	<math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>.		<math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>.
	====פתרון====		====פתרון====
	'''לא אינטגרבילית:''' מתקיים <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\~~cos~~(x)}{\~~sin~~(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}		'''לא אינטגרבילית:''' מתקיים <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}
	</li>		</li>
	<li>		<li>

אור שחף ב־19:52, 21 בפברואר 2011

2011-02-21T19:52:15Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:52, 21 בפברואר 2011
שורה 51:		שורה 51:
	לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>. {{משל}}		לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>. {{משל}}

	'''הערה:''' נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות ~~שכל~~ חלוקה כך ש-<math>\Delta x\to0</math> מתקיים <math>\overline I=\underline I</math>.		'''הערה:''' נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שלכל חלוקה כך ש-<math>\Delta x\to0</math> מתקיים <math>\overline I=\underline I</math>.

	===דוגמה 2===		===דוגמה 2===
שורה 101:		שורה 101:
	{{=\|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2		{{=\|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2
	\|o=\le		\|o=\le
	\|c=נבחר c כך ש- <math>(c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2}</math> (קיים כי ~~אם נדמיין את הגרף נראה שכאשר~~ <math>a<c\to a</math> מתקיים <math>M-m\to0</math> ולכן <math>(c-a)(M-m)\to0</math>)		\|c=נבחר c כך ש- <math>(c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2}</math> (קיים כי כאשר <math>a<c\to a</math> מתקיים <math>M-m\to0</math> ולכן <math>(c-a)(M-m)\to0</math>)
	}}		}}
	{{=\|r=\varepsilon		{{=\|r=\varepsilon

אור שחף: /* פתרון */

2011-02-21T19:49:00Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:49, 21 בפברואר 2011
שורה 81:		שורה 81:

	====פתרון====		====פתרון====
	'''הוכחה:''' ~~רוצים להראות כי לכל~~ <math>\varepsilon>0</math> יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)<\varepsilon</math>. נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> שם מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2</math>. ~~נשים לב כי~~ <math>T_{\varepsilon~~'}\cup\{a\}~~=~~T_\varepsilon</math>. נסמן <math>~~T_{\varepsilon'}=\~~{c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b\}</math> ו-<math>T_\varepsilon=~~\{a~~,c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b~~\}</math>.		'''הוכחה:''' יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. המטרה שלנו היא להראות כי יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)<\varepsilon</math>.

			נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> של <math>[c,b]</math> עבורה מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2</math>. נגדיר <math>T_\varepsilon:=T_{\varepsilon'}\cup\{a\}</math>.

	נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:		נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:
שורה 93:		שורה 95:
	{{=\|l=\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)		{{=\|l=\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)
	\|r=M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a)		\|r=M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a)
	\|c=~~מתקיים~~ <math>M=\sup_{x\in[a,c]} f(x)</math> וכן <math>m=\inf_{x\in[a,c]}</math>, לפיכך:		\|c=נסמן <math>M:=\sup_{x\in[a,c]} f(x)</math> וכן <math>m:=\inf_{x\in[a,c]}f(x)</math>, לפיכך:
	}}		}}
	{{=\|r=(M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})		{{=\|r=(M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})
שורה 99:		שורה 101:
	{{=\|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2		{{=\|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2
	\|o=\le		\|o=\le
	\|c=נבחר c כך ש-<math>c-a=\frac\varepsilon{2(M-m)}</math>:		\|c=נבחר c כך ש- <math>(c-a)(M-m)=\frac\varepsilon{2}</math> (קיים כי אם נדמיין את הגרף נראה שכאשר <math>a<c\to a</math> מתקיים <math>M-m\to0</math> ולכן <math>(c-a)(M-m)\to0</math>)
	}}		}}
	{{=\|r=\varepsilon		{{=\|r=\varepsilon

אור שחף ב־18:57, 21 בפברואר 2011

2011-02-21T18:57:47Z

הצגת שינויים

אור שחף: /* אינטגרבליות */

2011-02-21T18:32:58Z

אינטגרבליות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:32, 21 בפברואר 2011
שורה 1:		שורה 1:
	== אינטגרבליות ==		=אינטגרבליות=

	'''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>).		'''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>).

	(1)		גרף (1)

	נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:		נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:
שורה 9:		שורה 9:
	# אינטגרבליות לפי רימן		# אינטגרבליות לפי רימן

	היום נדבר על ~~אינטגרבליות לפי דרבו~~.		היום נדבר על הראשונה.

	=== אינטגרבליות לפי דרבו ===		== אינטגרבליות לפי דרבו ==

	תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)</math>. נגדיר <math>\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן <math>\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.

			תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)</math>. נגדיר <math>\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן <math>\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.

			כמו כן נגדיר
			{{left\|
	<math>\overline I=\inf\{\overline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>		<math>\overline I=\inf\{\overline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>

	<math>\underline I=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>		<math>\underline I=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>
			}}
			אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא <math>\overline I=\underline I</math>.

	~~<math>\overline I~~=~~\underline I</math>~~		===דוגמה 1===
			הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה <math>g(x)=x</math> אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> ומצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.
	~~'''~~דוגמה 1~~:'''~~ הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה <math>g(x)=x</math> ~~מתחילה~~ בקטע <math>[0,1]</math>~~. נמצא~~ ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.

	~~'''פתרון:'''~~

	''דרך 1:'' חישוב ע"י משולש.		====פתרון====
			'''דרך 1:''' חישוב ע"י משולש.

	''דרך 2:'' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה <math>\Delta x\le\frac1n</math> (דרוש כי רוצים שסכום ~~הדרבו~~ העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).		'''דרך 2:''' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה <math>\Delta x\le\frac1n</math> (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).

	במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1</math>. ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.		במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1</math>. ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.

אור שחף ב־16:55, 20 בפברואר 2011

2011-02-20T16:55:12Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:55, 20 בפברואר 2011
שורה 85:		שורה 85:
	{{משל}}		{{משל}}

	'''דוגמה 5:''' חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^\frac1n+e^\frac2n+\dots+e^\fracnn\right)</math>		'''דוגמה 5:''' חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\fracnn}\right)</math>

			'''פתרון:''' נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. נרשום את הגבול באופן הבא:
			<math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>. זוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים ולכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>.

			לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>).

			'''משפט:''' תנאי הכרחי שפונקציה <math>f(x)</math> תהיה אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> הוא ש-f חסומה בקטע.

			''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>.

			'''דוגמה 6:''' קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית.

			# <math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)\quad 0\le x\le\tfrac\pi2\\1\quad x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\frac\pi2\right]</math>
			:# '''פתרון:''' נראה כי f לא חסומה. <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}}

			#<math>f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)\quad x\ne0\\0\quad x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>.
			:# '''פתרון:''' נשים לב כי<math>-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}}

אור שחף ב־16:32, 20 בפברואר 2011

2011-02-20T16:32:51Z

@@ שורה 54: / שורה 54: @@
 ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I</math>
 '''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
@@ שורה 64: / שורה 67: @@
 <math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math>

אור שחף ב־16:07, 20 בפברואר 2011

2011-02-20T16:07:01Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־16:07, 20 בפברואר 2011
שורה 1:		שורה 1:
	~~בדיקה~~		== אינטגרבליות ==

			'''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>).

			(1)

			נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:
			# אינטגרבליות לפי דרבו
			# אינטגרבליות לפי רימן

			היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.

			=== אינטגרבליות לפי דרבו ===

			תהי T חלוקה. נסמן <math>M_i=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)</math>. נגדיר <math>\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> וכן <math>\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>.


			<math>\overline I=\inf\{\overline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>

			<math>\underline I=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math>

			<math>\overline I=\underline I</math>

			'''דוגמה 1:''' הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה <math>g(x)=x</math> מתחילה בקטע <math>[0,1]</math>. נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.

			'''פתרון:'''

			''דרך 1:'' חישוב ע"י משולש.

			''דרך 2:'' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה <math>\Delta x\le\frac1n</math> (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).

			במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1</math>. ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>.
			# רוחב המלבן
			# אורך המלבן


			(נשים לב כי <math>f(x)=x</math> פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)

			באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:

			<math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=1}^n \frac i n</math>

			...

			אם נראה כי <math>\overline I=\underline I</math> נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).

			עבור <math>\overline I</math> נרשום:
			<math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=</math>...

			באופן דומה <math>\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty}\frac{(n-1)n}{2}=\frac12</math>

			'''מסכנה:''' f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>.
			'''הערה:''' נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת

			ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I</math>

			'''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.

			'''פתרון:''' ''תזכורת:'' חייבים <math>x_k^\star</math> בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).

			נחלק את הקטע <math>[0,3]</math>, נבחר חלוקה המקיימת <math>\Delta x\to0</math>. (לדוגמה: בחרנו חלוקה <math>\Delta x=\frac3n</math>.

			כאשר <math>k\in\{0,1,2,\dots\}</math> מתקיים <math>\Delta x_k=\frac{3k}{n}</math>). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).

			<math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math>

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "בדיקה"

2011-02-20T15:27:11Z

יצירת דף עם התוכן "בדיקה"

דף חדש

בדיקה