משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.3.11 - היסטוריית גרסאות

Shlomi: /* דוגמא 1 */

2016-07-02T19:26:20Z

דוגמא 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:26, 2 ביולי 2016
שורה 11:		שורה 11:
	====פתרון====		====פתרון====
	נרשום את האינטגרל כ- <math>\displaystyle\int\frac{dx}{x\left((x^{1/10})^5+(x^{1/10})^4\right)}</math> . מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9 dy=dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9 dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li>		נרשום את האינטגרל כ- <math>\displaystyle\int\frac{dx}{x\left((x^{1/10})^5+(x^{1/10})^4\right)}</math> . מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9 dy=dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9 dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li>
	<li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}dx</math>		<li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}{\sqrt[3]{1+x}}dx</math>

	====פתרון====		====פתרון====

יהודה שמחה ב־22:23, 3 באפריל 2016

2016-04-03T22:23:13Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־22:23, 3 באפריל 2016
שורה 4:		שורה 4:
	עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.		עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.

	===~~דוגמה~~ 1===		===דוגמא 1===
	חשבו		חשבו
	<ol>		<ol>
	<li><math>\int\frac{~~\mathrm~~ dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)}</math>		<li><math>\int\frac{dx}{x\left(\sqrt{x}+\sqrt[5]{x^2}\right)}</math>

	====פתרון====		====פתרון====
	נרשום את האינטגרל כ-<math>\int\frac{~~\mathrm~~ dx}{x\left(~~\left~~(x^{1/10}~~\right~~)^5+~~\left~~(x^{1/10}~~\right~~)^4\right)}</math>. מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9~~\mathrm~~ dy=~~\mathrm~~ dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9~~\mathrm~~ dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li>		נרשום את האינטגרל כ- <math>\displaystyle\int\frac{dx}{x\left((x^{1/10})^5+(x^{1/10})^4\right)}</math> . מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9 dy=dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9 dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li>
	<li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}~~\mathrm~~ dx</math>		<li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}dx</math>

	====פתרון====		====פתרון====
	נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5~~\mathrm~~ dy=~~\mathrm~~ dx</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{~~\left~~(y^6-1~~\right~~)^2+y^3}{y^2}6y^5~~\mathrm~~ dy=\int\left(~~\left~~(y^6-1~~\right~~)^2+y^3\right)6y^3~~\mathrm~~ dy=\dots</math>. {{משל}}</li>		נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5 dy=dx</math> . נקבל <math>\int=\int\frac{(y^6-1)^2+y^3}{y^2}6y^5 dy=\int\left((y^6-1)^2+y^3\right)6y^3 dy=\dots</math> . {{משל}}</li>
	</ol>		</ol>

	==הצבות טריגונומטריות==		==הצבות טריגונומטריות==
	כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>.		כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math> .
	===~~דוגמה~~ 2===
			===דוגמא 2===
	<ol>		<ol>
	<li><math>\int\frac{~~\mathrm~~ dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}</math>		<li><math>\int\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}</math>

	====פתרון====		====פתרון====
	נעזר במשלש ישר ~~זווית~~: גרף (1) <math>\sqrt{x^2+4}</math> חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא <math>\tan(y)=\~~frac x2~~\iff x=2\tan(y)\implies~~\mathrm~~ dx=\frac{~~2\mathrm dy~~}{\cos^2(y)}</math>. נקבל {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}\\&=\int\frac{\frac{~~2\mathrm dy~~}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}\\&=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)}~~\mathrm~~ dy\end{align}</math>}}נציב <math>t=\sin(y)\implies~~\mathrm~~ dt=\cos(y)~~\mathrm~~ dt</math> אזי <math>\int=\frac14\int\frac{~~\mathrm~~ dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots</math>. {{משל}}</li>		נעזר במשלש ישר-זוית: גרף (1) <math>\sqrt{x^2+4}</math> חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא <math>\tan(y)=\fracx2\iff x=2\tan(y)\implies dx=\frac{2dy}{\cos^2(y)}</math> . נקבל {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}\\&=\int\frac{\frac{2dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}\\&=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)} dy\end{align}</math>}}נציב <math>t=\sin(y)\implies dt=\cos(y)dt</math> אזי <math>\int=\frac14\int\frac{dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots</math> . {{משל}}</li>
	<li><math>\int\frac\sqrt{9-4x^2}x~~\mathrm~~ dx</math>		<li><math>\int\frac\sqrt{9-4x^2}x dx</math>

	====פתרון====		====פתרון====
	שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה <math>\sin(y)=\frac{2x}3\implies ~~\mathrm~~ dx=\frac32\cos(y)~~\mathrm~~ dy</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)~~\mathrm~~ dy\\&=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}~~\mathrm~~ dy\\&=3\int\csc(y)~~\mathrm~~ dy-3\int\sin(y)~~\mathrm~~ dy\\&=\dots\end{align}</math>}}נותר לפתור <math>\int\csc(y)~~\mathrm~~ dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}~~\mathrm dy~~=\int\frac{-~~\mathrm~~ dt}{1-t^2}</math> עבור <math>t=\cos(y)</math>. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. {{משל}}</li>		שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה <math>\sin(y)=\frac{2x}3\implies dx=\frac32\cos(y)dy</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)dy\\&=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}dy\\&=3\int\csc(y)dy-3\int\sin(y)dy\\&=\dots\end{align}</math>}}נותר לפתור <math>\int\csc(y)dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}y=\int\frac{-dt}{1-t^2}</math> עבור <math>t=\cos(y)</math> . מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. {{משל}}</li>
	<li><math>\int\frac{~~\mathrm~~ dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32}</math>		<li><math>\int\frac{dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32}</math>

	====פתרון====		====פתרון====
	ראשית נציב <math>y=x-3\implies \int=\int\frac{~~\mathrm~~ dy}{\left(4y^3-9\right)^\frac32}</math>. נציב <math>\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ \tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}</math> נקבל: <math>\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz</math> את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה <math>t=\cos(z)</math> ואז <math>\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots</math>. {{משל}}</li>		ראשית נציב <math>y=x-3\implies \int=\int\frac{dy}{\left(4y^3-9\right)^\frac32}</math>. נציב <math>\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ \tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}</math> נקבל: <math>\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz</math> את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה <math>t=\cos(z)</math> ואז <math>\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots</math>. {{משל}}</li>
	</ol>		</ol>
	==הצבות מיוחדות==		==הצבות מיוחדות==

ארז שיינר: /* פתרון */

2012-09-05T11:18:58Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:18, 5 בספטמבר 2012
שורה 12:		שורה 12:
	<li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math>		<li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math>
	====פתרון====		====פתרון====
	נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies (6y^5~~+y)~~\mathrm dy=\mathrm dx</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy=\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}</li>		נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies 6y^5\mathrm dy=\mathrm dx</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy=\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}</li>
	</ol>		</ol>

	==הצבות טריגונומטריות==		==הצבות טריגונומטריות==
	כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>.		כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>.

87.68.51.111: /* פתרון */

2011-05-15T18:14:16Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:14, 15 במאי 2011
שורה 40:		שורה 40:
	נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}		נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}

	'''~~מסכנה~~''': כאשר יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt[n]{ax+b}</math> ננסה להציב <math>y^n=ax+b</math>.</li>		'''מסקנה''': כאשר יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt[n]{ax+b}</math> ננסה להציב <math>y^n=ax+b</math>.</li>
	</ol>		</ol>

שורה 46:		שורה 46:

	אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+x^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+x^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+x^2=(\beta-y)^2</math> או <math>c+bx+x^2=(\alpha-y)^2</math>.		אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+x^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+x^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+x^2=(\beta-y)^2</math> או <math>c+bx+x^2=(\alpha-y)^2</math>.

	===דוגמה 4===		===דוגמה 4===
	נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math>		נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math>
	====פתרון====		====פתרון====
	הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו {{left\|<math>\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}</math>}}ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>. {{משל}}		הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו {{left\|<math>\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}</math>}}ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>. {{משל}}

אור שחף ב־20:36, 17 באפריל 2011

2011-04-17T20:36:05Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־20:36, 17 באפריל 2011
שורה 5:		שורה 5:

	===דוגמה 1===		===דוגמה 1===
	~~חשב~~		חשבו
	# <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)}</math>. ====פתרון==== נרשום את האינטגרל כ-<math>\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\left(x^{1/10}\right)^5+\left(x^{1/10}\right)^4\right)}</math>. מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9\mathrm dy=\mathrm dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9\mathrm dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון.		<ol>
	# <math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math> ====פתרון==== נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies (6y^5+y)\mathrm dy=\mathrm dx</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy-\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots</math>		<li><math>\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)}</math>
			====פתרון====
			נרשום את האינטגרל כ-<math>\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\left(x^{1/10}\right)^5+\left(x^{1/10}\right)^4\right)}</math>. מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9\mathrm dy=\mathrm dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9\mathrm dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון. {{משל}}</li>
			<li><math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math>
			====פתרון====
			נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies (6y^5+y)\mathrm dy=\mathrm dx</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy=\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}</li>
			</ol>
	==הצבות טריגונומטריות==		==הצבות טריגונומטריות==
	כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>.		כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>.
	===דוגמה 2===		===דוגמה 2===
	# <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}</math> ====פתרון==== נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1) <math>\sqrt{x^2+4}</math> חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא <math>\tan(y)=\frac x2\iff x=2\tan(y)\implies\mathrm dx=\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy</math>. נציב <math>t=\sin(y)\implies\mathrm dt=\cos(y)\mathrm dt</math> אזי <math>\int=\frac14\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots</math>		<ol>
	# <math>\int\frac\sqrt{9-4x^2}x\mathrm dx</math> ====פתרון==== שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה <math>\sin(y)=\frac{2x}3\implies \mathrm dx=\frac32\cos(y)\mathrm dy~~=\frac32\frac\sqrt{9-4x^2}3\mathrm dx~~</math> אזי <math>\int=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)\mathrm dy=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}\mathrm dy=3\int\csc(y)\mathrm dy-\dots</math>. נותר לפתור <math>\int\csc(y)\mathrm dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy=\int\frac{-\mathrm dt}{1-t^2}</math> עבור <math>t=\cos(y)</math>. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים.		<li><math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}</math>
	# <math>\int\frac{\mathrm dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32</math> ====פתרון==== ראשית נציב <math>y=x-y\implies \int=\int\frac{\mathrm dy}{\left(y^3-9\right)^\frac32</math>. נציב <math>\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}</math> נקבל: <math>\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz</math> את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה <math>t=\cos(z)</math> ואז <math>\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots</math>		====פתרון====
			נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1) <math>\sqrt{x^2+4}</math> חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא <math>\tan(y)=\frac x2\iff x=2\tan(y)\implies\mathrm dx=\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}</math>. נקבל {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}\\&=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}\\&=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy\end{align}</math>}}נציב <math>t=\sin(y)\implies\mathrm dt=\cos(y)\mathrm dt</math> אזי <math>\int=\frac14\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots</math>. {{משל}}</li>
			<li><math>\int\frac\sqrt{9-4x^2}x\mathrm dx</math>
			====פתרון====
			שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה <math>\sin(y)=\frac{2x}3\implies \mathrm dx=\frac32\cos(y)\mathrm dy</math> אזי {{left\|<math>\begin{align}\int&=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)\mathrm dy\\&=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}\mathrm dy\\&=3\int\csc(y)\mathrm dy-3\int\sin(y)\mathrm dy\\&=\dots\end{align}</math>}}נותר לפתור <math>\int\csc(y)\mathrm dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy=\int\frac{-\mathrm dt}{1-t^2}</math> עבור <math>t=\cos(y)</math>. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים. {{משל}}</li>
			<li><math>\int\frac{\mathrm dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32}</math>
			====פתרון====
			ראשית נציב <math>y=x-3\implies \int=\int\frac{\mathrm dy}{\left(4y^3-9\right)^\frac32}</math>. נציב <math>\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ \tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}</math> נקבל: <math>\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz</math> את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה <math>t=\cos(z)</math> ואז <math>\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots</math>. {{משל}}</li>
			</ol>
	==הצבות מיוחדות==		==הצבות מיוחדות==
	ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב <math>x=2\arctan(y)\iff y=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן <math>\sin(x)=\frac{2y}{1+y^2}</math> וגם <math>\cos(x)=\frac{1-y^2}{1+y^2}</math>.		ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב <math>x=2\arctan(y)\iff y=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן <math>\sin(x)=\frac{2y}{1+y^2}</math> וגם <math>\cos(x)=\frac{1-y^2}{1+y^2}</math>.
	===דוגמה 3===		===דוגמה 3===
	פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:		פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
	# <math>\int\csc(x)\mathrm dx</math> ====פתרון==== <math>\int=\int\frac1\frac{2y}{1+y^2}\cdot2\cdot\frac1{1+y^2}\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln\left\|\tan\left(\frac x2\right)\right\|+c</math>		<ol>
	# <math>\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}</math> =====פתרון==== נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. ~~'''מסכנה''': כאשר יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt[n]~~{~~ax+b~~}~~</math> ננסה להציב <math>y^n=ax+b</math>.~~		<li><math>\int\csc(x)\mathrm dx</math>
			====פתרון====
			<math>\int=\int\frac1\frac{2y}{1+y^2}\cdot2\cdot\frac1{1+y^2}\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln\left\|\tan\left(\frac x2\right)\right\|+c</math>{{משל}}</li>
			<li><math>\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}</math>
			====פתרון====
			נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies\mathrm dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. {{משל}}

	אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+X^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+X^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+X^2=(\beta-x)^2^2</math> או <math>c+bx+X^2=(\alpha-x)^2^2</math>		'''מסכנה''': כאשר יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt[n]{ax+b}</math> ננסה להציב <math>y^n=ax+b</math>.</li>
			</ol>

			----

			אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+x^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+x^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+x^2=(\beta-y)^2</math> או <math>c+bx+x^2=(\alpha-y)^2</math>.
	===דוגמה 4===		===דוגמה 4===
	נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math> ====פתרון==== הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו <math>(y-x)^2=x^2+x+2\implies y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\implies\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy</math> ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>		נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math>
			====פתרון====
			הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו {{left\|<math>\begin{align}&(y-x)^2=x^2+x+2\\\implies&y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\\\implies&\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy\end{align}</math>}}ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>. {{משל}}

אור שחף: יצירת דף עם התוכן "=אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), ..."

2011-03-27T17:01:00Z

יצירת דף עם התוכן "=אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}= עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), ..."

דף חדש

=אינטגרציה {{הערה|(המשך)}}=
עד כה דיברנו על אינטגרלים של פונקציות רציונליות (בפרט פולינומים), פונקציות טריגונומטריות וכו'.

עתה נדבר על פונקציות לא רציונליות.

===דוגמה 1===
חשב
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\sqrt x+\sqrt[5]{x^2}\right)}</math>. ====פתרון==== נרשום את האינטגרל כ-<math>\int\frac{\mathrm dx}{x\left(\left(x^{1/10}\right)^5+\left(x^{1/10}\right)^4\right)}</math>. מתבקשת ההצבה <math>y=x^{1/10}\implies y^{10}=x\implies10y^9\mathrm dy=\mathrm dx</math> ולכן נקבל <math>\int=\int\frac{10y^9\mathrm dy}{y^{10}\left(y^5+y^4\right)}</math> ומכאן קל למצוא את הפתרון.
# <math>\int\frac{x^2+\sqrt{1+x}}\sqrt[3]{1+x}\mathrm dx</math> ====פתרון==== נגדיר <math>y=(1+x)^{1/6}\implies (6y^5+y)\mathrm dy=\mathrm dx</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{\left(y^6-1\right)^2+y^3}{y^2}6y^5\mathrm dy-\int\left(\left(y^6-1\right)^2+y^3\right)6y^3\mathrm dy=\dots</math>
==הצבות טריגונומטריות==
כאשר יש פונקציה מהצורה <math>\sqrt{a^2-b^2x^2}</math>.
===דוגמה 2===
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}</math> ====פתרון==== נעזר במשלש ישר זווית: גרף (1) <math>\sqrt{x^2+4}</math> חייב להיות אורך היתר. ההצבה המתבקשת היא <math>\tan(y)=\frac x2\iff x=2\tan(y)\implies\mathrm dx=\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}</math>. נקבל <math>\int=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{4\tan^2(y)\sqrt{4\tan^2(y)+4}}=\int\frac{\frac{2\mathrm dy}{\cos^2(y)}}{8\frac{\sin^2(y)}{\cos^2(y)}\sec(y)}=\frac14\int\frac{\cos(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy</math>. נציב <math>t=\sin(y)\implies\mathrm dt=\cos(y)\mathrm dt</math> אזי <math>\int=\frac14\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=-\frac14\frac1t+c=\dots</math>
# <math>\int\frac\sqrt{9-4x^2}x\mathrm dx</math> ====פתרון==== שוב נבנה משולש גרף 2. מתבקשת ההצבה <math>\sin(y)=\frac{2x}3\implies \mathrm dx=\frac32\cos(y)\mathrm dy=\frac32\frac\sqrt{9-4x^2}3\mathrm dx</math> אזי <math>\int=\int\frac{3\cos(y)}{\frac32\sin(y)}\cdot\frac32\cos(y)\mathrm dy=3\int\frac{1-\sin^2(y)}{\sin(y)}\mathrm dy=3\int\csc(y)\mathrm dy-\dots</math>. נותר לפתור <math>\int\csc(y)\mathrm dy=\int\frac{\sin(y)}{\sin^2(y)}\mathrm dy=\int\frac{-\mathrm dt}{1-t^2}</math> עבור <math>t=\cos(y)</math>. מכאן נותר רק לפתור בשברים חלקיים.
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{\left(4(x-3)^2-9\right)^\frac32</math> ====פתרון==== ראשית נציב <math>y=x-y\implies \int=\int\frac{\mathrm dy}{\left(y^3-9\right)^\frac32</math>. נציב <math>\sin(z)=\frac3{2y}\implies y=\frac3{2\sin(z)}\ \and\ tan(z)=\frac3\sqrt{(2y)^2-3^2}</math> נקבל: <math>\int=\int\frac{-\frac32\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)}}{(3\cot(z))^3}\mathrm dz=-\frac1{18}\int\frac{\sin(z)}{\cos^2(z)}\mathrm dz</math> את האינטגרל הנ"ל קל לפתור ע"י הצבה <math>t=\cos(z)</math> ואז <math>\int=\frac1{18}\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\dots</math>
==הצבות מיוחדות==
ההצבה האוניברסלית: תמיד ניתן להציב <math>x=2\arctan(y)\iff y=\tan\left(\frac x2\right)</math> ולכן <math>\sin(x)=\frac{2y}{1+y^2}</math> וגם <math>\cos(x)=\frac{1-y^2}{1+y^2}</math>.
===דוגמה 3===
פתור את האינטגרלים הבאים באמצעות ההצבה האוניברסלית:
# <math>\int\csc(x)\mathrm dx</math> ====פתרון==== <math>\int=\int\frac1\frac{2y}{1+y^2}\cdot2\cdot\frac1{1+y^2}\mathrm dy=\int\frac{\mathrm dy}y=\ln\left|\tan\left(\frac x2\right)\right|+c</math>
# <math>\int\frac{\mathrm dx}{(x-2)\sqrt{x+2}}</math> =====פתרון==== נציב <math>y=\sqrt{x+2}\implies dx=2y\mathrm dy</math> לפיכך <math>\int=\int\frac{2y}{y\left(y^2-4\right)}\mathrm dy=\dots</math>. '''מסכנה''': כאשר יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt[n]{ax+b}</math> ננסה להציב <math>y^n=ax+b</math>.

אם יש ביטוי מהצורה <math>\sqrt{c+bx+X^2}</math> כאשר הפולינום אי פריק נציב <math>(y-x)^2=c+bx+X^2</math>. אם הפולינום בשורש כן פריק ושורשיו <math>\alpha,\ \beta</math> נציב <math>c+bx+X^2=(\beta-x)^2^2</math> או <math>c+bx+X^2=(\alpha-x)^2^2</math>
===דוגמה 4===
נחשב <math>\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2+x+2}}</math> ====פתרון==== הפולינום שבשורש אי פריק, לכן נגדיר y עבורו <math>(y-x)^2=x^2+x+2\implies y=x+\sqrt{x^2+x+2}\ \and\ x=\frac{y^2-2}{1+2y}\implies\mathrm dx=\dots=\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy</math> ואז <math>\int=\frac{\frac{2(y^2+y+2)}{(1+2y)^2}\mathrm dy}{\frac{y^2-2}{1+2y}\frac{y^2+y+2}{1+2y}}=2\int\frac{\mathrm dy}{y^2-2}</math>