משתמש:אור שחף/133 - תרגול/3.4.11 - היסטוריית גרסאות

חופית: /* פתרון */

2011-05-15T19:30:57Z

פתרון

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:30, 15 במאי 2011
שורה 22:		שורה 22:
	<div style="float:left;">[[קובץ:חישוב נפח פירמידה עם משולש.png\|200px]]</div>		<div style="float:left;">[[קובץ:חישוב נפח פירמידה עם משולש.png\|200px]]</div>
	נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה.		נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה.
	מדמיון משושלים נקבל <math>\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a</math> ולכן שטח חתך כזה הוא <math>S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2</math>. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר ~~השמתנה~~ שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא <math>\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3</math>.		מדמיון משושלים נקבל <math>\frac{L/2}{a/2}=\frac{h-y}h\implies L=\frac{h-y}h\cdot a</math> ולכן שטח חתך כזה הוא <math>S(L)=\left(\frac{h-y}h\cdot a\right)^2</math>. נזכור שהחתך נפרס לרוחב, כלומר המשתנה שלנו הוא y, וידוע שהוא רץ בין 0 ל-h. אם נקח לכל חתך כזה תיבה שבסיסה הוא החתך וגובהה שואף ל-0 ונחבר את נפחי התיבות נקבל את נפח הפירמידה. לכן הנפח הוא <math>\int\limits_0^h S(L)\mathrm dy=\int\limits_0^h\frac{(y-h)^2}{h^2}\cdot a^2\mathrm dy=\frac{a^2}{h^2}\left[\frac{(y-h)^3}3\right]_{y=0}^h=\frac{a^2h}3</math>.

	==נפח גוף סיבוב==		==נפח גוף סיבוב==

חופית: /* דוגמה 1 */

2011-05-15T19:12:29Z

דוגמה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:12, 15 במאי 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=שימושי האינטגרל=		=שימושי האינטגרל=
	==דוגמה 1==		==דוגמה 1==
	חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.		חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y^2=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
	===פתרון===		===פתרון===
	נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.		נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.

חופית: ביטול גרסה 10552 של 87.68.51.111 (שיחה)

2011-05-15T19:11:13Z

ביטול גרסה 10552 של 87.68.51.111 (שיחה)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:11, 15 במאי 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=שימושי האינטגרל=		=שימושי האינטגרל=
	==דוגמה 1==		==דוגמה 1==
	חשבו את השטח הכלוא ע"י ~~הישר~~ <math>y=4x</math> והישר <math>y=(2x-4~~)^2~~</math>.		חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
	===פתרון===		===פתרון===
	נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.		נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.

87.68.51.111: ביטול גרסה 10553 של 87.68.51.111 (שיחה)

2011-05-15T19:09:47Z

ביטול גרסה 10553 של 87.68.51.111 (שיחה)

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־19:09, 15 במאי 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=שימושי האינטגרל=		=שימושי האינטגרל=
	==דוגמה 1==		==דוגמה 1==
	חשבו את השטח הכלוא ע"י הישר <math>y=4x</math> ~~והפרבולה~~ <math>y=(2x-4)^2</math>.		חשבו את השטח הכלוא ע"י הישר <math>y=4x</math> והישר <math>y=(2x-4)^2</math>.
	===פתרון===		===פתרון===
	נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.		נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.

87.68.51.111: /* דוגמה 1 */

2011-05-15T18:36:50Z

דוגמה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:36, 15 במאי 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=שימושי האינטגרל=		=שימושי האינטגרל=
	==דוגמה 1==		==דוגמה 1==
	חשבו את השטח הכלוא ע"י הישר <math>y=4x</math> ~~והישר~~ <math>y=(2x-4)^2</math>.		חשבו את השטח הכלוא ע"י הישר <math>y=4x</math> והפרבולה <math>y=(2x-4)^2</math>.
	===פתרון===		===פתרון===
	נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.		נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.

87.68.51.111: /* דוגמה 1 */

2011-05-15T18:36:20Z

דוגמה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־18:36, 15 במאי 2011
שורה 1:		שורה 1:
	=שימושי האינטגרל=		=שימושי האינטגרל=
	==דוגמה 1==		==דוגמה 1==
	חשבו את השטח הכלוא ע"י ~~הפרבולה~~ <math>y=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.		חשבו את השטח הכלוא ע"י הישר <math>y=4x</math> והישר <math>y=(2x-4)^2</math>.
	===פתרון===		===פתרון===
	נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.		נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.

אור שחף ב־11:24, 17 באפריל 2011

2011-04-17T11:24:00Z

@@ שורה 19: / שורה 19: @@
 מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.
 ===פתרון===
-נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה
+<div style="float:right;margin-left:10px;">[[קובץ:חישוב שטח פירמידה.png|200px]]</div>

אור שחף: המשך יבוא

2011-04-15T17:05:28Z

המשך יבוא

דף חדש

=שימושי האינטגרל=
==דוגמה 1==
חשבו את השטח הכלוא ע"י הפרבולה <math>y=4x</math> והישר <math>y=2x-4</math>.
===פתרון===
נצייר את הגרף (1) של הפונקציות ונמצא את 2 נקודות החיתוך: <math>(2x-4)^2=4x\implies x^2-5x+4=0\implies x=1,4</math>.
* '''דרך 1:''' נסובב את מערכת הצירים ב-<math>90^\circ</math> ונקבל גרף (2). עתה נחשב את השטח בין <math>y^2=4x\implies x=\frac{y^2}4</math> וכן <math>y=2x-4\implies x=\frac12y+2</math>. קל לראות שהישר מעל הפרבולה, אבל גם אם לא כך אז הסימן של התוצאה יהא הפוך. לכן ניקח ערך מוחלט. שיעורי ה-y של נקודות החיתוך הם <math>-2,4</math> (לפי שיעורי ה-x) ולכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-2}^4\left(\frac y2+2-\frac{y^2}4\right)\mathrm dy\right|=\left|\left[\frac{y^2}4+2y-\frac{y^3}{12}\right]_{y=-2}^4\right|=9</math>.
* '''דרך 2:''' נפרק לשלושה שטחים: השטח <math>S_1</math> בין <math>x=1</math> ל-4 ושני שטחים שווים <math>S_2=S_3</math> בין 0 ל-1, שטח אחד מעל ציר ה-x והשני מתחת. לפיכך השטח הכולל הוא <math>S_1+2S_2=\left|\int\limits_1^4\left(\sqrt{4x}-2x+4\right)\mathrm dx\right|+2\left|\int\limits_0^1\sqrt{4x}\mathrm dx\right|=9</math>

==דוגמה 2==
חשבו את השטח הכלוא בין הגרפים של הפונקציות <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x},\ y=0,\ x=-1</math>.
===פתרון===
נקודות חיתוך:
* <math>y=e^x,\ y=2-\frac1{e^x}\implies x=0</math>
* <math>y=2-\frac1{e^x},\ y=0\implies x=-\ln(2)</math>
* ברור כי ל-<math>y=e^x,\ y=0</math> אין נקודת חיתוך.
לכן השטח הוא <math>\left|\int\limits_{-1}^{-\ln(2)} e^x\mathrm dx\right|+\left|\int\limits_{-\ln(2)}^0\left(e^x-2+e^{-x}\right)\mathrm dx\right|=2-\ln(4)-\frac1e</math>.

==דוגמה 3==
מצאו נוסחה לחישוב נפח של פירמידה ישרה אשר גובהה h ובסיסה ריבוע שאורך צלעו a.
===פתרון===
נבחר את מערכת הצירים כך שקודקוד הפירמידה עובר דרך ציר ה-y וציר ה-y מאונך לבסיסה. יוצא שציר ה-x מונח במישור על בסיס הפירמידה ומקביל/מאונך לצלעותיו. לכל קטע מהצורה <math>[0,y]</math> החתך הניצב לציר ה-y הוא ריבוע. נסמן ב-L את אורך הצלע של ריבוע זה