משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* פתרון */

2011-06-28T14:14:33Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:14, 28 ביוני 2011
שורה 38:		שורה 38:
	====פתרון====		====פתרון====
	נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> אכן מתכנס. נותר לבדוק אם <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש:		נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> אכן מתכנס. נותר לבדוק אם <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש:

	''דרך 1:'' <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f</math> ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}		''דרך 1:'' <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f</math> ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}

	''דרך 2:'' הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1)</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. לכן <math>\sup\left\|f_n(x)-f(x)\right\|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0</math> ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}		''דרך 2:'' הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1)</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. לכן <math>\sup\left\|f_n(x)-f(x)\right\|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0</math> ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}

אור שחף ב־14:14, 28 ביוני 2011

2011-06-28T14:14:09Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־14:14, 28 ביוני 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=התכנסות במ"ש {{הערה\|(המשך)}}=		=התכנסות במ"ש {{הערה\|(המשך)}}=
	==משפט דיני==		==משפט דיני==
	אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math> ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף <math>f_n</math> סדרה עולה לכל <math>x\in[a,b]</math>. אזי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.		<math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math> ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף <math>\{f_n(x)\}</math> סדרה עולה לכל <math>x\in[a,b]</math>. אזי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.
	===דוגמה 1===		===דוגמה 1===
	בדוק הכנסות עבור הסדרה <math>f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)}</math> בקטע		בדוק הכנסות עבור הסדרה <math>f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)}</math> בקטע
	# <math>\left[\~~frac~~\pi4,\~~frac34~~\pi\right]</math>		<ol><li><math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac34\pi\right]</math>
	====פתרון====		====פתרון====
	~~נישם~~ לב שעבור x בקטע <math>\sin(x)>0</math>. קל לראות גם שפונקצית הגבול <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1</math>. ברור כי <math>f_n</math> רציפות ובקטע מתקיים <math>\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}</math>. ~~ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן~~ מתקיימים תנאי משפט דיני, ~~מכאן~~ שההתכנסות במ"ש. {{משל}}		נשים לב שעבור x בקטע <math>\sin(x)>0</math>. קל לראות גם שפונקצית הגבול היא <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1</math>, שרציפה. כמו כן ברור כי <math>f_n</math> רציפות ובקטע מתקיים <math>\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}</math>. לכן מתקיימים תנאי משפט דיני, ומכאן שההתכנסות במ"ש. {{משל}}</li>
	# <math>(0,\pi)</math>		<li><math>(0,\pi)</math>
	====פתרון====		====פתרון====
	נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול <math>f(x)=1</math> ומכיוון ש-<math>\sup_{x\in(0,\pi)}\left\|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right\|=1\ne0</math>. {{משל}}		נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול <math>f(x)=1</math> ומכיוון ש-<math>\sup_{x\in(0,\pi)}\left\|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right\|=1\ne0</math> ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}
			</li></ol>
	==דוגמה 2==		==דוגמה 2==
	קבעו אם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}</math> מתכנס ב-<math>\left[-\~~frac34~~,\~~frac34~~\right]</math>.		קבעו אם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}</math> מתכנס ב-<math>\left[-\tfrac34,\tfrac34\right]</math>.
	===פתרון===		===פתרון===
	נשתמש ~~בטור~~ הנדסי~~, נרשום~~ <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math> ~~ולכן~~ יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). ~~מסקנה:~~ לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}}		נשתמש בנוסחאת הסכום לטור הנדסי: <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math>. לכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}}
	==דוגמה 3 ~~משיעור קודם~~==		==דוגמה 3==
	הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math>g:[c,d]\to\mathbb R</math> פונקציה רציפה אז <math>g\circ f_n</math> היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול <math>g\circ f</math>.		הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math>g:[c,d]\to\mathbb R</math> פונקציה רציפה אז <math>g\circ f_n</math> היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול <math>g\circ f</math>.
	===פתרון===		===פתרון===
	נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\|y_1-y_2\|<\delta</math> אז <math>\|g(y_1)-g(y_2)\|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>\|f_n(x)-f(x)\|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>.		נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\|y_1-y_2\|<\delta</math> אז <math>\|g(y_1)-g(y_2)\|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>\|f_n(x)-f(x)\|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>).
	נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב ~~ושם~~ לכל <math>a\le x\le b</math> ~~ובפרט עבור~~ <math>n>N</math> מתקיים <math>\|g(f_n(x))-g(f(x))\|<\varepsilon</math>.		נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב לכל <math>a\le x\le b</math> ועבור <math>n>N</math> מתקיים <math>\|g(f_n(x))-g(f(x))\|<\varepsilon</math>. מכאן ש-<math>g\circ f_n\to g\circ f</math> במ"ש. {{משל}}

	==מבחן ה-M של ווירשטראס==		==מבחן ה-M של ווירשטראס==
שורה 25:		שורה 26:
	==דוגמה 4==		==דוגמה 4==
	הוכח כי <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,1]</math>.		הוכח כי <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,1]</math>.

	===פתרון===		===פתרון===
	נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ו-<math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=1-2~~=-1~~<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>~~x\in[~~0,1]\~~implies0\le x~~(1-x)~~\le~~\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. ~~לפי מבחן ה-M של ווירשטרס~~ <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן ~~מקבילים כי~~ הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש.		נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ולכן <math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=-2<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>f(0)=f(1)=0</math>. נסיק ש-<math>x=\frac12</math> היא נקודת קיצון גלובלית וכן-<math>f(1/2)=\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (זהו טור הנדסי) ולכן, לפי מבחן ה-M של וירשטרס, הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש. {{משל}}
	===אינטגרציה איבר-איבר בסדרות===
	אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>		==אינטגרציה איבר-איבר בסדרות==
			תהי <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש לפונקציות f בקטע I. אזי f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>.

	===דוגמה 5===		===דוגמה 5===
	קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר ~~<math>0\le x\le1</math> ו-~~<math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math>~~. נציב <math>y=x^2~~</math> ~~ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left~~[~~\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=~~0}^1~~=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12~~</math> ~~עבור צד ימין~~ <math>~~f(x)=\lim_{n\to\infty}~~f_n~~(x)=\lim_{n~~\to~~\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n<math>xe^{-nx^2}\mathrm dx</math>~~</math> ז"~~א אכן לא מתקיים שיוויון~~.		קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math> ב-<math>[0,1]</math>, והאם <math>f_n\to f</math> במ"ש.

			====פתרון====
			נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac n2\int\limits_0^1e^{-ny}\mathrm dy=\frac n2\left[\frac{e^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math>, כלומר <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> אכן מתכנס. נותר לבדוק אם <math>\{f_n\}</math> מתכנסת במ"ש:
			''דרך 1:'' <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx^2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל). נניח בשלילה שההתכנסות במ"ש, אבל <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 nxe^{-nx^2}\mathrm dx=\frac12\ne 0=\int\limits_0^1 f</math> ולכן קיבלנו סתירה. לפיכך ההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}

	~~נראה ש-<math>f_n</math> לא מתכנסת במ"ש.~~		''דרך 2:'' הראנו כבר כי פונקצית הגבול היא 0. נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>0=f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-nx^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-nx^2}(-2x^2n+1)</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. לכן <math>\sup\left\|f_n(x)-f(x)\right\|=\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{2n}}-0=\sqrt\frac n2e^{-\frac 1{2}}\to\infty\ne0</math> ומכאן שההתכנסות אינה במ"ש. {{משל}}
	~~====פתרון===~~
	~~ברור~~ כי פונקצית הגבול היא 0~~. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים)~~. נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-~~n^2x~~^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-~~n^2x~~^2}(-2x^2n+1)=0</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. ~~מתקיים~~ <math>\sup\|\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{4n}}-0\|\~~not~~\~~to0~~</math>.

אור שחף: /* מבחן ה-M של ווירשטראס */

2011-06-18T19:06:07Z

מבחן ה-M של ווירשטראס

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:06, 18 ביוני 2011
שורה 21:		שורה 21:

	==מבחן ה-M של ווירשטראס==		==מבחן ה-M של ווירשטראס==
	יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור ~~מתכנסשל~~ מספרים חיוביים <math>\sum a_n<M</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\|f_n(x)\|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I.		יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנס של מספרים חיוביים <math>\sum a_n</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\|f_n(x)\|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I.

	==דוגמה 4==		==דוגמה 4==
	הוכח כי <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,1]</math>.		הוכח כי <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,1]</math>.

77.125.124.137: /* אינטגרציה איבר-איבר בסדרות */

2011-05-28T23:09:58Z

אינטגרציה איבר-איבר בסדרות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:09, 28 במאי 2011
שורה 27:		שורה 27:
	נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ו-<math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=1-2=-1<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>x\in[0,1]\implies0\le x(1-x)\le\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש.		נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ו-<math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=1-2=-1<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>x\in[0,1]\implies0\le x(1-x)\le\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש.
	===אינטגרציה איבר-איבר בסדרות===		===אינטגרציה איבר-איבר בסדרות===
	אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\~~limits_0~~^1 f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>		אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>

	===דוגמה 5===		===דוגמה 5===
	קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>0\le x\le1</math> ו-<math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math>. נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left[\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math> עבור צד ימין <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n<math>xe^{-nx^2}\mathrm dx</math></math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.		קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>0\le x\le1</math> ו-<math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math>. נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left[\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math> עבור צד ימין <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n<math>xe^{-nx^2}\mathrm dx</math></math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.

77.125.124.137: /* דוגמה 3 משיעור קודם */

2011-05-28T23:04:21Z

דוגמה 3 משיעור קודם

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־23:04, 28 במאי 2011
שורה 15:		שורה 15:
	נשתמש בטור הנדסי, נרשום <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math> ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}}		נשתמש בטור הנדסי, נרשום <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math> ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}}
	==דוגמה 3 משיעור קודם==		==דוגמה 3 משיעור קודם==
	הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math>f:[c,d]\to\mathbb R</math> פונקציה רציפה אז <math>g\circ f_n</math> היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול <math>g\circ f</math>.		הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math>g:[c,d]\to\mathbb R</math> פונקציה רציפה אז <math>g\circ f_n</math> היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול <math>g\circ f</math>.
	===פתרון===		===פתרון===
	נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\|y_1-y_2\|<\delta</math> אז <math>\|g(y_1)-g(y_2)\|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>\|f_n(x)-f(x)\|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>.		נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\|y_1-y_2\|<\delta</math> אז <math>\|g(y_1)-g(y_2)\|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>\|f_n(x)-f(x)\|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>.

אור שחף: /* פתרון */

2011-05-28T13:21:46Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־13:21, 28 במאי 2011
שורה 18:		שורה 18:
	===פתרון===		===פתרון===
	נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\|y_1-y_2\|<\delta</math> אז <math>\|g(y_1)-g(y_2)\|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>\|f_n(x)-f(x)\|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>.		נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>\|y_1-y_2\|<\delta</math> אז <math>\|g(y_1)-g(y_2)\|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>\|f_n(x)-f(x)\|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>.
	נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב ושם לכל <math>a\le x\le b</math> ובפרט עבור <math>n>N</math> מתקיים <math>\|g(f_n(x))-g(f(x))\|<\~~varpesilon~~</math>.		נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב ושם לכל <math>a\le x\le b</math> ובפרט עבור <math>n>N</math> מתקיים <math>\|g(f_n(x))-g(f(x))\|<\varepsilon</math>.

	==מבחן ה-M של ווירשטראס==		==מבחן ה-M של ווירשטראס==
	יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים <math>\sum a_n<M</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\|f_n(x)\|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I.		יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים <math>\sum a_n<M</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>\|f_n(x)\|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I.

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}= ==משפט דיני== אם $f_n$ סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע $[a,b..."$

2011-05-22T15:41:31Z

יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}= ==משפט דיני== אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b..."

דף חדש

=התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}=
==משפט דיני==
אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע <math>[a,b]</math> ומתכנסת נקודתית בקטע זה לפונקציה רציפה f. בנוסף <math>f_n</math> סדרה עולה לכל <math>x\in[a,b]</math>. אזי <math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ב-<math>[a,b]</math>.
===דוגמה 1===
בדוק הכנסות עבור הסדרה <math>f_n(x)=\sqrt[n]{\sin(x)}</math> בקטע
# <math>\left[\frac\pi4,\frac34\pi\right]</math>
====פתרון====
נישם לב שעבור x בקטע <math>\sin(x)>0</math>. קל לראות גם שפונקצית הגבול <math>\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sin(x)}=1</math>. ברור כי <math>f_n</math> רציפות ובקטע מתקיים <math>\sqrt[n+1]{\sin(x)}\ge\sqrt[n]{\sin(x)}</math>. ברור כי פונקציה הגבול רציפה ולכן מתקיימים תנאי משפט דיני, מכאן שההתכנסות במ"ש. {{משל}}
# <math>(0,\pi)</math>
====פתרון====
נשים לב שנתון קטע פתוח, לכן לא ניתן להשתמש בתנאי דיני. ברור לנו שפונקצית הגבול <math>f(x)=1</math> ומכיוון ש-<math>\sup_{x\in(0,\pi)}\left|1-\sqrt[n]{\sin(x)}\right|=1\ne0</math>. {{משל}}
==דוגמה 2==
קבעו אם הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}</math> מתכנס ב-<math>\left[-\frac34,\frac34\right]</math>.
===פתרון===
נשתמש בטור הנדסי, נרשום <math>\sum_{n=1}^\infty x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \left(x^2\right)^n=\frac{x^2}{1-x^2}</math> ולכן יש התכנסות לפונקציה רציפה בקטע. ברור שאיברי הטור פונקציות רציפות ואי שליליות (ולכן מתקיימת מונוטוניות). מסקנה: לפי משפט דיני ההתכנסות במ"ש. {{משל}}
==דוגמה 3 משיעור קודם==
הוכח או הפרך: אם <math>f_n:[a,b]\to[c,d]</math> סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקצית הגבול f וכן <math>f:[c,d]\to\mathbb R</math> פונקציה רציפה אז <math>g\circ f_n</math> היא סדרת פונקציות המתכנסות במ"ש לפונקצית הגבול <math>g\circ f</math>.
===פתרון===
נשים לב כי g רציפה בקטע סגור ולכן רציפה במ"ש. כלומר לכל <math>\varepsilon>0</math> יש <math>\delta>0</math> כך שאם <math>|y_1-y_2|<\delta</math> אז <math>|g(y_1)-g(y_2)|<\varepsilon</math>. בנוסף נתון ש-<math>f_n</math> מתכנסת במ"ש ולכן יש N כך שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>|f_n(x)-f(x)|<\delta</math> (בפרט אפשר לבחור <math>\varepsilon=\delta</math>.
נשים לב ש-<math>g\circ f_n</math> מוגדרת היטב ושם לכל <math>a\le x\le b</math> ובפרט עבור <math>n>N</math> מתקיים <math>|g(f_n(x))-g(f(x))|<\varpesilon</math>.
==מבחן ה-M של ווירשטראס==
יהי <math>\sum f_n(x)</math> טור פונקציות בקטע I. אם קיים טור מתכנסשל מספרים חיוביים <math>\sum a_n<M</math> כך שלכל n גדול מספיק ולכל <math>x\in I</math> מתקיים <math>|f_n(x)|\le a_n</math> אז <math>\sum f_n(x)</math> מתכנס במ"ש ב-I.
==דוגמה 4==
הוכח כי <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש ב-<math>[0,1]</math>.
===פתרון===
נרשום את הטור כ-<math>\sum_{n=1}^\infty (x(1-x))^n</math> נסמן <math>f(x)=x(1-x)</math> ונחסום אותה: <math>f(x)=x-x^2\implies f'(x)=1-2x</math> ו-<math>f'(x)=0\iff x=\frac12</math>, שהיא מקסימום כי <math>f''(1/2)=1-2=-1<0</math>. נותר לבדוק את קצוות הקטע: <math>x\in[0,1]\implies0\le x(1-x)\le\frac14\implies f_n(x)=(x(1-x))^n\le\left(\frac14\right)^n</math>. לפי מבחן ה-M של ווירשטרס <math>\sum_{n=1}^\infty\frac1{4^n}</math> מתכנס (כי זהו טור הנדסי) ולכן מקבילים כי הטור <math>\sum_{n=1}^\infty x^n(1-x)^n</math> מתכנס במ"ש.
===אינטגרציה איבר-איבר בסדרות===
אם <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות המתכנסות במ"ש. לפונקציות f בקטע I אז f אינטגרבילית בקטע ומתקיים <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n=\int\limits_a^b\lim_{n\to\infty}f_n=\int\limits_a^b f</math>
===דוגמה 5===
קבע האם <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 f_n</math> מתכנס כאשר <math>0\le x\le1</math> ו-<math>f_n(x)=nxe^{-nx^2}</math>. נציב <math>y=x^2</math> ואז <math>\int\limits_0^1 f_n=\frac12\int\limits_0^1ne^{-ny}\mathrm dy=\frac12\left[\frac{ne^{-ny}}{-n}\right]_{y=0}^1=-\frac12e^{-n}+\frac12\to\frac12</math> עבור צד ימין <math>f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{nx}{e^{nx2}}=0</math> (השיוויון האחרון לפי לופיטל) ולכן ברור כי <math>\lim_{n\to\infty}\int\limits_0^1 n<math>xe^{-nx^2}\mathrm dx</math></math> ז"א אכן לא מתקיים שיוויון.

נראה ש-<math>f_n</math> לא מתכנסת במ"ש.
====פתרון===
ברור כי פונקצית הגבול היא 0. נשתש במבחן ה-M (כי כל גישה אחרת דורשת חלוקה לקטעים). נחפש מקסימום ל-<math>f_n(x)</math>: <math>f_n'(x)=-2n^2x^2e^{-n^2x^2}+ne^{-nx^2}=ne^{-n^2x^2}(-2x^2n+1)=0</math> ונקבל <math>x=\frac1\sqrt{2n}</math>. מתקיים <math>\sup|\frac n\sqrt{2n}e^{-\frac n{4n}}-0|\not\to0</math>.

משתמש:אור שחף/133 - תרגול/22.5.11 - היסטוריית גרסאות

אור שחף: /* פתרון */

אור שחף ב־14:14, 28 ביוני 2011

אור שחף: /* מבחן ה-M של ווירשטראס */

77.125.124.137: /* אינטגרציה איבר-איבר בסדרות */

77.125.124.137: /* דוגמה 3 משיעור קודם */

אור שחף: /* פתרון */

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}= ==משפט דיני== אם f_n סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע [a,b..."

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=התכנסות במ"ש {{הערה|(המשך)}}= ==משפט דיני== אם $f_n$ סדרת פונקציות רציפה המוגדרת בקטע $[a,b..."$