משתמש:אור שחף/133 - תרגול/6.3.11 - היסטוריית גרסאות

חופית: /* דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}} */

2011-05-14T11:28:06Z

דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:28, 14 במאי 2011
שורה 18:		שורה 18:
	{{משל}}		{{משל}}

	'''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת ~~נחפס~~ להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>.		'''באופן כללי:''' נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפש להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה נוספת: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx=\int\frac{x^2+1-1}{x^2+1}\mathrm dx</math>.

	==דוגמה 2==		==דוגמה 2==

חופית: /* דוגמה 1 */

2011-05-14T11:22:53Z

דוגמה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:22, 14 במאי 2011
שורה 7:		שורה 7:
	# <math>\int\limits_0^5 \|x-3\|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>\|x-3\|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.		# <math>\int\limits_0^5 \|x-3\|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>\|x-3\|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
	# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2</math> {{משל}}		# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2</math> {{משל}}
	# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}}		# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2=0</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}}

	=האינטגרל הלא מסויים=		=האינטגרל הלא מסויים=

חופית: /* דוגמה 1 */

2011-05-14T11:20:20Z

דוגמה 1

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־11:20, 14 במאי 2011
שורה 6:		שורה 6:

	# <math>\int\limits_0^5 \|x-3\|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>\|x-3\|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.		# <math>\int\limits_0^5 \|x-3\|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>\|x-3\|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. גרף (1) מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5. {{משל}}<br />''הערה:'' אם התחום היה, למשל, <math>[4,5]</math> היינו יכולים לחשב לפי שטח טרפז.
	# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2+c</math> {{משל}}		# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2</math> {{משל}}
	# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}}		# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math>. האינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>. {{משל}}

אור שחף ב־10:28, 27 במרץ 2011

2011-03-27T10:28:29Z

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־10:28, 27 במרץ 2011
שורה 38:		שורה 38:

	<!--		<!--
	'''באופן כללי:''' בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>m+n</math> אי זוגי, באופן הבא: נציב <math>y=\~~cos~~^\frac{m+1}2(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac{m+1}2\~~cos~~^{\frac{m+1}2~~-1}~~(x)\~~sin~~(x)\mathrm dx</math> ולכן <math>\sin^n(x)\cos^m(x)=</math>		'''באופן כללי:''' בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>n</math> אי זוגי, באופן הבא: נציב <math>y=\sin^\frac{n+1}2(x)</math> ואז <math>\mathrm dy=\frac{n+1}2\sin^\frac{n-1}2(x)\cos(x)\mathrm dx</math> ולכן <math>\sin^n(x)\cos^m(x)\mathrm dx=\frac2{n+1}\cos^{m-1}(x)\cdot\frac{n+1}2\cdot\sin^\frac{n+1}2(x)\sin^\frac{n-1}2(x)\cos(x)\mathrm dx=\frac2{n+1}y</math>.

	אם <math>n+m</math> זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות, כמו		אם <math>n+m</math> זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות, כמו
שורה 55:		שורה 55:
	לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}}		לפי אינטגרציה בחלקים, נגדיר <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. {{משל}}

	~~<!--~~		'''מסקנה:''' לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathbb N</math> כפול פונקציה g שמקיימת (עבור <math>m\in\mathbb N</math> כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון<!--: {{left\|<math>\begin{align}\int g(x)\sum_{k=0}^n a_kx^k\mathrm dx&=g^{(m-1)}(x)\sum_{k=0}^n a_kx^k-\int g^{(m-1)}(x)\sum_{k=1}^n a_k\cdot kx^{k-1}\mathrm dx\\&=\dots\\&=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i g^{(m-i-1)}(x)\sum_{k=i}^n a_k \frac{k!}{(k-i)!}x^{k-i}+(-1)^n\int g^{(m-n)}(x)\mathrm dx\\&=\sum_{i=0}^n(-1)^i g^{(m-i-1)}(x)\sum_{k=i}^n a_k \frac{k!}{(k-i)!}x^{k-i}+c\end{align}</math>}}--></li>
	'''מסקנה:''' לכל פולינום ממעלה <math>n\in\mathbb N</math> כפול פונקציה שמקיימת (עבור <math>m\in\mathbb N</math> כלשהו) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון.--></li>
	<li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>		<li><math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>
	===פתרון===		===פתרון===

אור שחף: /* פתרון */ תיקון טעות

2011-03-11T12:29:31Z

פתרון: תיקון טעות

→ הגרסה הקודמת		גרסה מ־12:29, 11 במרץ 2011
שורה 70:		שורה 70:
	<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.		<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.
	===פתרון===		===פתרון===
	בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=~~\frac{3^x}{~~\ln(3)}\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}}		בשיטת ההצבה, <math>y=3^x\implies\mathrm dy=\ln(3)\cdot3^x\mathrm dx</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>. {{משל}}

אור שחף ב־18:46, 10 במרץ 2011

2011-03-10T18:46:42Z

הצגת שינויים

80.74.111.178: יצירת דף עם התוכן "==שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים== '''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט). ==דוגמה 1== חשב את ..."

2011-03-06T16:56:56Z

יצירת דף עם התוכן "==שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים== '''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט). ==דוגמה 1== חשב את ..."

דף חדש

==שיטות פרמיטיביות לחישוב שטחים==
'''המטרה:''' לחשב שטח מתחת לכל עקומה (כמעט).

==דוגמה 1==
חשב את השטח הכלוא בין ציר ה-x לעקומה במקרים הבאים:

# <math>\int\limits_0^5 |x-3|\mathrm dx</math><br/> פתרון: נשים לב להגדרת <math>|x-3|</math> לפיה האינטגרל שווה ל-<math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx+\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx</math>. מספיק לחשב את השטחים I ו-II. נעשה זאת לפי שטח משולש: עבור I - <math>\int\limits_0^3-(x-3)\mathrm dx=\frac{3\cdot3}2=4.5</math> ועבור II - <math>\int\limits_3^5 (x-3)\mathrm dx=\frac{2\cdot2}2=2</math> ולכן השטח הכולל הוא 6.5.
הערה: אם התחום היה <math>[4,5]</math> היינו מחשבים לפי שטח טרפז.
# <math>\int\limits_0^{10} \sqrt{10x-x^2}\mathrm dx</math>. פתרון: נבדוק מהו גרף הפונקציה. נסמן <math>y=\sqrt{10x-x^2}\implies y^2=10x-x^2\implies (x-5)^2+y^2=5^2</math>. קיבלנו מעגל - גרף (2). מסימטריות המעגל אפשר לקחת חצי משטח המעגל. <math>\int\limits_0^{10}\sqrt{10x-x^2}\mathrm dx=\frac{25\pi}2+c</math>
# <math>\int\limits_a^b\sqrt\frac{4-x^2}2\mathrm dx</math>, כאשר a,b הם גבולות העקומה. פתרון: נסמן <math>y=\sqrt\frac{4-x^2}2\implies \left(\frac y\sqrt2\right)^2+\left(\frac x2\right)^2</math>. זוהי אליפסה שמרכזה ב-<math>(0,0)</math>. נסמן <math>a=2,\ b=\sqrt2</math> ולפי נוסחה לשטח אליפסה (<math>\pi a b</math>) נקבל <math>2\sqrt2\pi</math> והאינטגרל הוא מחצית השטח, כלומר <math>\sqrt2\pi</math>.

=האינטגרל הלא מסויים=
'''המטרה:''' להגדיר אינטגרל דרך פונקציה קדומה. <math>F(x)\int f(x)\mathrm dx</math> ולכן אפשר להשתמש בכיוון השני של טבלת הגזירה. למשל, <math>\frac{\mathrm d\ln(x)}{\mathrm dx}=\frac1x</math> ולכן <math>\int\frac{\mathrm dx}x=\ln|x|+c</math>

==דוגמה 1 {{הערה|(שיטת פירוק)}}==
חשב <math>\int\frac{2x^4}{1+x^2}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
זה שווה ל-<math>2\int\frac{x^4+1-1}{1+x^2}\mathrm dx=2\int(x^2-1)\mathrm dx+2\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=2\frac{x^3}3-2x+2\arcsin(x)+c</math>

באופן טכני נבדוק מה מאפס את המונה ומה מאפס את המכנה (במקרה הזה לא מתאפס ב-<math>\mathbb R</math>). אם מצטמצם ננסה חילוק פולינומים, אחרת נחפס להציג כקבוע ועוד שארית. דוגמה: <math>\int\frac{x^2}{x^2+1}\mathrm dx</math>

===דוגמה 2===
<math>\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)\cos^2(x)}</math>.
דרך א: האינטגרל הוא <math>4\int\frac{\mathrm dx}{\Big(2\sin(x)\cos(x)\Big)^2}=4\int\frac{\mathrm dx}{(\sin(2x))^2}</math>. זהו אינטגרל לא פשוט ולכן ננסה את
דרך ב: <math>\int\frac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\sin^2(x)\cos^2(x)}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dx}{\sin^2(x)}+\int\frac{\mathrm dx}{\cos^2(x)}=\tan(x)-\cot(x)+c</math>

בדיקה: אפשר לגזור על הפונקציה הקדומה ולבדוק אם הגענו לתשובה הנכונה.

----

'''שיטת ההצבה:''' <math>\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x))+c</math>

===דוגמה 3===
חשב <math>\int\sin^5(x)\cos(x)\mathrm dx</math>.
====פתרון====
נציב <math>y=\sin(x)</math> ולכן <math>\mathrm dy=\cos(x)\mathrm dx</math>. נחזור לתרגיל: <math>\int y^5\mathrm dy=\frac{y^6}6+c=\frac{\sin^6(x)}6+c</math>

באופן כללי: בפונקציות מהצורה <math>\sin^n(x)\cos^m(x)</math> (עבור <math>n,m\in\mathbb N</math>) נשתמש בשיטת ההצבה אם <math>m+n</math> אי זוגי. אם זוגי ננסה להשתמש בזהויות השונות. לדוגמה:
<math>\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}2</math>

'''אינטגרציה בחלקים:''' הכלל <math>\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx</math>

===דוגמה 4===
חשב את האינטגרלים הבאים:
# <math>\int xe^x\mathrm dx</math>. פתרון: לפי אינטגרציה בחלקים, <math>f(x)=x\ \and\ g(x)=e^x</math>. לכן האינטגרל שווה ל-<math>xe^x-\int1e^x\mathrm dx=xe^x-e^x+c</math>. '''מסקנה:''' כל פולינום ממעלה <math>n\in\mathdd N</math> כפול פונקציה שמקיימת (עבור <math>m\in\mathdd N</math>) <math>g^{(m)}(x)=g(x)</math> נעשה אינטגרציה בחלקים n פעמים ונקבל את הפתרון.
# <math>\int\ln(x)\mathrm dx</math>. פתרון: נסמן <math>f(x)=\ln(x)\ \and\ g(x)=x</math> ואז <math>x\ln(x)-\int\frac{\mathrm dx}x=x\ln(x)-x+c</math>.
# <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> פתרון: <math>f(x)=\sin(x)\ \and\ g(x)=e^x</math> ואז <math>\sin(x)e^x-\int\cos(x)e^x\mathrm dx</math>. ולפי אינטגרציה שנייה: <math>\sin(x)e^x-\cos(x)e^x-\int\sin(x)e^x\mathrm dx</math> ולכן <math>\int\sin(x)e^x\mathrm dx=\frac12\left(\sin(x)e^x-\cos(x)e^x\right)+c</math>.

מסקנה: במקרה של f,g יש מספר סופי של נגזרות שונות, ונשתמש בשיטה זו.

==דוגמה 5==
<math>\int\frac{3^x}\sqrt{1-9^x}\mathrm dx</math>.
===פתרון===
בשיטת ההצבה, <math>y=3^x</math> והאינטגרל הנ"ל שווה ל-<math>\frac1{\ln(3)}\int\frac{\mathrm dy}\sqrt{1-y^2}=\frac1{\ln(3)}\arcsin(3^x)+c</math>